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1、 8. 圆锥曲线方程学问要点一、椭圆方程 .1.椭圆方程的第肯定义：PF1PF1PF1PF 2PF 2PF 22aF 1F 2 方程为椭圆,2aF 1F 2 无轨迹,2aF 1F 2 以F1,F 2为端点的线段x 2222y1 ab0椭圆的标准方程： i.中心在原点, 焦点在 x 轴上： ab.y 2ii.中心在原点,焦点在 y 轴上： a 22x1ab0 b 2.一般方程：Ax2By21 Ax20, By 20 .x a cos椭圆的标准方程：a 2b 21的参数方程为y b sin（一象限 应是属于02 ）.顶点： a,00,b) 或0,ab,0 .轴：对称轴： x 轴, y 轴；长轴长2
2、a,短轴长2b .焦点： c,0c,0 或0,c0, c .焦距：F 1F 2a 2x2c, cya 2b 2 .a 2准线：c或c.e离心率：c 0 ae1.焦点半径：x 2y 2221ab0PF 1aex0, PF 2aex0i. 设P x 0 , y 0 为椭圆 ab上的一点,F 1,F 2 为左、右焦点,就x 2y 2221ab0PF 1aey0, PF 2aey0ii. 设Px 0 , y 0 为椭圆 ba上的一点,a 2F 1,F 2 为上、下焦点,就0a2由椭圆其次定义可知：pF1e x0 caex0 x00,pF 2ex0 cex0a x0归结起来为“左加右减” .留意：椭圆参
3、数方程的推导：得N a cos, bsin方程的轨迹为椭圆 .d通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经 . 坐标：2b 22ab2b2c,c,a和ax222 共 离 心 率 的 椭 圆 系 的 方 程 ： 椭 圆 ay1 ab b20的 离 心 率 是ec ca 2b 2 x2y 2tteca,方程 a2b 2是大于 0 的参数, ab0 的离心率也是a我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.22xy1如 P 是椭圆： a 2b2上的点 .F 1,F 2 为焦点,如F 1PF 2,就 PF 1 F 2 的面积b 2 tan为2（用余弦定理与PF 1PF 22a 可得）.如是双曲线, 就面积y 为b
4、 2 cot2 . bcos , bsin acos ,asinN xN的轨迹是椭圆二、双曲线方程 .PF 1PF 1PF 2PF 22aF 1F 22aF 1F 2方程为双曲线无轨迹1. 双曲线的第肯定义：PF 1PF 22aF 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线双曲线标准方程：x 2y2a 2b21a,by 20,2a2x1a, b0 b2.一般方程：Ax 2Cy 21 AC0 . i.焦点在 x 轴上：顶点：a,0, a,0焦点：c,0, c,0x准线方程a 2xy0c渐近线方程： ab或x 2y 20a 2b 2ii.焦点在 y 轴上：顶点：0,a, 0, a .焦点：
5、0, c, 0,yc) .准线方程：a 2yx0c.渐近线方程： aby2x 2或 a2b 20,参数方程：x a secy b tanxb tan或 ya sec.轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a,虚轴长为 2b,焦距 2c.ec离心率a .2a 2准线距 c2b 2（两准线的距离）；通径a.c 2a 2b 2 , ec参数关系a .x 2y 21焦点半径公式：对于双曲线方程a 2b 2（ F 1 ,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原就：（与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号运算,而双曲线不带符号）MF 1MF 2ex0aex0a构成满意MF 1M
6、F 22aM F 1M F 2ex0ay ex0ayMF1MF2MF 1MF 2ey 0aey 0aey 0aey 0aF 1MMMxxF1F 2MF 2等轴双曲线：双曲线x2y 2a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx ,离心率 e2 .共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做2x 2y已知双曲线的共轭双曲线 . a2b 2xy222与 ab2互为共轭双曲线, 它们具有x 2共同的渐近线： a 2y 20b 2.共渐近线的双曲线系方程：x 2y 2a 2b 20x 22的渐近线方程为 ay 220b假如双xy曲线的渐近线为 ab0时,它的双曲线方程可设为x2y 20
7、ya2b 2.y1 xp3,1 432x例如：如双曲线一条渐近线为2且过2,求双曲线的方程？122xy0 3,1 5 3F 1F 2x 2y 21解：令双曲线的方程为：4,代入2得 823.直线与双曲线的位置关系：区域：无切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计2 条；区域：即定点在双曲线上, 1 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计3条；区域： 2 条切线, 2 条与渐近线平行的直线,合计4 条；区域： 即定点在渐近线上且非原点, 1 条切线, 1 条与渐近线平行的直线, 合计 2 条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结： 1. 过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作
8、出的直线数目可能有 0、2、3、4 条.2. 如直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入“ ”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.22xy1如 P 在双曲线 a 2b 2,就常用结论1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.PF 1d 1ed 2PF 22：P 到焦点的距离为 m= n,就 P到两准线的距离比为 mn.简证：em=n .三、抛物线方程 .3. 设 p0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质：y 22 pxy 22 pxx 22 pyx22 pyy图形 yyyxxxxOOOOp2焦点F ,0pF ,02pF 0,2pF 0, 22222x0, yR
9、x0, yRxR, y0xR, y0准线xpxpypyp范畴对称轴x 轴y 轴顶点（ 0, 0）离心率e 1焦点PFpx1 2PFpx21PFpy21PFpy21注：2ay 2bycx 顶点4acb 4ab 2a . y 22 px pPF0 就焦点半径Px2 ; x 22 py pPPFy0 就焦点半径为2 .通径为 2p,这是过焦点的全部弦中最短的. y 222 px （或 x2 py ）的参数方程为2x 2 pty 2 pt（或x 2 pty 2 pt 2）（ t 为参数）四、圆锥曲线的统肯定义 .4. 圆锥曲线的统肯定义： 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨
10、迹 .当 0e1时,轨迹为椭圆；当e1 时,轨迹为抛物线；当e1 时,轨迹为双曲ec线；当 e0 时,轨迹为圆（a ,当 c0, ab 时） .5. 圆锥曲线方程具有对称性 .例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与 双曲线的交点是关于原点对称的. 由于具有对称性, 所以欲证 AB=CD, 即证AD与 BC的中点重合即可 .注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1. 到两定点 F1,F2 的距离 之和 为 定 值定义2a2a|F1F2|的 点 的轨迹2. 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹. （0e1）1到两定点 F1,F2 的距离之差的肯定值为 定值 2a02a
11、1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .标方 准x2a 2方程y12b 2 ab 0x2y2a2b 21 a0,b0y2=2pxy程 参xa cos bsinx asecy b tanx 2 pt 2y 2 ptt为参数为离心角）参数为离心角）数参数方程范畴a xa,b yb|x|a , yRx 0中心顶点原点 O（ 0, 0）a,0, a,0 ,原点 O（ 0, 0） a,0, a,00,00,b ,0, b对称轴x 轴, y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bx 轴, y 轴; 实轴长虚轴长 2b.2a,x 轴焦点F1c,0,F2 c,0F1c,0,F2 c,0F p2,0焦距2c（ c=ca2b2）2c（c=ca 2b2 ）离心率e0ae1ee1 ae=1准线渐近线a 2x=ca 2xpx=c2by= a x焦半径通径raex2b 2ar2b 2aexarxp 22p焦参数a 2a 2ccP方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程.共渐近线的双曲线系方程 .