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1、学习资料第三章 直线与方程1、直线的倾斜角与斜率（1） 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：. 与 x 轴相交;.x 轴正向;. 直线向上方向 .精品文档 直线与 x 轴平行或重合时 , 规定它的倾斜角为00 . 倾斜角的范畴 00180 0 . 090 , k0 ；90180 , k0（2） 直线的斜率直线的斜率就是直线倾斜角的正切值, 而倾斜角为900 的直线斜率不存在；经过两点P x, y , P x, y （ xx ）的直线的斜率公式是ky2y111122212x2x1（ x1x2 ）每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率；2、两条直线平行与垂直的判定（1） 两条直线平行对
2、于两条不重合的直线l1,l 2 ,其斜率分别为k1, k2 ,就有l1 / /l 2k1k2 ；特殊地,当直线l1,l 2 的斜率都不存在时,l1与l 2 的关系为平行；（2） 两条直线垂直假如两条直线l1 ,l2 斜率存在,设为k1, k2 ,就 l1l2k1gk21注：两条直线 l1,l2 垂直的充要条件是斜率之积为 -1 ,这句话不正确；由两直线的斜率之积为 -1 ,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一 定为-1 ；假如 l1,l 2 中有一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为 0 时, l1与l2相互垂直；二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局
3、限性点斜式yy1k xx1x1, y1 为直线上肯定点,k 为斜率不包括垂直于 x 轴的直线斜截式ykxbk 为斜率, b 是直线在 y不包括垂直于 x 轴轴上的截距的直线两点式yy1y2y1xx2x1x1x1, y1 , x2, y2 是 直 线 上两定点不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线其中 x1x2, y1y2截距式xayb1a 是直线在 x 轴上的非零截距, b 是直线在 y 轴上的非零截距不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线一般式AxByC0A , B , C 为系数无限制,可表示任其中 A, B不同时为 0）何位置的直线注：过两点 P1 x1, y1, P2 x2, y2
4、 的直线是否肯定可用两点式方程表示？ （不一定；（ 1）如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 x 轴,方程为 xx1 ；（2）如 x1x2且y1y2 ,直线垂直于 y 轴,方程为 yy1 ；（3）（ 3）如 x1x2且y1y2 ,直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式如两 点 P1 x1, y1, P2 x2, y2 , 且线 段 P1, P2 的 中点 M 的坐标为 x, y , 就xyx1x22y1y2 23.过定点的直线系斜率为 k 且过定点 x0 ,y0 的直线系方程为 yy0k xx0 ；过两条直线l1 : A1xB1yC10 ,l 2 :A2xB2 yC 20 的交点的直线
5、系方程为 A1xB1 yC1 A2 xB2 yC 2 0 （ 为参数）,其中直线 l 2 不在直线系中 .三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点设两条直线的方程是l1 :A1xB1 yC10 ,l 2 :A2 xB2 yC 20 两条直线的交点坐标就是方程组A1x A2xB1yC1B2 yC 20的解,0如方程组有唯独解,就这两条直线相交,此解就是交点的坐标；如方程组无解,就两条直线无公共点,此时两条直线平行；反之,亦成立；2. 几种距离（1） 两点间的距离平面上的两点P x , y, P x , y 间的距离公式 P P xx 2 yy 2111222122121特殊地,原点O0,
6、0 与任一点Px, y的距离 OPx2y2（2） 点到直线的距离点P x , y 到直线l : AxByC0 的距离 dAx0By0C00A2B2（3） 两条平行线间的距离两条平行线（留意：l1 : AxByC10 ,l2: AxByC20 间的距离 dC2C1A2B2 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时,必需将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式运算； ）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角（2） 已知斜率 k 的范畴,求倾斜角的范畴时,如 k 为正数,就的范围为 0, 的子集,且 k=tan为增函数；如 k 为负数,就的范畴为 , 的2
7、2子集,且 k=tan为增函数；如 k 的范畴有正有负,就可所范畴按大于等于0 或小于 0 分为两部分,针对每一部分再依据斜率的增减性求倾斜角范畴；2 、利用斜率证明三点共线的方法：已知 A x1, y1, B x2,y2 , C x3, y3 , 如x1x2x3或k ABkAC ,就有 A、B、C三点共线；注：斜率变化分成两段,900 是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需争论；3. 两条直线位置关系的判定：已知 l1 : AxByC10 ,l2: AxByC20 ,就：（1） l1l 2A1A2B1B20（2） l1 /l 2A1B2- A2 B10, A1C2A2C10;（3） l1与l
8、2重合（4） l1 与l 2 相交A1B2 - A1B2A2B1A2B10, A1C20A2 C10;假如 A2 B2C20 时,就：12l1l 2l / lA1 . A2 B1B2A1B11CC1 A , B ,C不为 0）；AB122222223l 与l重合A1B1C1 A , B ,C不为 0）12A2B2C22224l 与l相交A1B1 A , B不为 0）1222A2B24. 有关对称问题常见的对称问题：（1） 中心对称 如 点M x1, y1 及N x2, y2关 于 Pa, b对 称 , 就 由中 点坐 标公 式得x 2ax1y 2by1直线关于点的对称, 其主要方法是： 在已知
9、直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标, 再由两点式求出直线方程, 或者求出一个对称点,再利用 l1 / l 2 ,由点斜式得到所求直线方程；（2） 轴对称点关于直线的对称如两点P1 x1 , y1 与P2 x2,y2关于直线l : AxByC0 对称,就线段P1P2 的中点在对称轴 l 上,而且连接 P1P2 的直线垂直于对称轴 l 上,由方程组A x1x2 2B y1y2 C02x2y2y1 .A1y2x2x1B可得到点P1 关于l 对称的点P2的坐标x2,y2 （其中 A0, x1x2 ）直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情形：
10、一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行；注：曲线、直线关于始终线 yxb 对称的解法： y 换x , x 换 y .例：曲线 f x, y0 关于直线 yx2 对称曲线方程是f y2, x20曲线 C :f x, y0 关于点a, b 的对称曲线方程是f 2ax,2by05. 两条直线的交角直线l 1 到l 2 的角（方向角）；直线 l 1 到l 2 的角,是指直线l 1 绕交点依逆时针方 向旋 转 到 与 l 2重 合时 所转 动 的角, 它 的 范 围 是 0, , 当90时tank 2k 1 .1k 1k 2两条相交直线l 1 与l 2 的夹角：两条相交直线l 1 与 l 2
11、 的夹角,是指由l 1 与l 2 相交所成的四个角中最小的正角,又称为l 1 和 l 2 所成的角,它的取值范畴是0,2当90 ,就有tank 2k 1.1k 1k 26. 直线 l 上一动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” ：1在直线 l 上求一点 P,使 PAPB 取得最小值, 如点A、B 位于直线 l 的同侧时,作点 A（或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或B/ ,连接A/ B或AB/ 交l于P,就点P即为所求点. 如点 A、B 位于直线的异侧时,连接 AB 交于 l 点 P ,就 P 为所求点；可简记为“同侧对称异侧连” . 即两点位于直线的同侧时,作其中一个点的对称点；
12、两点位于直线的异侧时,直接连接两点即可.（ 2）在直线 l 上求一点 P 使 PAPB 取得最大值,方法与（ 1）恰好相反,即“异侧对称同侧连” 如点 A、B 位于直线 l 的同侧时,连接 AB 交于l 点 P ,就 P 为所求点； 如点A、B 位于直线的异侧时, 作点 A（或点 B ）关于 l 的对称点A/ 或B/ ,连接A/ B或AB/ 交l于P,就点P即为所求点.322PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” ；7. 直线过定点问题： 含有一个未知参数,y a1x2 a1ya x2x1（1）令 x20x2 ,将 x2代入 1式,得 y3 ,从而该直线过定点 2,3 含有两
13、个未知参数3mn xm2n yn0m3xynx2 y10173xy0x令x2 y1y37从而该直线必过定点 1 , 3 7 78. 点到几种特殊直线的距离（1） 点P x0,y0 到 x 轴的距离 d| y0 | ；（2） 点P x0,y0 到 y 轴的距离 d| x0 | .（3） 点P x0,y0 到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离 d| y0a | ；（4） 点P x0,y0 到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离 d| x0a | .9. 与已知直线平行的直线系有：（ 1）平行于直线 AxByC0的直线可表示为Ax/ByC0C /C（2）平行于直线 ykxb的全部直线为 ykxb/ b/b10. 易错辨析：（1） 争论斜率的存在性：解题过程中用到斜率,肯定要分类争论：斜率不存在时,是否满意题意；斜率存在时,斜率会有怎样关系；（2） 留意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见； ）（3） 直线到两定点距离相等,有两种情形：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点；（求解过某肯定点的直线方程时,较为常见； ）（4） 过点A x0,y0 ,平行于 x 轴的直线方程为 yy0过点 A x0, y0 ,平行于 y 轴的直线方程为 xx0