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1、学习资料圆与方程精品文档1. 圆的标准方程： 以点 Ca, b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 xa 2 yb 2r 2 .特例：圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是：x 2y 2r 2 .2. 点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为d,圆半径为 r ：a.点在圆内d r ； b.点在圆上d=r ； c.点在圆外d r2.给定点 M x 0 , y 0 及圆 C : xa2 ybr22. M 在圆 C 内 x 0a2 y 0b2r2 M 在圆 C 上 （ x0a 2 y 0b 2r 2 M 在圆 C 外 x 0a2 y 0b2r2（3）涉及最值： 圆外一点 B ,圆上一动点P ,争论
2、 PB 的最值PB minBNBCrPB maxBMBCr 圆内一点 A ,圆上一动点P ,争论 PA 的最值PA minANrACPAmaxAMrAC摸索：过此 A点作最短的弦？（此弦垂直AC ）3.圆的一般方程：x2y2DxEyF0 .221当 D22E4F0 时,方程表示一个圆, 其中圆心 CDE,半径 rDE4 F.222(2) 当 D 2E 24F0 时,方程表示一个点D ,E.22(3) 当 D 2E2 4F0 时,方程不表示任何图形.注 ： 方 程Ax 2BxyCy 2DxEyF0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： B0 且 AC0 且D 2 E 24 AF0 .4. 直线
3、与圆的位置关系：直线 AxByC0 与圆 xa 2 yb2r 2圆心到直线的距离dAaBbC1） dr直线与圆相离2） dr直线与圆相切A2B 2无交点；只有一个交点 ；3） dr直线与圆相交有两个交点；弦长 |AB| =2r 2d 2rdd=rrd仍可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByx2y2C0DxEyF求解,通过解0的个数来判定：（ 1）当0 时,直线与圆有 2 个交点,直线与圆相交；（ 2）当0 时,直线与圆只有1 个交点,直线与圆相切；（ 3）当0 时,直线与圆没有交点,直线与圆相离；122225. 两圆的位置关系（1） 设两圆C1 : xa 2 yb 2r1 与圆C 2 :
4、 xa 2 yb2 r2,1圆心距 da1a 2b1b 222dr1r2dr1r2外离4条公切线 ； 外切3条公切线 ；r1r2dr1r 2相交2条公切线 ；dr1r2内切1条公切线 ；0dr1r2内含无公切线 ；外离外切相交内切2（2） 两圆公共弦所在直线方程12圆 C ： x2yD1 xE1 yF10 ,2圆 C ： x2yD 2xE2 yF20 ,就 D1D2 xE1E2yF1F20 为两相交圆公共弦方程.补充说明： 如 C1 与 C2 相切,就表示其中一条公切线方程； 如 C1 与 C2 相离,就表示连心线的中垂线方程.222（3） 圆系问题过两圆C1 ： xyD1xE1 yF10 和
5、 C ： x2yD 2xE2 yF20 交点的圆系2方程为 x2y2D xE yFx2y 2D xE yF0 （1 ）111222补充： 上述圆系不包括C2 ； 2）当1时,表示过两圆交点的直线方程（公共弦） 过 直 线AxByC0 与 圆 x22yDxEyF0 交 点 的 圆 系 方 程 为x2y2DxEyFAxByC06. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线 ：k 不存在,验证是否成立k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即y 1y 0k x1x0 by1Rkax1 R21求解 k,得到切线方程【肯定两解】例 1.经过点 P1 , 2 点作圆 x+12+ y22=
6、4 的切线,就切线方程为；,圆上一点为(2) 过圆上一点的切线 方程：圆 xa 2+ yb 2=r 22就过此点的切线方程为 x0a xa + y0b yb = r x0,y0 ,特殊地,过圆x 2y 2r 2 上一点Px 0 , y 0 的切线方程为x 0 xy 0 yr 2 .例 2. 经过点 P 4,8 点作圆 x+72+y+82=9的切线, 就切线方程为；7. 切点弦1 过 C： xa2 yb 2r 2 外一点P x0, y0作 C的两条切线, 切点分别为A、B ,就切点弦 AB 所在直线方程为： x0a xa y0b ybr 228. 切线长：2如 圆 的 方 程 为 x a y b22= r, 就 过 圆 外 一 点 P x0, y0的 切 线 长 为d= x0a) 2+ y 0b) 2r9. 圆心的三个重要几何性质： 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线；10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法2222例. 已知圆 C1： x + y 2x =0 和圆 C2： x + y +4 y =0,试判定圆和位置关系,如相交,就设其交点为A、B,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长；