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1、北京市西城区 2021 年高三一模试卷数学理科 2021. 4一、挑选题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 .学习文档 仅供参考1. 已知集合 A xZx5 ， B x x20 ，就 AB 等于A 2,5B 2, 5C 2, 3, 4D3,4, 52. 以下给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是A y2 xByx2xC y2xDyx33. 设 alog 2 3 ， blog 4 3， c0.5 ，就A cbaB bcaC bacD cab4. 设向量 a1,sin ， b3sin,1 ，且a / b ，就 cos 2等于ABCD3
2、3335. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 就处应填的数字为A 4B 5C 6D 7开头S1, i1否i是SS2iii1输出 S终止6. 已知函数ysin xcos x ， y22 sin xcosx，就以下结论正确的选项是A两个函数的图象均关于点,04成中心对称B两个函数的图象均关于直线x成中心对称4C两个函数在区间 , 上都是单调递增函数44D两个函数的最小正周期相同7. 已知曲线C : y1 x0 及两点 A x ,0 和 A x,0 ，其中 xx0 . 过 A ， A 分1122x2112别作 x 轴的垂线，交曲线 C 于B1 ， B2 两点，直线B1B2 与 x 轴交于点A
3、3 x3,0，那么Ax , x3 , x 成等差数列B x , x3 , x 成等比数列121222C x1, x3 , x2 成等差数列D x1, x3, x2 成等比数列8. 如图，四周体 OABC 的三条棱OA, OB,OC两两垂直， OAOB2 , OC3 ， D 为四周体 OABC 外一点 . 给出以下命题 .C不存在点 D , 使四周体 ABCD 有三个面是直角三角形D不存在点 D , 使四周体 ABCD 是正三棱锥OB存在点 D , 使 CD 与 AB 垂直并且相等A存在很多个点 D , 使点 O 在四周体 ABCD 的外接球面上其中真命题的序号是ABCD 二、填空题：本大题共6
4、 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 在复平面内，复数2i1i对应的点到原点的距离为 .CBP10. 如图， 从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ，已知 PA22 ，.OPC4 ，圆心 O 到 BC 的距离为3 ，就圆 O 的半径为.A11. 已知椭圆 C :x cos,y 2sinR 经过点1m, 2，就 m ，离心率 e .3312. 一个棱锥的三视图如以下图，就这个棱锥的体积为 .4313. 某展室有 9 个展台，现有 3 件展品需要展出，要求每件展品单独占用1 个展台，并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，就不同的展出方法有种；假如进一步要求3
5、件展品所选用的展台之间间隔不超过两正主视图34侧左视图个展位，就不同的展出方法有 种.俯视图14. 已知数列 an的各项均为正整数，对于n1, 2, 3,，有an 13anan5, an为奇数 ，当 a111时， a100 ；k ,an 为偶数 . 其中k为使 an21为奇数的正整数假设存在mN * ，当 nm 且 a 为奇数时，an 恒为常数 p ，就 p 的值为.n三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 本小题总分值 13 分设 ABC 中的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为a ， b ， c ，且cos B4 , b2 .5当
6、 a5 时，求角 A 的度数；求ABC 面积的最大值 .316. 本小题总分值 13 分甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1 11 ., p . 且他们是否破译出密码互不影响. 假设三人中只有甲破译出密码的概率为2 34求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；求 p 的值；设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求 X 的分布列和数学期望EX .17. 本小题总分值 13 分如图 ,ABCD 是边长为 3 的正方形， DE平面 ABCD ，AF / DE， DE3 AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为600 .E 求证： AC平面 BDE ； 求二
7、面角 FBED 的余弦值；设点 M 是线段 BD 上一个动点， 试确定点 M 的位置，使得AM /平面 BEF ，并证明你的结论.FDCAB18. 本小题总分值 14 分已知函数f xa x x21，其中 a0 .求函数f x 的单调区间；假设直线xy10 是曲线yf x 的切线，求实数 a 的值；设g xx ln xx2 f x ，求g x 在区间 1,e 上的最大值 .其中 e为自然对数的底数219. 本小题总分值 14 分已知抛物线y2 px p0 的焦点为 F ，过 F 的直线交 y 轴正半轴于点P ，交抛物线于 A, B 两点，其中点 A 在第一象限 .求证：以线段FA 为直径的圆与
8、 y 轴相切；假设FA1 AP,2BFFA ,1 211, ，求422 的取值范畴 .20. 本小题总分值 13 分定义动强度 .a1, a2 , an | a1a2 | a2a3 | an 1an |为有限项数列 an 的波当 a 1n 时，求 a , a ,a ；n假设数列12100a, b,c, d 满意 ab bc0 ，求证：a,b, c, d a, c, b, d ；设 an 各项均不相等，且交换数列 an中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列 an 肯定是递增数列或递减数列.北京市西城区2021 年高三一模试卷参考答案及评分标准数学理科2021.4一、挑选题：本
9、大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.题号12345678答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9.210.211.153，4212.1213.60 ， 4814. 62 ； 1 或 5注： 11 题， 13 题， 14 题第一问 2 分，其次问3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分. 假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 .15. 本小题总分值 13 分解：由于分cos B4，所以5sin B3.25由于 a分5 ，b32 ，由正弦定理a sin Ab可得sin Bsin A1. 42由于 ab，所以 A 是锐角，所以
10、A30o .6 分由于ABC 的面积 S分1 ac sin B 23 ac ，710所以当 ac 最大时，ABC 的面积最大 .由于 b 2分a 2c 22 ac cos B ，所以 4a 2c28 ac5.9由于 a 2c2分2ac ，所以82 acac54 ， 11所以 ac分10 ，当 ac10 时等号成立 12所以ABC面积的最大值为3 . 13 分16. 本小题总分值 13 分解： 记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为大事A1, A2 , A3 ，依题意有P A 1 , P A 1 , P A p, 且A , A , A相互独立 .12323123甲、乙二人中至少有一人破译出密码
11、的概率为1P A1A2 分1221. 3233设“三人中只有甲破译出密码”为大事B ，就有zE121pPBP A1 A2A3 1p， 51p134分所以， p2331.4FDC7分 X 的全部可能取值为分0,1,2,3 .yxAB 8所以 P X10，4P X1P A1A2A3 1113142342P X2P A1A2A3 1131223423P A1 A2A3 P A1 A2A32111，3424P A1 A2A3 P A1A2 A311111，1242344P X分3 = P AAA 1111. 11X 分布列为：X P323424012311111424424分所以，E X 011112
12、1311312. 1342442412分17. 本小题总分值 13 分z 证明： 由于 DE平面 ABCD ，E所以 DEAC .2 分由于 ABCD 是正方形，所以 ACBD ，从而 AC平面 BDE .4 分 解：由于DA ,DC , DE两两垂直，FDCyM所以建立空间直角坐标系Dxyz 如以下图 .AB x由于 BE 与平面 ABCD 所成角为分600 ，即DBE60 ， 5所以 ED3 .DB由 AD分3 可知 DE3 6 ， AF6 . 6就 A3,0,0， F 3,0,6， E0,0,36， B3,3,0， C 0,3,0 ，所以 BF分0,3,6， EF3,0,26 ， 7设平
13、面 BEF 的法向量为 n x,y, z ，就n BFn EF03 y，即03x6 z0，26 z0令 z6 ，就 n4,2,6 . 8分由于 AC平面 BDE ，所以 CA 为平面 BDE 的法向量， CA3,3,0 ，所以cosn, CAn CA613. 9 分n CA322613因 为 二 面 角 为 锐 角 ， 所 以 二 面 角 F13 . 10 分13BED的 余 弦 值 为 解：点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M t ,t ,0 .就 AMt3,t ,0 ，由于 AM / 平面 BEF ，所以 AMn0 ， 11分即 4t32t0 ，解得 t2 . 12分此时， 点 M 坐
14、标为 2, 2,0 ， BM分1 BD ，符合题意 . 13318. 本小题总分值 14 分解：分f xa2x3x ， x0 ， 3在区间 ,0 和 2, 上，f x0 ；在区间 0, 2 上，f x0 .所以，f x 的单调递减区间是 ,0 和 2, ，单调递增区间是0, 2 . 4分ya x0120x0设切点坐标为x0, y0 ，就 x0y010 7 分 1 个方程 1a 23x0分x01解得 x01 ，a1 . 8分g xx lnxa x1 ，就 g xln x1a ， 9分e解 g x0 ，得 xa 1，1所以，在区间0, ea1 上，g x 为递减函数，a在区间 e分, 上，g x
15、为递增函数 . 10当 ea 11 ，即 0a1 时，在区间 1, e 上，g x为递增函数，11 分所以 g x 最大值为g eeaae.aa 1当 ee，即2 时，在区间 1, e 上，g x 为递减函数，12 分所以 g x 最大值为g 10.当 1 ea1 e，即 1a2 时，g x 的最大值为g e 和g 1中较大者；geg 1eaeae0 ，解得 ae，e1所以， 1分a时，e1g x 最大值为g eeaae ， 13ea2 时，g x 最大值为e1g 10 . 14分综上所述， 当 0ae时， g x e1最大值为g eeaae ，当 ae时， g x e1的最大值为g 10 .
16、19. 本小题总分值 14 分解：由已知F p ,0, 设 A x , y ，就 y22 px ，21111圆心坐标为 2 x1p , y1 ，圆心到 y 轴的距离为2 x1p ， 2424分FA圆的半径为1xp2 x1p， 412224分所以，以线段 FA 为直径的圆与 y 轴相切 . 5分解法一：设P0, y0 , B x2 , y2 ，由 FA1 AP , BF2 FA , 得 xp , y x , yy ， px ,y xp , y ， 61111012分2221122所以 xpx , y yy ，11 111012pxxp , yy ， 822122122分由 y22 y1，得222
17、yy .221又 y22 px ， y22 px ，1122所以 x2 x .22110 分代入 px xp ，得 p2 xxp ，p 1x1 ，2212221212222122整理得 x1p， 122 2分代入 xpx ，得pp1 p ，11 122 222 2所以 111 ， 1322分由于 1211,42，所以 2 的取值范畴是4, 23. 14分解法二： 设A x1, y1, B x2, y2 ，AB : xmyp ，2p2将 xmy代入 y22 px ，得y 22 pmyp20 ，2所以 y1y2p * ， 6分由 FA1 AP ， BF2 FA ，得 xp , y x , yy ，
18、 px ,y xp , y ，71111012分2221122所以，pxx ,11 12y11 y0y1 ，px xp , yy ， 822122122分将 y210 分2 y12y代入 * 式，得1p2，2所以12 分2 px1p2， x12p.2 2代入 xpx ，得 111 . 1311 1222分由于1 1 , 1 ，所以2 的取值范畴是4.142423, 2分20. 本小题总分值 13 分 解： 分a1, a2 , a100 | a1a2 | a2a3 | a99a100 | 1222299198 .3 分证明：由于 a, b, c,d | ab | bc | cd |， a, c,
19、 b,d | ac |cb | bd |，所以 a, b,c,d a, c, b, d | ab |cd | ac | bd |4 分由于 ab bc0 ，所以 abc ，或 abc .假设 abc ，就. a,b, c, d a, c, b,d ab|cd |ac|bd |cb| cd| bd |当 b c d 时，上式当 b d c 时，上式当 d b c 时，上式cbcdcbdccbdcbd 2 cb0 ，bd 2 db0 ， db0 ，即当 abc 时， a, b,c, d a, c,b, d 0 .6分假设 abc ，就 a,b, c,d a,c,b, d ba| cd |ca| b
20、d | ，bc| cd| bd|0 . 同前所以，当 ab bc0 时， a, b, c, d a, c, b, d 成立 . 7分证明：由易知对于四个数的数列，假设第三项的值介于前两项的值之间，就交换其次项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变. 将此作为引理下面来证明当 a1a2 时， an 为递减数列 .证明 a2a3 .假设 a1盾.假设 aa3a2 ，就由引理知交换aa2 ，就a2 , a3 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛 a1, a2, a| a1a2 | a2a | | a1a2 | a1a |a2, a1, a ，与已知冲突 .所以， a1a2分a3 . 9设 a1a2ai 3in2，证明 aiai 1 .假设知冲突 .ai 1ai 1ai ，就由引理知交换ai , ai1 的位置将使波动强度减小或不变，与已假设 ai 1ai 1ai ，就ai2, ai1, ai , ai1ai2 , ai , ai1, ai1 ，与已知冲突 .所以，aiai分1 . 11 设 a1a2an 1 ，证明an 1an .假设 anan 1 ，考查数列an , an1,a2, a1，就由前面推理可得 anan 1an 2a2 ，与 a1a2an 1 冲突.所以， an 1分an . 12综上，得证 .同理可证： 当 a1a2 时，有 an 为递增数列 . 13分