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1、当涂二中2021-2022学年度第一学期期末考试高二数学试题命题人：王孝春 业衍发 时间：120分钟 分值：150分一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确答案填涂到答题卡） 1如果直线l1的斜率为a，l1l2，那么直线l2的斜率为( ) B. a C. D.或不存在【答案】D【解析】当a0时，由l1l2，得k1k2ak21，k2.当a0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，k2不存在.答案为D2.抛物线的准线方程为( ) A B C D【答案】D【解析】抛物线化为标准方程为，故准线方程为，故选D.3.和直线
2、3x4y50关于x轴对称的直线方程为( ) A3x4y50 B3x4y50 C3x4y50 D3x4y50答案A解析设所求直线上任意一点(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，y)，因为点(x，y)在直线3x4y50上，所以3x4y50.4.直线2x+y+m0和x+2y+n0的位置关系是( ) A平行 B垂直 C相交但不垂直 D不能确定【答案】C【解答】解：由方程组 可得 3x+4mn0，由于3x+4mn0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交再由两直线的斜率分别为2和，斜率之积不等于1，故两直线不垂直5.已知公差的等差数列满足，且，成等比数列，若正整数，满足，则( ) AB C D
3、或【答案】C【解析】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选C6.若直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A. 3,1B. 1,3C. 3,1D. (,31,+)【答案】C解：圆(xa)2+y2=2的圆心为A(a,0)，半径为r=2，圆心到直线的距离为d=a0+112+12=a+12，因为直线xy+1=0与圆(xa)2+y2=2有公共点，所以d2，即a+122，解得3a1故选C7.设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A是抛物线上一点，若OAAF=4，则点A的坐标是( ) A. (2,22)B. (1,2)C. (1,2)D. (2,22)
4、【答案】B解：F(1,0)，设A(y024,y0)则OA=(y024,y0)，AF=(1y024,y0)，由OAAF=4，y0=2，A(1,2)8.已知ABC的三个顶点坐标分别为A(2,6)、B(4,3)、C(2，3)，则点A到BC边的距离为( ) ABCD4【答案】B【解析】BC边所在直线的方程为，即xy10；则d .9.在数列中，已知，则该数列前2019项的和A2019B2020C4038D4040【答案】A【解析】，为等差数列，.10.阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏圆若平面内两定点A，
5、B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，PAB面积的最大值是( ) A. 22B. 2C. 223D. 23【答案】A解：设A(1,0)，B(1,0)，P(x,y)，则(x1)2+y2(x+1)2+y2=2，化简得(x+3)2+y2=8，当点P到AB(x轴)距离最大时，PAB面积的最大值，PAB面积的最大值是12222=2211.已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( ) A B C D【答案】A【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，点到焦点的距离等于到准线的距离，将其代入抛物线方程解得，故选A.12.已知正项数列的前项和为,若和都是等差数列,且公差相
6、等,则( ) 二、 填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分。13.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为 【答案】4【解析】双曲线中，所以抛物线的焦点为，即，故答案为4.14.记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5= 【答案】.【分析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以15.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 【答案】4【分析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），故焦距16.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为 【答案】【分析】设点，因为，所以，而，所以当时，的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)求m，n的值，使直线l1：y(m1)xn7满足：(1)平行于x轴；【本小题3分】(2)平行于直线l2：7xy150；【本小题3分】(3)垂直于直线l2：7xy150.【本小题4分】【解析】(1)当m1且n7时，l1平行于x轴.(2)7xy150化为斜截式为y7x15，当l1l2时，应有m17且n715，所以m8且n8.即当m8且n8时，l1l2.(3)当(m1)71，即m，nR时，l1l2.18. (本小题满分12分)已知圆C：x2(y1)25，直线l：mxy1m0.(1)求证：对任意mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；【本小题6分】(2)设l与
8、圆C交于A，B两点，若AB，求直线l的倾斜角【本小题6分】【解析】(1)由已知得直线l：y1m(x1)，所以直线l恒过定点P(1,1)，因为1210)的焦点为F，直线2xy+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q(1)若直线AB过焦点F，求抛物线C的方程；【本小题4分】(2)若QAQB，求p的值【本小题8分】【答案】解：(1)根据题意，直线2xy+2=0与y轴的交点为(0,2)，则F(0,2)，抛物线C的方程为x2=8y；(2)由y=2x+2x2=2py，得x24px4p=0，=16p2+16p0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=
9、4p，Q(2p,2p)，QAQB，则，(x12p)(x22p)+(y12p)(y22p)=0，(x12p)(x22p)+(2x1+22p)(2x2+22p)=0，5x1x2+(46p)(x1+x2)+8p28p+4=0，代入得4p2+3p1=0，解得p=14或舍去)p=1421.(本小题满分12分)已知数列的前项和为，（1） 求；【本小题6分】（2） 求证:【本小题6分】【解析】（1），两式相减得， 又，满足上式（2）由（1）得 22.(本小题满分12分)已知椭圆1(ab0)的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1.(1)求椭圆的方程；【本小题4分】(2)已知点C(m,0)是线段
10、OF上异于O，F的一个定点(O为坐标原点)，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使得|AC|BC|，并说明理由【本小题8分】【解析】(1)由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，长轴为最长的弦。所以解得b1，椭圆的方程为y21.(2)由(1)得F(1,0)，0m1.假设存在满足题意的直线l，设l为yk(x1)，代入到y21中，得(2k21)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x22).设AB的中点为M，则M.|AC|BC|，CMAB，即kCMkAB1，2mk0，等价于(12m)k2m，当0m时，k ，即存在满足条件的直线l；当m1时，k不存在，即不存在满足条件的直线l.