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1、北京市西城区 2021 2021学年度第一学期期末试卷高三数学理科第一卷挑选题共 40 分一、挑选题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 学习文档 仅供参考1. 已知集合 A xR | 0x1 ， B xR| 2 x1x10 ，就 AB A 10,2 C 1B 1,1D ,10,1, 25i2. 在复平面内，复数2i的对应点位于 A 第一象限B其次象限C第三象限D 第四象限3. 在极坐标系中，已知点P2, 6，就过点 P 且平行于极轴的直线的方程是 A sin1Bsin3Ccos1D cos34. 执行如下图的程序框图假设输出S15 ，
2、 就框图中 处可以填入 A k2 B k3 C k4 D k55. 已知函数f xxb cos x ，其中 b 为常数 那么“ b0 ”是“f x 为奇函数” 的 A 充分而不必要条件B必要而不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件6. 已知a, b 是正数，且满意 2a2b4 那么 a2b 2 的取值范畴是 A 4 16, 554B ,16516C 1,16D , 4 57. 某四周体的三视图如下图该四周体的六条棱的长度中，最大的是 A 25 B 26 C 27 D 428. 将正整数 1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，就两组中各数之和相等的概率是2 A
3、214B631C212D63第二卷非挑选题共 110 分二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分9. 已知向量 a1,3 ，b 2,1 ，c3, 2 . 假设向量 c 与向量 kab 共线，就实数 k 10. 如图， Rt ABC 中，ACB90 ， AC3 ，BC4 以 AC 为直径的圆交 AB 于点 D ，就BD； CD 11. 设等比数列 an 的各项均为正数，其前n项和为Sn 假设a11 ， a34 ， Sk63 ，就 k x212. 已知椭圆y1的两个焦点是F1 ，F2 ，点 P 在该椭圆上 假设| PF1 | PF2|2 ，242就 PF1F2 的面积是13. 已知
4、函数f xsin2 x ，其中 x6, a6当 a时，3f x的值域是；假设 f x 的值域是 1 ,1，就 a 的取值范畴是214. 已知函数f x 的定义域为 R 假设常数 c0 ，对 xR ，有f xcf xc ，就称函数f x具有性质 P 给定以下三个函数： f x2x ；f xsinx ；f xx3x 其中，具有性质 P 的函数的序号是三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. 本小题总分值13 分在 ABC 中，已知3sin 2B1cos2B 求角 B 的值；假设 BC2 ， A，求 ABC 的面积416. 本小题总分值14 分如图
5、，四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为正方形， PAPD ， PA平面 PDC ，E 为棱 PD 的中点求证： PB / 平面 EAC ；求证：平面PAD平面 ABCD ；求二面角 EACB 的余弦值17. 本小题总分值13 分生产 A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82 为正品，小于 82为次品现随机抽取这两种元件各100 件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,7676,8282,8888,9494,100元件 A81240328元件 B7试分别估量元件A ，元件18B 为正品的概率；40296生产一件元件A ，假设是正品可盈利40 元，假设是次品就亏损5 元
6、；生产一件元件B，假设是正品可盈利50 元，假设是次品就亏损10 元 . 在的前提下，记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于140 元的概率18. 本小题总分值13 分已知函数f xx，其中 bR x2b求设f x 的单调区间；b0 假设13bx, ，使4 4f x1，求的取值范畴219. 本小题总分值14 分如图，已知抛物线y4x 的焦点为 F 过点P2,0的直线交抛物线于A x1, y1 ，B x2, y2 两点，直线 AF ， BF 分别与抛物线交于点M ， N 求y1y2 的值； 记
7、直线 MN 的斜率为k1 ，直线 AB 的斜率为k2 . 证明：k1 为定值k220. 本小题总分值13 分如图， 设 A 是由 nn 个实数组成的 n 行 n 列的数表， 其中aiji , j1,2,3, n 表示位于第 i 行第 j 列的实数，且aij1, 1 . 记 S n, n 为全部这样的数表构成的集合对于 AS n, n ，记 ri A 为 A 的第 i 行各数之积，nnc j A 为 A 的第 j 列各数之积 令l Ari Ai 1c j A j 1请写出一个AS4, 4，使得l A0 ；是否存在AS9, 9 ，使得l A0 ？说明理由；给定正整数 n ，对于全部的 AS n,
8、n ，求 l A 的取值集合北京市西城区 2021 2021学年度第一学期期末高三数学 理科 参考答案及评分标准一、挑选题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分.1 D ；2 B；3 A ；4 C；5 C；6 B ；7C；8 B 二、填空题：本大题共6 小题，每题5 分，共 30 分.1691 ；105， 125；11 6 ；122 ；13 1 ,1， , ；14262注： 10、13 题第一问 2 分，其次问 3 分;14 题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分. 假设考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分 .15. 本小题总分值13 分2 解法一
9、：由于3sin 2B1cos2B ，所以 2 3sinBcosB2sinB 3分由于0B， 所以 sin B0 ，从而 tan B3 ， 5分所以 B 63分解法二 ： 依题意得3sin 2Bcos2B1 ，所以2sin2 B1 ，6即 sin2 B1 362分由于0B， 所以2B13，学习文档 仅供参考所以 2 B6665 566分所以 B 63分 解法一 ：由于A， B，43依据正弦定理得ACBC， 7分所以 ACsin BBCsin Bsin6A 8sin A分由于CAB分5， 912所以 sin Csin 5sin62 ， 1112464分所以 ABC 的面积 S1 AC BC sin
10、 C33 1322分解法二 ：由于A， B，43依据正弦定理得ACBC， 7分所以 ACsin BBCsin Bsin6A 8sin A分依据余弦定理得AC 2AB2BC 22 ABBCcos B ， 9化简为AB 22 AB20 ，解得AB13 11分所以 ABC 的面积 S1 AB BC sin B33 13 分2216. 本小题总分值14 分证明：连接BD 与 AC 相交于点 O ，连结 EO z由于四边形 ABCD 为正方形，所以 O 为 BD 中点P由于 E 为棱 PD 中点EyD所以 PB / EO 3 分C O由于 PB平面 EAC ， EO平面 EAC ，xAB所以直线 PB
11、/ 平面 EAC 4 分证明：由于PA平面 PDC ，所以 PACD 5分由于四边形 ABCD 为正方形，所以 ADCD ，所以 CD平面 PAD 7分所以平面 PAD平面 ABCD 8分 解法一 ：在平面 PAD 内过 D 作直线 DzAD 由于平面 PAD平面 ABCD ，所以 Dz平面 ABCD 由 Dz , DA, DC 两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系Dxyz 9 分设 AB4 ，就D 0,0,0,A4,0,0,B4,4,0,C 0,4,0,P2,0,2,E1,0,1 所以 EA3,0,1 ， AC 4,4,0 设平面 EAC 的法向量为n = x, y,z ，就有nEA0,nA
12、C0.3 x所以4 xz0,x4 y0 取1 ，得 n1,1,3 11学习文档 仅供参考分易知平面 ABCD 的法向量为 v0,0,1 12分所以 | cosn, v| n v |3 11 13| n |v |11分由图可知二面角 EACB 的平面角是钝角，所以二面角 EACB 的余弦值为3 1111 14分解法二 ：取 AD 中点 M ， BC 中点 N ，连结 PM ， MN 由于 ABCD 为正方形，所以 MN / CD z P由可得 MN平面 PAD CE由于 PAPD ，所以 PMAD M D由 MP , MA, MN 两两垂直，建立如下图xAONyB的空间直角坐标系Mxyz 9分设
13、 AB4 ，就A2,0,0,B2,4,0,C 2,4,0,D 2,0,0,P0,0,2,E 1,0,1 所以 EA3,0,1 ， AC 4,4,0 设平面 EAC 的法向量为n = x, y,z ，就有nEA0,nAC0.3x所以4 xz0,x4 y0 取1 ，得 n1,1,3 11分易知平面 ABCD 的法向量为 v0,0,1 12分所以 | cosn, v| n v |3 11 13| n |v |11学习文档 仅供参考分由图可知二面角 EACB 的平面角是钝角，所以二面角 E分ACB 的余弦值为3 1111 1417. 本小题总分值13 分解：元件A 为正品的概率约为4032841005
14、4029631004 1分元件 B 为正品的概率约为分 2解：随机变量X 的全部取值为 90,45,30,15 3分P XP X9030411；545P X15；433；P X45133545542011154207分所以，随机变量 X 的分布列为 :9045301533115205208X P分EX903453301 15166 9520520分设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件，就次品有 5n 件.学习文档 仅供参考依题意，得50n105n140 ，解得n19 6所以n4 ，或 n5 11分设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于140 元”为大事A，43 413 581就 P
15、 AC5 444128 13 分18. 本小题总分值 13 分1解：当 b0 时，f xx故 f x 的单调减区间为 ,0 ， 0, ；无单调增区间 1分 当 b0 时，f xbx2 x2b2 3分令 f x0 ，得 x1b ， x2b f x 和 f x 的情形如下：x,bbb,bbb,f x00f x故 f x 的单调减区间为 ,b ， b,；单调增区间为 b,b 分 当 b0 时，f x 的定义域为 D xR | xb 5由于 f xbx2 x2b20 在 D 上恒成立，故 f x 的单调减区间为 ,b，b,b ，b, ；无单调增区间 7解：由于b分0 ，13学习文档 仅供参考x, ，4
16、 4所以f分 x1等价于bx2x ，其中 x13,44 9设 gx分x2x ，g x13在区间 ,44上的最大值为11g24 11就“1321x, ，使得44bxx ”等价于 b40,所以， b 的取值范畴是14分 13解：依题意，设直线AB 的方程为 xmy2 1分将其代入 y24x ，消去 x ，整理得y 24my80 4分从而y1y28 519. 本小题总分值14 分分证明：设M x3, y3， N x4 , y4 y 2y 2kxxyyy就 k1y3y4x1x2y3y41244y1y2 7y222341234y1y2y3y444分设直线 AM 的方程为xny1 ，将其代入2y4x ，消
17、去 x ，整理得y24ny40 9 分所以 y1y34 10 分同理可得y2 y44 11 分故 k1y1y2y1y2y1 y2 13k2y3y4444y1y2分学习文档 仅供参考由得k12 ，为定值14k2分20. 本小题总分值13 分解：答案不唯独，如下图数表符合要求1111111111111111 3分解：不存在AS9, 9，使得l A0 4分证明如下：假设存在AS9, 9 ，使得l A0 由于 r i A1, 1 ， c j A1,11i9,1j9 ，所以9 个1 r1 A ， r2 A ， r9 A ， c1 A ， c2 A ， c9 A这 18 个数中有 9 个1 ，令 Mr1
18、Ar2 Ar9 Ac1 Ac2 Ac9 A 9一方面，由于这 18 个数中有 9 个1 ， 9 个1 ，从而 M 11另一方面，r1 Ar2 Ar9 A 表示数表中全部元素之积记这81 个实数之积为m ；c1 Ac2 Ac9 A也表示 m ， 从而Mm21 、相冲突，从而不存在AS9, 9 ，使得l A0 8分解：记这n2 个实数之积为 p 一方面，从“行”的角度看，有pr1 Ar2 Arn A ；另一方面，从“列”的角度看，有pc1 Ac2 Acn A 从而有r1 Ar2 Arn Ac1 Ac2 Acn A 10留意到ri A1, 1 ， c j A1,11in,1j n 下面考虑r1 A，
19、r2 A ，rn A ， c1 A ， c2 A ， cn A 中1 的个数：由知， 上述 2n 个实数中，1 的个数肯定为偶数，该偶数记为 2 k 0kn ；就1的个数为 2n2k ，所以 l A12 k12n2 k2 n2k 12分对数表A0 ： aij1 i , j1,2,3, n ，明显l A0 2n 将数表A0 中的a11 由 1变为 1 ，得到数表A1 ，明显l A12n4 将数表A1 中的a22 由1 变为 1 ，得到数表A2 ，明显l A2 2n8 依此类推，将数表Ak 1 中的akk 由 1变为 1，得到数表Ak 即数表Ak 满意：a11a22akk11k n，其余aij1 所以r1 Ar2 Ark A1， c1 Ac2 Ack A1所以 l Ak 2 1k nk2n4k 由 k 的任意性知，l A 的取值集合为 2 n2k | k0,1,2, n 13分