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1、北京市东城区 2021-2021学年下学期高一年级期末考试数学试卷本试卷共 100 分；考试时间120 分钟；一、挑选题：本大题共10 小题，每道题 3 分，共 30 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；1. 以下命题中正确选项A.OAOBABB.ABBA0C. 0AB0D.ABBCCDAD6 / 62. 函数 f x3 sinx2xR 的最小正周期为4A. B.C. 2D. 4 23. 已知向量 a1,2 ， b2,3 ， c3,4，且 c1a2b ，就1， 2 的值分别为A.2 ， 1B.1 ， 2C. 2， 1D. 1 ，24. 已知cosx24A.34 ，且 x 在第
2、三象限，就54B.3tan x3C.4的值为3D.45. 不等式 aA. ab 和 1ab01同时成立的充要条件是bB. a0,b0C. ba0D. 110ab6. 将函数ysinx 的图象上全部的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸10长到原先的 2 倍（纵坐标不变），所得图象的函数解读式是A. ysin 2 x101B. ysin 2x51C. ysinx210D. ysinx2207. 如图， AC为3,3， BC3,3， E， F是 AB 上的三等分点，就cosECF 的值2 85314A. B.C.D.8522518. 已 知 等 比 数 列 an中 ， 各 项 都 是 正
3、数 ， 且a1 ，a3 ，22a2成 等 差 数 列 ， 就a8a9a7a8a10 a9的值为A. 32 2B. 12aC. 12D. 3229. 如有实数a ，使得方程sin x在20,2上有两个不相等的实数根x1，x2 ，就co sx1x2 的值为A.1B. 0C.13D. a210. 在ABC 中 ， 内 角A， B， C的 对 边 分 别 是a， b， c ， 如 a2b23bc ，sin C1502 3 sin B ，就 A 的值为A. 30 B. 60 C. 120D.二、填空题：本大题共6 小题，每道题 3 分，共 18 分；11. 在区间1,2上随机取一个数 x，就 x0,1的
4、概率为；*12. 在 数 列 an S4中 ， a10 ， an2an 1 n2, nN， 前 n 项 和 为 Sn ， 就=；a213. 如 a0 ， b0， ab2 ，就以下不等式对一切满意条件的a， b 恒成立的是 （写出全部正确命题的编号）； ab1 ； ab2 ； a 2b 22 ；33 ab3 1a1 2 ；b14. 已知tan43 ；就tan 2 ；15. 如下列图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其它各面 用 钢 筋 网 围 成 ； 现 有 36m长 的 钢 筋 网 材 料 ， 就 可 围 成 的 每 间 虎 笼 面 积 最 大 为 m 2；16. 已
5、知 M 是 ABC 内的一点，且AB AC23，BAC30 ；定义： f Mx, y, z， 其 中x， y， z分 别 为MB ，CMC ，AMA B的 面 积 ， 如11f Mx, y,， 就22x2的 最 小 值 为， 此 时yf M ；三、解答题：本大题共6 小题，共 52 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；17. （此题 9 分）甲袋中有 3 只白球、 7 只红球、 15 只黑球；乙袋中有10 只白球、 6 只红球、 9 只黑球；（1）从甲袋中任取一球，求取到白球的概率；（ 2）从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率；（ 3）从两袋中各取一球，求两球颜色不同的概率；18.
6、（此题 9 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A1, 2、 B 2,3 、 C2, 1 ；（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（ 2）当 t 为何值时，（ 3）当 t 为何值时，ABtOAtOC 与 OC 垂直；OB与 OA2OB 平行，平行时它们是同向仍是反向；19. （ 本 题 8 分 ） 在A B C 中 ， 角A、 B、 C所 对 的 边 分 别 为a， b， c， 已 知co s2C1 ；4（1） 求sin C 的值；（2） 当 a2 ， 2 sin Asin C 时，求 b 及 c 的长；20. （此题 8 分）已知等差数列Sn ；an 满意： a37，a5
7、a726 ， an的前 n 项和为（1）求an 及 Sn ；（ 2）令 bn列；C an（其中 C 为常数，且 C20，n2N* ），求证数列xbn为等比数21. （此题 9 分）设函数 fxcos x32 cos， x 20,；（1）求 f的值；3（ 2）求 fx 的最小值及f x 取最小值时 x 的集合；（ 3）求 f x 的单调递增区间；22. （此题 9 分）给出下面的数表序列：表 1表 2表 311313544812其中表 n n1,2,3有 n行，第 1 行的 n 个数是 1， 3， 5， 2n1 ，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和；（1） 写出表 4，验证表
8、4 各行中数的平均数按从上到下的次序构成等比数列，并将结论推广到表 n n3 （不要求证明）；（2） 每个数表中最终一行都只有一个数，它们构成数列1， 4，12，记此数列为 bn，求数列bn 的前 n 项和；【试卷答案】一、挑选题：本大题共10 小题，每道题 3 分，共 30 分；题目12345678910答案DDBABCDCAA二、填空题：本大题共6 小题，每道题 3 分，共 18 分；11.11512.3213. ，（少选一个扣1 分）414.32715.216. 9，1 1 1,，6 3 2（第一空2 分，其次空 1 分）三、解答题：本大题共6 小题，共 52 分；解答应写出文字说明，演
9、算步骤或证明过程；17. 解：（ 1）从甲袋中任取一球，取到白球的概率为（ 2）从两袋中各取一球，两球颜色相同的概率3 ； 3 分25P31025257625251592525207；625 6 分（ 3）从两袋中各取一球，两球颜色不同的概率P1207625418； 9 分62518. 解：（ 1）（方法一）由题设知AB3,5， AC1,1 ，就ABAC2,6， ABAC4,4 ；所以 ABAC2 10 ， ABAC42 ；故所求的两条对角线的长分别为分4 2 、 210 ；3（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，就：E 为 B、C 的中点， E 0,1又 E 0
10、,1为 A、D的中点，所以D 1,4故所求的两条对角线的长分别为BC42、AD2 10 ；（2） 由题设知： OC2, 1 ， ABtOC32t，5t ；由 ABt OC 与 OC 垂直，得： ABtOCOC0 ；即 32t，5t2, 10 ，从而 5t11，所以 t11 ；56 分（3） 由题设知：tOAOB2t,32t ， OA2OB5, 8 ；由 tOAOB/ OA2OB ，得 10t158t16 ；解得： t1 ；2此时，9 分tOAOB5 ,4215,28 ，所以它们方向相反；19. （ 1）解：由于cos 2C12 sin 2 C1 ，及 0C，4所以 sin C10 ；44 分（
11、2）解：当 a2 ， 2 sinAsin C 时，由正弦定理a sin Ac，得 c4 ；sin C由 cos2C2 cos2 C11 ，及 0C4得 cosC6 ；4由余弦定理 c 2a 2b 22 ab cos C ，得 b26b120 ；解得 bb所以c6 或 26 , 或4 .6 ；b 2c 4.6 , 8 分20. 解：（ 1）设等差数列an 的公差为 d ，由于 a37 ， a5a726 ，所以有a1 2a12d7,10d解得 a126.3，d2 ；所以 an32 n12n1； Sn3nn n1 22n 22n ； 4 分（2）由（ 1）知 anbCa n2n1，所以nbn 1Ca
12、 n 1Ca nan 1C 2 ；（常数， n2， nN * ）所 以 ， 数 列 bn是 以 bC 3为 首 项 ；C为 公 比 的 等 比 数 列 ；12 8 分2223121. 解：（ 1） f3cos3322 cos12622 x； 3 分2（2） fxcos x32 cos2cos xcos 23sinx sin 23cos x11 cos x23 sin x12sinx1 ；6由于 x0,，所以5x，所以1sinx1 ；所以函数66662f x 的最小值为 0；22此时x，即626 分x；所以 x 的取值集合为3；3（3） 由（ 2）可知： fxsinx61， x0,；5设x666
13、，就原函数为 ysin1；由于x 为减函数，所以6间；ysin1 的减区间就是复合函数f x 的增区由5x，得 2x；6623所以，函数分f x 的单调递增区间是2,；9322. 解：（ 1）表 4 为1357481212 2032它的第 1， 2， 3， 4 行中的数的平均数分别是4，8， 16， 32，它们构成首项为4， 公比为 2 的等比数列；将这一结论推广到表n n3 ，1352n1表 n的第 1 行是 1， 3， 5， 2n1 ，其平均数是n ；n即表 n n比数列；3 各行中的数的平均数按从上到下的次序构成首项为n ，公比为2 的等4 分2n 1（2）由（ 1）知，表 n 中最终一行的唯独一个数为bnn；120设 Sn2b1b2b321322bnn 2 n 1 设 2Sn121222323n 2n 由得，nS202122232n 1n 2n整理，得Snn12n1 9 分