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1、北师大版六年级上册数学学问点归纳第一单元 圆圆概念总结1. 圆的定义：圆是由曲线围成的平面封闭图形；2. 将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心；圆心一般用字母O表示；它到圆上任意一点的距离都相等3. 半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径；半径一般用字母r 表示；把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径；4. 圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小；5. 直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径；直径一般用字母d 表示；圆内最长的线段是直径6. 在同一个圆内,全部的半径都相等,全部的直径都相等；7. 在同一个圆内,有很多条半径,有很多条直径；8. 在同一个圆内,
2、直径的长度是半径的2 倍,半径的长度是直径的一半；用字母表示为： d rr 1 d2用文字表示为：半径 =直径 2直径=半径 2车轮为什么是圆的？答：由于圆心到圆上各点的距离相等,所以圆在滚动时,圆心在一条直线上运动,这样的车轮运行才稳固； 9圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长；或者,圆一周的长度就是圆的周长；10圆的周长总是直径的 3 倍多一些,这个比值是一个固定的数；我们把圆的周长和直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率,用字母表示；圆周率是一个无限不循环小数；在运算时,取3.14 ；世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之；11圆的周长公式： C 圆= d =2 r
3、圆周长=直径圆周长=半径 2d=c 圆直径=周长圆周率 r=c 2（圆半径 =圆周长圆周率 2） 12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积；13、圆所占平面的大小叫圆的面积；把圆等分的份数越多,拼成的图形就越接近平行四边形2或长方形；拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半,高相当于圆的半径；长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径；假如用 S表示圆的面积 , r表示圆的半径,那么圆的面积公式： S 圆r 14圆的面积公式： 2或者 S=（d2） 2或者 S=（ C2）215. 在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长；16. 在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方
4、形的宽；17. 一个环形,外圆的半径是 R,内圆的半径是 r ,它的面积是 S=R2 2或 S= （ R2 2 ）；（其中 Rr 环的宽度） 19半圆的周长等于圆的周长的一半加直径；半圆的周长与圆周长的一半的区分在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径；半圆的周长公式：d2 d或 r 2r圆周长的一半 =r2220. 半圆面积圆的面积2公式为： 22 或r21. 在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数；而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍；例如：在同一个圆里,半径扩大倍,那么直径和周长就都扩大倍,而面积扩大倍；22. 两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以
5、上比的平方；例如：两个圆的半径比是：,那么这两个圆的直径比和周长比都是：,而面积比是：；圆周长和直径的比是： 1,比值是圆周长和半径的比是 2： 1,比值是 223. 当一个圆的半径增加厘米时,它的周长就增加厘米； 当一个圆的直径增加厘米时,它的周长就增加厘米；24. 当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小25、周长相等时 , 圆的面积最大；面积相等时 , 圆的周长最小；考试一般正方形、长方形和圆：它们周长相等时,圆的面积最大,正方形面积居中,长方形的面积最小；它们面积相等时, 长方形周长最大,正方形周长居中,圆的周长最小；26、一个圆的半径扩大（缩小）几倍,直径就扩
6、大（缩小）几倍,周长也扩大（缩小）几倍, 面积就扩大（缩小）几的平方倍,但圆周率永久不变； 27轴对称图形：假如一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形； 折痕所在的这条直线叫做对称轴； 这时 , 我们也说这个图形关于这条直线的轴对称；对称轴是一条直线；28. 有一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆；有 2 条对称轴的图形是：长方形有 3 条对称轴的图形是：等边三角形有 4 条对称轴的图形是：正方形有很多条对称轴的图形是：圆、圆环；29. 直径所在的直线是圆的对称轴；30、几个公式：C圆= d =2 rd =Cd = 2rCS 圆 rr =2
7、 r =d 22331、永久记住要带单位,周长是（例如： cm）,面积是平方（例如： cm）,体积是立方（例如： cm）；32、圆的周长：3.14 13.143.142 6.283.14 39.423.144 12.563.14 515.73.146 18.843.14 721.983.148 25.123.14 928.263.141031.433、圆的面积：23.14 1 3.143.1422 12.563.14 3228.263.14 5278.53.143.144250.2462113.043.14 72153.863.1482200.963.14 92254.343.14102 31
8、4其次单元分数混合运算1、分数混合运算的运算次序与整数混合运算的运算次序完全相同,都是先算乘除, 再算加减, 有括号的先算括号里的；假如是同一级运算,依据从左到右的次序依次运算；假如是分数连乘,可先进行约分,再进行运算；假如是分数乘除混合运算时,要先把除法转换成乘法,然后按乘法运算；2、解决问题（1） 用分数运算解决“求比已知量多（或少）几分之几的量是多少”的实际问题,方法是： 第种方法：可以先求出多或少的详细量,再用单位“1”的量加或减去多或少的部分, 求出要求的问题；第种方法：也可以用单位“ 1”加或减去多或少的几分之几,求出未知数占单位“1” 的几分之几,再用单位“ 1”的量乘这个分数；
9、（2） “已知甲与乙的和,其中甲占和的几分之几,求乙数是多少？”第种方法：第一明确谁占单位“ 1”的几分之几,求出甲数,再用单位“ 1”减去甲数, 求出乙数；第种方法：先用单位“ 1”减去已知甲数所占和的几分之几,即得未知乙数所占和的几分之几,再求出乙数；（3） 用方程解决稍复杂的分数应用题的步骤：要找准单位“ 1”；确定好其他量和单位“ 1”的量有什么关系,画出关系图,写出等量关系式；设未知量为 X,依据等量关系式,列出方程；解答方程；（4） 要记住以下几种算术解法解应用题：对应数量对应分率 =单位“ 1” 的量求一个数的几分之几是多少,用乘法运算；已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除
10、法运算,仍可以用列方程解答；3、要记住以下的解方程定律：加数 + 加数 =和 ；加数 =和另一个加数；被减数减数 =差；被减数 =差+减数；减数=被减数差；因数因数 =积；因数 =积另一个因数；被除数除数 =商；被除数=商除数；除数=被除数商；4、方程形如：（1）Xa=bX=ba（ 2） X a=bX=b+a（3）aX=bX=ab（ 4） aX=bX=ba（5）Xa=bX=ab（ 6） a X=bX=ab（7）aX b=cX=cb a（ 8） aXb=cX=（cb） a（9）abX=cX=ac b10aXbX=cX=c a b11aX bX=cX=ca b12aXb=cXd X=d b a c
11、5、绘制简洁线段图的方法：分数应用题,分两种类型,一种是知道单位“1”的量用乘法,另一种是求单位“ 1”的量,用除法；这两种类型应用题的数量关系可以分成三种: 一 一种量是另一种量的几分之几； 二 一种量比另一种量多几分之几； 三 一种量比另一种量少几分之几；绘制时关键处理好量与量之间的关系,在审题确定单位“1”的量；绘制步骤：第一用线段表示出这个单位“ 1”的量,画在最上面,用直尺画；分率的分母是几就把单位“ 1”的量平均分成几份,用直尺画出平均的等分；标出相关的量；再绘制与单位“ 1”有关的量,依据实际是上面的三种关系中的哪一种再画；标出相关的量；问题所求要标出“？”号和单位；第三单元观看
12、物体1、观看物体一般从正面、上面、左面或右面来观看；2、同样高度的物体,在同一光源的照耀下,离光源越近,这个物体的影子就越短；离光源越远,这个物体的影子就越长；3、站得高,才能望得远；4、确定观看的范畴：1） 先找到观看点、障碍点；2） 连接观看点和障碍点后确定观看的范畴；5、看不到的地方称作盲区；1、百分数的意义第四单元百分数的熟悉像 84%,28%,2.5%这样的数叫作百分数,表示一个数是另一个数的百分之几；百分数也叫百分比、百分率；百分数只表示两个数之间的关系,不能带单位名称,它表示的是一个比值；2、百分数的读法和写法百分数的读法：百分数的读法与分数的读法相同,但百分数读作“百分之几”,
13、不读作“一百分之几”；百分数的写法：百分数相当于分母是100 的分数,但百分数不能写成分数的形式,而是在分子的后面加上百分号（ %）来表示；3、百分数和分数的区分意义不同百分数只表示一个数是另一个数的百分之几；它只能表示两个数之间的倍数关系,并不是表示某一个详细数量, 所以百分数不能带单位； 分数不仅可以表示两个数之间的倍数关系,仍可以表示肯定的数量,所以分数表示数量时可以带单位；写法不同百分数通常不写成分数形式,而在原先的分子后面加上百分号“%”来表示；分数的最终结果中的分子只能是整数,运算结果不是最简分数的要化成最简分数；百分数的最终结果中的分子可以是整数,也可以是小数；如：18%,16.
14、7%,180% 4、小数、分数、百分数的互化把小数化成百分数的方法：先把小数点向右移动两位,再在数的后面直接添上“%”,如 0.25=25%把分数化成百分数的方法：可以先把分数化成分母是 100 的分数,再改写成百分数,如三位小数）；把百分数化成小数的方法：3 =0.6=60%（除不尽的保留5先把“ %”去掉,同时把小数点向左移动两位,当移动的位数不够时,要添0 补位；把百分数化成分数的方法：先把百分数改写成分母是 100 的分数,能约分的要约分成最简分数； 当百分数的分子是小数时,要要依据分数的基本性质把分子和分母同时扩大相同的倍数,把分子变成整数后能约分的再约分；5、求一个数是另一个数的百
15、分之几的方法求一个数是另一个数的百分之几的方法与求一个数是另一个数的几分之几的方法相同,就是用这个数除以另一个数,除不尽时通常保留三位小数,然后把小数点向右移动两位,再在数的后面加上 % 6、求百分率的方法：百分率一般是指部分占总体的百分之几；如合格率就是合格的产品数量占产品数量的百分之几；及格率就是及格人数占总人数的百分之几；结果用百分数的形式表示；常考的几种百分率：合格的数量总数量 100%=合格率及格的人数总人数 100%=及格率发芽的数量总数量 100%=发芽率优秀的人数总人数 100%=优秀率出席的人数总人数 100%=出席率缺席的人数总人数 100%=缺席率命中的次数总次数 100
16、%=命中率7、求一个数的百分之几是多少的实际问题的解法与求一个数的几分之几是多少的问题的解答方法相同,都是用乘法来运算, 用这个数乘百分之几；运算时可以把这个数化成小数来运算,也可以把这个数化成分数来运算,要依据具体情形分析,挑选简便的运算方法；第五单元 数据处理1、三种统计图： 条形统计图 （表示各个量的多少）、折线统计图 （表示数量多少、反映增减变化）扇形统计图 （表示部分与整体的关系）；（一）比的基本概念第六单元比的熟悉1. 两个数相除又叫做两个数的比, “：”是比号；比的前项除以后项所得的商,叫做比值；2. 比值通常用分数、小数和整数表示；3. 比的6比的基本性质：比的前项和后项同时乘
17、上或者同时除以相同的数（0 除外）,比值不变；4 7、分数的基本性质： 分后项不能为 0；5同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商；依据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值； 数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0 除外）,分数的大小不变；乘积是1 的两个数互为倒数； 1 的倒数是 1,0 没有倒数；8、商不变的规律： 在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0 除外）,商不变；9、小数的性质： 在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变；（二）求比值1、求比值：用比的前项除以比的后项；最终结果是数值；（三）化简比
18、1、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,再把分数比值改成比（最终是比的形式）；公因数只有 1 的两个数叫做互质数；最简整数比：比的前项和后项是互质数；2、比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简；（四）比的应用1、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少？例如：六年级有 60 人,男女生的人数比是 5：7,男女生各有多少人？ 题目解析： 60 人就是男女生人数的和；解题思路：第一步求每份： 60（ 5+7） =5 人其次步求男女生：男生： 5 5=25 人女生： 5 7=35 人；2、比的其次种应用：已知一个数量是
19、多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少？ 例如：六年级有男生 25 人,男女生的比是 5：7,求女生有多少人？全班共有多少人？ 题目解析：“男生 25 人”就是其中的一个数量；解题思路：第一步求每份： 255=5 人其次步求女生： 女生： 57=35 人； 全班： 25+35=60 人3、比的第三种应用： 已知两个数量的差, 两个或几个数的比, 求这两个或这几个数量是多少？ 例如：六年级的男生比女生多20 人（或女生比男生少20 人）,男女生的比是 7：5,男女生各有多少人？全班共有多少人？4、要求量 =已知量要求量份数已知量份数5、比在几何里的运用：（1） 已知长方形的周长,长和宽的比
20、是：；求长和宽、面积；长=周长 2 aab宽=周长 2 bab面积长宽（2） 已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是：；求长、宽、高、体积长=周长a宽=周长babcabc高=周长c体积长宽高abc（）已知三角形三个角的比是：,求三个内角的度数；三个角分别为：abcabcabcabc（）已知三角形的周长,三条边的长度比是：,求三条边的长度；三条边分别为：周长a 周长b 周长cabcabcabc（一）百分数的基本概念第七单元百分数的应用1. 百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数；百分数也叫做百分率或百分比；百分数表示两个数之间的比率关系,不表示详细的数量,所以百分数不能带
21、单位；2. 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几；例如： 25的意义：表示一个数是另一个数的25；3. 百分数通常不写成分数形式,而在原先分子后面加上“”来表示；分子部分可为小数、整数,可以大于 100,小于 100 或等于 100；4. 小数与百分数互化的规章：把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号； 把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位；5. 百分数与分数互化的规章：把分数化成百分数,通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）,再把小数化成百分数；把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数；（二）百分数应用题1
22、、四个公式： 谁是谁的几分之几？ 谁是谁的百分之几？前面的数 是字后面的数前面的数是字后面的数 100 谁比谁多百分之几？ 谁比谁少百分之几？比字后面的数前面的数比字后面的数 1002、两个公式：比字前面的数后面的数比字后面的数 100 增加量（削减量）原先的量增加的百分数（削减的百分数） 现在的量原先的量增加量（削减量）求增加百分之几？削减百分之几？；0. ；公式：增加百分之几 =增加的部分单位 1 削减百分之几 =削减的部分单位 1例如： 1、45 立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50 立方厘米,冰的体积比原先水的体积增加百分之几？解题思路：依据公式增加百分之几 =增加的部分单位 1,先确
23、定单位 1 是水,已经知道是 45： 增加的部分不知道,可以利用 50 减 45 求得 5；最终用增加的部分 5单位 1 水的 45 就等于增加百分之几；运算步骤：第一步：单位 1：水： 45 立方厘米其次步：增加的部分： 5045=5 立方厘米第三步：增加百分之几： 5 45=11.1%2、45 立方厘米的水结成冰后,体积增加了5 立方厘米,冰的体积比原先水的体积增加百分之几？解题思路：依据公式增加百分之几 =增加的部分单位 1,先确定单位 1 是水,已经知道是 45： 增加的部分是 5 立方厘米；最终用增加的部分 5单位 1 水的 45 就等于增加百分之几；运算步骤：第一步：单位 1：水：
24、 45 立方厘米其次步：增加的部分： 5 立方厘米第三步：增加百分之几： 5 45=11.1%3、水结成冰后,体积增加了 5 立方厘米,冰的体积为 50 立方厘米,冰的体积比原先水的体积增加百分之几？解题思路：依据公式增加百分之几 =增加的部分单位 1,先确定单位 1 是水,不知道但可以依据题目“水结成冰后,体积增加了5 立方厘米”知道水是少的,冰是多的,所以可以用505 求出水是 45 立方厘米；加的部分是 5 立方厘米；最终用增加的部分5单位 1 水的 45就等于增加百分之几；运算步骤：第一步：单位 1：水： 50 5=45 立方厘米其次步：增加的部分： 5 立方厘米第三步：增加百分之几：
25、 5 45=11.1%4、“削减百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同；5、与增加百分之几相同的仍有“多百分之几” “提高百分之几” “增长百分之几“等；与削减百分之几相同的仍有“少百分之几” “降低百分之几”“节省百分之几”等；百分数应用题（二）比一个数增加百分之几的数,比一个数削减百分之几的数；百分数应用题（四）利息的运算1. 本金：存入银行的钱叫做本金；2. 利息：取款时银行多支付的钱叫做利息；利息=本金利率时间3 2022 年 10 月 9 日以前国家规定,存款的利息要按20的税率纳税；国债的利息不纳税；2022 年 10 月 9 日以后免收利息税；所以如无特别说明,就不在运算利息
26、税；4利率：利息与本金的比值叫做利率； 5银行存款税后利息的运算公式：税后利息利息（20） 6国债利息的运算公式：利息本金利率时间7. 本息：本金与利息的总和叫做本息；8. 应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额；9. 税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率；10. 应纳税额的运算：应纳税额各种收入税率例如：李老师把 2000 元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%运算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元？解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应当用本金的2000 元加上利息的；解题步骤：第一步：依据“利息本金利率时间”算利息利息： 2000 4.14%5=414 元其次步：本金 +利息：
27、2000+414=2414元；例如：李老师把 2000 元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4.14%运算,到期时,李老师的本金和利息共有多少元？（假如利息按20%来上税）解题思路：要求“本金和利息共有多少元”应当用本金的2000 元加上利息的；解题步骤：第一步：依据“利息本金利率时间”算利息利息： 2000 4.14%5=414 元其次步：算税后利息： 414（ 120%） =331.2 元本金+利息： 2000+331.2=233.2 元；几何形体周长、面积运算公式1、长方形的周长=（长+宽） 2C=a+b22、正方形的周长3、长方形的面积=边长 4=长宽C=4aS=ab4、正方形的面积
28、=边长边长S=a.a= a25、三角形的面积 =底高 2S=ah26、平行四边形的面积 =底高S=ah7、梯形的面积 =（上底+下底）高 2S=（ ab）h28、直径 =半径 2d=2r半径=直径 2r= d29、圆的周长 =圆周率直径 =圆周率半径 2 C= d=2r10、圆的面积 =圆周率半径半径S r 2常见的量1、长度单位换算1 千米=1000米1米=10 分米1分米=10 厘米1 米=100 厘米1厘米=10 毫米2、面积单位换算1 平方千米 =100 公顷1公顷=10000 平方米1平方米=100 平方分米1 平方分米 =100 平方厘米1平方厘米 =100 平方毫米3、质量单位换算1千克=1000克 1克=1000 毫克1 千克=1 公斤 2 市斤4、时间单位换算1 昼夜 1 天 24 时1 时 60 分1 分 60 秒