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1、2022 年（新版）九年级数学上册学问点归纳（北师大版）（八下前情回忆）平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ,平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线；平行四边形的性质：平行四边形的对边相等, 对角相等 , 对角线相互平分；平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两条对角线相互平分的四边形是平行四边形；平行线之间的距离：如两条直线相互平行,就其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等；这个距离称为平行线之间的距离；第一章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定菱形的定义：
2、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；菱形的性质：具有平行四边形的性质, 且四条边都相等 , 两条对角线相互垂直平分, 每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴；菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相互垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；2 矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形；矩形是特殊的平行四边形；矩形的性质：具有平行四边形的性质,且对角线相等,四个角都是直角；（矩形是轴对称图形,有两条对称轴）矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形 依据定义 ；对角线相等的平行四边形是矩形；四个角都相等的四边形
3、是矩形；推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3 正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（正方形是轴对称图形,有两条对称轴）正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形；正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系 如图 3 所示 ：梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形；两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形；一组邻边相等一个内角为直角菱形（或对角线相等）平行四边形一组邻边相等且一
4、个内角为直角（或对角线相互垂直平分）一邻边相等正方形矩形一内角为直角或对角线垂直图 3等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等；同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半；夹在两条平行线间的平行线段相等；在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半其次章一元二次方程1 熟悉一元二次方程只含有一个未知数的整式方程,且都可以化为ax2bxc0 （ a、b、c 为常数, a 0）的形式,这样的方程叫一元二次方程 ；把 ax 2bxc0 （ a、b、c 为常数, a 0）称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数； b 为一次项系数； c
5、为常数项；2 用配方法求解一元二次方程配方法 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成 xm20 的形式；两边开方求其根；3 用公式法求解一元二次方程公式法xbb22a4ac（留意在找 abc 时须先把方程化为一般形式）4 用因式分解法求解一元二次方程分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解；（主要包括 “提公因式” 和“十字相乘” ）5 一元二次方程的根与系数的关系2根与系数的关系：当b -4ac0 时,方程有两个不等的实数根；2当 b -4ac=0 时,
6、方程有两个相等的实数根；2当 b -4ac0 时,方程无实数根；2bc假如一元二次方程axbxc0 的两根分别为 x1、x2,就有： x1x2ax1 x2；a一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1） 已知方程的一根,求另一根；222（2） 不解方程,求二次方程的根x1、 x2 的对称式的值,特殊留意以下公式：1x x 22 x1x 22x1x211x1x22 x1x 2 x1x 24 x1x2x1x2x1x2 | x1x2 | x1x 24 x1 x2 | x1 | x2| 2x1x 22 x1x22 | x1x2 |xx2233 12x1x 33 x1x2 x1x2 其他能用 x1x2 或
7、x1x2表达的代数式；222（ 3）已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程：x x1x2 xx1 x20（ 4）已知两数 x 1、x 2 的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程x x1x2 xx1x20 的根6 应用一元二次方程在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：设未知数（在设未知数时,大多数情形只要设问题为x；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；查找等量关系（一般地,题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可依据其列出方程）；处理问题的过程可以进一步概括为：问题 分析抽象方程 求解解答检验第三章图形的相像1 成比例线段一.线段的比 1.假如
8、选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m、n, 那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n , 或写成A m.B n 2.四条线段 a、b、c、d 中, 假如 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比, 即 ab段, 简称比例线段 . 3.留意点 : a:b=k, 说明 a 是 b 的 k 倍;由于线段a、b 的长度都是正数 , 所以 k 是正数 ;c, 那么这四条线段 a、b、c、 d 叫做成比例线d比与所选线段的长度单位无关, 求出时两条线段的长度单位要一样;除了 a=b 之外 ,a:b b:a,aca 与 b 互为倒数 ;baac_A_C_B比例的基本性质: 如b,就 ad
9、=bc;如 ad=bc,就dbd_图 12 平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比例 .A_D_l 1_如图 2,l 1 /l 2 /l 3, 就 ABBC .DEEFB_E_C_F_l_2_ l_3_二.黄金分割 1.如图 1, 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC和 BC,假如 ACAB_图 2BC , 那么称线段 AB被点 C 黄金分割 , 点 C 叫做线段 ABAC的黄金分割点 ,AC 与 AB的比叫做黄金比 .AC : AB510.618: 12 2. 黄金分割点是最美丽、最令人赏心悦目的点. 3 相像多边形 1.一般地 ,
10、 外形相同的图形称为相像图形. 2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相像多边形. 相像多边形对应边的比叫做相像比. 1.在相像多边形中 , 最为简洁的就是相像三角形. 2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相像三角形. 相像三角形对应边的比叫做相像比. 3.全等三角形是相像三角的特例, 这时相像比等于 1.留意: 证两个相像三角形, 与证两个全等三角形一样, 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4.相像三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比. 5.相像三角形周长的比等于相像比. 6.相像三角形面积的比等于相像比的平方.相像多边形的周长等于相像比; 面积比
11、等于相像比的平方. 4 探究三角形相像的条件 2.平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比例 .如图 2,l 1 /l 2 /l 3, 就 ABBC .DEEF 1.相像三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理 : 平行于三角形的一边且和其他两边 或两边的延长线 相交的直线 , 所截得的三角形与原三角形相像.两角对应相等 ;两边对应成比例, 且夹角相等 ;一个锐角对应相等 ;两条边对应成比例 :三边对应成比例.a.两直角边对应成比例 ;b.斜边和始终角边对应成比例. 3.平行于三角形一边的直线与其他两边 或两边的延长线 相交 , 所构成的三角形与原三角形相像
12、. 5 相像三角形的判定定理的证明6 利用相像三角形测高7 相像三角形的性质8 图形的位似第四章投影与视图A）三视图.主视图从正面看到的图左视图从左面看到的图俯视图从上面看到的图.画物体的三视图时, 要符合如下原就 : 大小：长对正 , 高平齐 , 宽相等 .虚实 : 在画图时 , 看的见部分的轮廓通常画成实线, 看不见部分的轮廓线通常画成虚线. B）投影.物体在光线的照耀下 , 会在地面或墙壁上留下它的影子, 这就是投影现象 .太阳光线可以看成平行光线, 像这样的光线所形成的投影称为平行投影；.在同一时刻 , 物体高度与影子长度成比例.物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线 垂直于投影面
13、的平行光线 下的平行投影 .探照灯 , 手电筒 , 路灯 , 和台灯的光线可以看成是从一点动身的光线, 像这样的光线所形成的投影称为中心投影.皮影和手影都是在灯光照耀下形成的影子. 它们是中心投影；C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用；.眼睛所在的位置称为视点,.由视点发出的光线称为视线,.眼睛看不到的地方称为盲区第五章反比例函数学问点 1 反比例函数的定义一般地,形如yk（ k 为常数, kx0 ）的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来懂得： x 是自变量, y 是 x 的反比例函数；自变量 x 的取值范畴是x0 的一切实数,函数值的取值范畴是y0 ；比例系数 k0 是反比例函
14、数定义的一个重要组成部分；反比例函数有三种表达式： yk （ kx0 ）,1 ykx（ k0 ）, xyk （定值）（ k0 ）；函数ky（ kx0 ）与kx（ ky0 ）是等价的,所以当y 是 x 的反比例函数时,x 也是 y 的反比例函数；（ k 为常数, k0 ）是反比例函数的一部分,当k=0 时, ykk,就不是反比例函数了,由于反比例函数yxx（ k0 ）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k 的值,从而确定反比例函数的表达式；学问点 2 用待定系数法求反比例函数的解析式k由于反比例函数y（ kx0 ）中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从
15、而确定反比例函数的表达式；学问点 3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或其次、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量x0 ,函数值 y0 ,所以它的图像与x 轴、 y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永久达不到坐标轴； 反比例的画法分三个步骤：列表；描点；连线；再作反比例函数的图像时应留意以下几点：列表时选取的数值宜对称选取；列表时选取的数值越多,画的图像越精确；连线时,必需依据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接,切忌画成折线；画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标
16、轴相交；学问点 4 反比例函数的性质关于反比例函数的性质,主要讨论它的图像的位置及函数值的增减情形,如下表：k反比例函数k 的符号y（ k0 ）xk0k0图像性质 x 的取值范畴是 x0 ,y 的取值 x 的取值范畴是x0 ,y 的取范畴是 y0值范畴是 y0当 k0 时,函数图像的两个分当 k0 时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内, y 随 x 的增大而减小；支分别在其次、第四象限,在每 个象限内, y 随 x 的增大而增大；留意：描述函数值的增减情形时,必需指出“在每个象限内”否就,笼统地说,当k0 时, y 随 x 的增大而减小“,就会与事实不符的冲突；反比例函数图
17、像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k 的符号打算的,反过来,由反比例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性,也可以推断出k 的符号；如 yk在第一、第三象限,就可知xk0 ；反比例函数yk （ kx0 ）中比例系数k 的肯定值 k 的几何意义；如下列图,过双曲线上任一点P（ x, y）分别作 x 轴、 y 轴的垂线, E、F 分别为垂足,就 kxyxyPFPES矩形 OEPF 反比例函数 y点；k （ kx0 ）中, k 越大,双曲线yk 越远离坐标原点；k 越小,双曲线 y xk越靠近坐标原x 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x 和直线
18、 y= x；第六章概率的进一步熟悉用树状图或表格求概率相关学问点链接： 频数与频率频数：在数据统计中,每个对象显现的次数叫做频数, 频率：每个对象显现的次数与总次数的比值为频率；概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小,即一个时间发生的可能性大小的数值；必定大事发生的概率为 1；不行能大事发生的概率为0；不确定大事发生的概率在0 与 1 之间；【学问点 1】频率与概率的含义在试验中,每个对象显现的频繁程度不同,我们称每个对象显现的次数为频数,而每个对象显现的次数与总次数的比值为频率,即 频率频数总次数把刻画大事 A 发生的可能性大小的数值,称为大事A 发生的概率；【学问点 2】通过试验运用稳固的频率来估量某一时间的概率在进行试验的时候,当试验的次数很大时,某个大事发生的频率稳固在相应的概率邻近；我们可以通过多次试验,用一个大事发生的频率来估量这一大事发生的频率；【只是点 3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）