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1、资料收集于网络,如有侵权请联系网站删除一、三角形相关概念1三角形的概念第十一章 三角形在三角形中,已知三个内角和的比或它们之间的关系,求各内角如： ABC中,已知 A： B： C=2： 3： 4,求 A、 B、 C 的度数 五、三角形的外角1. 意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角word 可编辑由不在同始终线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点 ：三条线段；不在同始终线上；首尾顺次相接 2三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点,如用A、B、C 表示三角形的三个顶点时,此三角形可记作ABC,其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边,A、 B、 C 分
2、别表示三角形的三个内角 3三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段（ 1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线留意： 三角形的角平分线是一条线段,而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线如图, ACD为 ABC的一个外角, BCE也是 ABC的一个外角, 这两个角为对顶角,大小相等2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图中, ACD= A+ B , ACD A , ACD B.三角形的一个外角与与之相邻的内角互补3.
3、外角个数过三角形的一个顶点有两个外角,这两个角为对顶角（相等）,可见一个三角形共有六个外角 六、多边形三角形有三条角平分线且相交于一点,这一点肯定在三角形的内部三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同,可以用量角器画,也可通过尺规作图来画多边形的对角线nn23 条对角线（ 2）三角形的中线：在一个三角形中,连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线 留意： 三角形有三条中线,且它们相交三角形内部一点,交点叫重心画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可（ 3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高；留意： 三角形的三条高是线段 n 边形的内角和为
4、（ n 2） 180多边形的外角和为360一、全等三角形第十二章全等三角形的高画三角形的高时,只需要三角形一个顶点向对边或对边的延长线作垂线,连结顶点与垂足的线段就是该边上1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；懂得：全等三角形外形与大小完全相等,与位置无关；一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全二、三角形三边关系定理三角形两边之和大于第三边,故同时满意ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+bc, b+ca, c+ab三角形两边之差小于第三边,故同时满意ABC三边长 a、b、c 的不等式有： ab-c , ba-c , cb-a 留意：已知两边可得第三边的取值范畴是：两
5、边之差第三边 两边之和三、三角形的稳固性三角形的三边确定了,那么它的外形、大小都确定了,三角形的这个性质就叫做三角形的稳固性 例如起重机的支架采纳三角形结构就是这个道理四、三角形的内角三角形内角和性质的推理方法有多种,常见的有以下几种：结论 1：三角形的内角和为180表示： 在 ABC中, A+ B+ C=180（ 1）构造平角可过 A 点作 MN BC如图 可过一边上任一点,作另两边的平行线（如图）（ 2）构造邻补角,可延长任一边得邻补角（如图） 构造同旁内角,过任一顶点作射线平行于对边（如图）等形；三角形全等不因位置发生变化而转变；2、全等三角形有哪些性质（ 1）全等三角形的对应边相等、对
6、应角相等；懂得：长边对长边,短边对短边；最大角对最大角,最小角对最小角；对应角的对边为对应边,对应边对 的角为对应角；（ 2）全等三角形的周长相等、面积相等；（ 3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等；3、全等三角形的判定边边边 ：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS” 边角边 : 两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS” 角边角 : 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA” 角角边 : 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS” 斜边方. 直法角指边引：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简
7、写成“HL” 4、证明两个证明三两角个形三全角等形的全基等的本基思本路思：路：找第三边 SSS结论 2：在直角三角形中,两个锐角互余表示：（ 1 ）：已知两边-(2) : 已 知一边一角-找夹角（ SAS找是否有直角 HL 已知一边和它的邻角已知一边和它的对角找这边的另一个邻角 ASA找这个角的另一个边 SAS找这边的对角 AAS找一角 AAS已知角是直角,找一边 HL 如图,在直角三角形ABC中, C=90,那么 A+ B=90（由于 A+ B+ C=180）留意： 在三角形中,已知两个内角可以求出第三个内角如：在 ABC中, C=180（ A+ B）找两角的夹边ASA(3) : 已 知两角
8、-找夹边外的任意边 AAS二、角的平分线练习：从一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角,称这条射线为这个角的平分线；1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；留意：三角形的三条角平分线交于一点,这个点到三角形三边的距离相等； 三、学习全等三角形应留意以下几个问题：（ 1要正确区分“对应边”与“对边”,“对应角”与“对角”的不同含义；（ 2 表示两个三角形全等时,表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（ 3） “有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不肯定全等；（ 4）时刻留意图形中的隐含条件,
9、如“公共角” 、“公共边”、“对顶角”（ 5）截长补短法证三角形全等；第十三章轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠,假如直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形；这条直线 就是它的对称轴；这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称；2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,假如它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称；这条 直线知叫识做对回称顾轴；：折叠后重合的点是对应点, 叫做对称点3 、 轴对称图形和轴对称的区分与联系轴对称图形轴对称AA A图形2. 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（等腰三角形 学问点回
10、忆1. 等腰三角形的性质 . 等腰三角形的两个底角相等； （等边对等角） . 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；（三线合一） 懂得：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线；2、等腰三角形的判定：假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 五、（等边三角形）学问点回忆1. 等边三角形的性质：0等边三角形的三条边都相等,三个角都相等,并且每一个角都等于60；2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形；03. 在直角三角形中,假如一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半；4、直角三
11、角形斜边的中线等于斜边的一半；第十四章整式乘除与因式分解1、主要学问回忆： 幂的运算性质：mnmna a a（ m、n 为正整数）BBCCBC同底数幂相乘,底数不变,指数相加(1) 轴对称图形是指一个(1) 轴对称是指 两 个图形m n区分具有特别外形的图形,的位置关系, 必需涉及a a mn（ m、n 为正整数）只对一 个图形而言;两 个图形;幂的乘方,底数不变,指数相乘(2) 对称轴不一 定只有一条2只有 一 条对称轴.ab na nbn（n 为正整数）假如把轴对称图形沿对称轴假如把两个成轴对称的图形积的乘方等于各因式乘方的积联系分成两部分, 那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.拼在一起
12、看成一个整体, 那么它就是一个轴对称图形.amanmn a（ a 0, m、n 都是正整数,且 m n）4. 轴对称与轴对称图形的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形； 假如两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 假如两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称；同底数幂相除,底数不变,指数相减 零指数幂的概念：0a 1（ a 0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l 负指数幂的概念：1a p ap（ a 0,p 是正整数）任何一个不等于零的数的p（ p 是正整数）指数
13、幂,等于这个数的p 指数幂的倒数 两个图形关于某条直线成轴对称,假如它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上；二、线段的垂直平分线1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线；pn也可表示为：mpmn（ m 0, n 0, p 为正整数）2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结：1. 在平面直角坐标系中关于 x 轴对称的点横坐标相等, 纵坐标互为相反数 ;关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数, 纵坐标相等 ;关于原点对称的点横坐标和纵坐
14、标互为相反数；点（ x, y ）关于 x 轴对称的点的坐标为（ x, -y） .点（ x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为（-x, y） .点（ x, y）关于 原点对称的点的坐标为（-x,- y）单项式的乘法法就：单项式相乘,把系数、同底数幂分别相乘,作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母,就连同它的指数 作为积的一个因式单项式与多项式的乘法法就：单项式与多项式相乘,用单项式和多项式的每一项分别相乘,再把所得的积相加 多项式与多项式的乘法法就：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加 单项式的除法法就：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除
15、,作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式的法就：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加 4. 运用公式法 :2、对含有同一个字母的一次项系数是1 的两个一次二项式相乘 xa xbx2ab xab ,(1) 平方差公式 :应是二项式或视作二项式的多项式;其二次项系数为 1,一次项系数等于两个因式中常数项的和,常数项是两个因式中常数项的积；3平方差公式22 1平方差公式：两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,；即 ab abab其结构特点是：公式左边是两个二项式相乘,两个二项式中第一项相同,其次项互为相反数；公式
16、右边是两项的平方差,即相同项的平方与相反项的平方之差；4. 完全平方公式二项式的每项 不含符号 都是一个单项式 或多项式 的平方 ;二项是异号 .(2) 完全平方公式 :应是三项式 ;其中两项同号 , 且各为一整式的平方 ;仍有一项可正负 , 且它是前两项幂的底数乘积的2 倍.3） 分组分解法 : 1. 分组分解法 : 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 1 完全平方公式：两数和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或减去）它们的积的2倍,如:amanbmbna mnbmnab mn2；22即 aba2abb口决：首平方,尾平方,2倍乘积在中心； 2结构特点：公式左边是二项式的完全平方
17、；公式右边共有三项,是二项式中二项的平方和,再加上或减去这两项乘积的2倍； 2. 概念内涵 :分组分解法的关键是如何分组, 要尝试通过分组后是否有公因式可提, 并且可连续分解 , 分组后是否可利用公式法连续分解因式 . 3. 留意 :分组时要留意符号的变化. 3在运用完全平方公式时,要留意公式右边中间项的符号,以及防止显现5、添括号法就：添正不变号,添负各项变号,去括号法就同样6. 分解因式ab 2a2b 2这样的错误；4）. 因式分解的思路与解题步骤 :(1) 先看各项有没有公因式 , 如有 , 就先提取公因式 ;(2) 再看能否使用公式法 ; 1.把一个多项式化成几个整式的积的形式, 这种
18、变形叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解与整式乘法是互逆关系.(1) 整式乘法是把几个整式相乘, 化为一个多项式 ;(2) 因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.(3) 用分组分解法 , 即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4) 因式分解的最终结果必需是几个整式的乘积, 否就不是因式分解 ;(5) 因式分解的结果必需进行到每个因式在有理数范畴内不能再分解为止.（ 6）分解的结果与原式不等, 这时通常采纳多项式乘法仍原后检验分解的是否正确.分解因式的一般方法：1） .提公共因式法选学： 二次三项式 x2pxq 的分解 : 1. 假如一个多项式的各项含有公因式, 那么就
19、可以把这个公因式提出来, 从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 这种分解因式的方法叫做提公因式法.p abq ab1ax21bpxq xa xb 2.概念内涵 :(1) 因式分解的最终结果应当是“积”;(2) 公因式可能是单项式, 也可能是多项式 ;公因式的确定一般方法：系数一各项系数的最大公约数；字母规律内涵 :(1) 懂得 : 把 x2pxq 分解因式时 , 假如常数项 q 是正数 , 那么把它分解成两个同号因数, 它们的符号与一次项各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；3 提公因式法的理论依据是乘法对加法的安排律, 即:ma 3.易错点点评 :mbmcmabc系数 p 的符号相同
20、.(2) 假如常数项 q 是负数 , 那么把它分解成两个异号因数, 其中肯定值较大的因数与一次项系数p 的符号相同 , 对于分解的两个因数 , 仍要看它们的和是不是等于一次项系数p.第十五章分式(1) 留意项的符号与幂指数是否搞错;2公因式是否提“洁净”;(3) 多项式中某一项恰为公因式, 提出后 , 括号中这一项为 +1, 不漏掉 .(4) 假如多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“”号,使括号内的第一项的系数是正的2）.运用公式法 1.假如把乘法公式反过来 , 就可以用来把某些多项式分解因式. 这种分解因式的方法叫做运用公式法.学问点一：分式的定义一般地,假如 A, B 表示两个整数,并
21、且B 中含有字母,那么式子学问点二：与分式有关的条件A叫做分式, A 为分子, B 为分母；B 2.主要公式 : 1平方差公式 :a 2b2ab ab分式有意义：分母不为0（ B0 ）分式无意义：分母为0（ B0 ）(2) 完全平方公式 :a 22a2abb 222abbab 22abA 0分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（）B 0 3.易错点点评 :因式分解要分解究竟 . 如 x4y 4x 2y2 x 2y 2 就没有分解究竟 .分式值为正或大于0：分子分母同号（A 0A0或）B 0B0分式值为负或小于0：分子分母异号（A 0A0或）B 0B0式子表示为： acbdadbcbd分式值
22、为 1：分子分母值相等（ A=B）分式值为 -1 ：分子分母值互为相反数（A+B=0） 学问点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式,分式的值不变；整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1 的分式,再通分； 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算次序先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要留意敏捷,提高解题质 量；留意：在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,留意解题的格式要规范,不要任凭跳步,以便查对有无错误字母表示： ABAC , A BCBA C ,其中 A、B、C 是整
23、式, C0；B C或分析出错的缘由；加减后得出的结果肯定要化成最简分式（或整式）；拓展：分式的符号法就：分式的分子、分母与分式本身的符号,转变其中任何两个,分式的值不变,即A AAAB BBB学问点七： 整数指数幂mnnm1、引入负整数、零指数幂后,指数的取值范畴就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法就对对负整数指数幂一样 适用；即 其中 m, n 均为整数 留意：在应用分式的基本性质时,要留意C0 这个限制条件和隐含条件B0；学问点四：分式的约分 amanam n aa mn abanb n aa na m n（ a0 ）定义：依据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式
24、的约分；步骤：把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因；留意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式a nanb bn a n1an（ a0 ） a 01 （ a0 ）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）的最低次幂；分子分母如为多项式,约分时先对分子分母进行因式分解,再约分； 最简分式的定义 : 一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式；学问点五：分式的通分2、科学记数法如一个数 x 是 0x10 的数就可以表示为a10 （ 1a10 ,即 a 的整数部分只有一位,n 为整数）的形式, n 的确定 单独显现的字母（或含有字母
25、的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的； 保证凡显现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；留意：分式的分母为多项式时,一般应先因式分解；n=比整数部分的数位的个数少1；如 120 000 000=学问点八： 分式方程的解的步骤1.2108学问点六：分式的四就运算与分式的乘方 分式的乘除法法就：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母；式子表示为： acacbdbd分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘；去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母；（产生增根的过程）解整式方程,得到整式方程的解；
26、检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中：式子表示为： acadadbdbc bcnaan 分式的乘方：把分子、分母分别乘方；式子：nbb 分式的加减法就：同分母分式加减法：分母不变,把分子相加减；式子表示为： ababccc异分母分式加减法：先通分,化为同分母的分式,然后再加减；假如最简公分母为0,就原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根；假如最简公分母不为0,就是原方程的解；产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0；学问点九 : 列分式方程解应用题基本步骤 审认真审题,找出等量关系； 设合理设未知数；.列依据等量关系列出方程（组）；.解解出方程（组） ；.验留意检验；2122答答题；应用题常见的几种类型：1 行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题2数字问题 在数字问题中要把握十进制数的表示法3 工程问题 基本公式：工作量 =工时工效 4 顺水逆水问题 v顺水 v静水 v水流 、 v顺水 v静水 - v水流