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1、初三数学 二次函数 学问点总结2一、二次函数概念：第 12 页 共 9 页1. 二次函数的概念： 一般地,形如yaxbxc（ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数数a0 ,而 b ,c 可以为零二次函数的定义域是全体实2. 二次函数yax2bxc 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式2ya xhk 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a 的符号开口方向顶点坐标对
2、称轴性质a0向上h ,ka0向下h ,kxh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 随X=hx 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 随X=hx 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k； 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：y=ax 2向上k0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=a x-h2+k
3、2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax 2bxc 变成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax 2bxc 变成2ya xm2bxmc （或 yaxm 2b xmc ）四、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较从解析式上看,2ya xhk 与 yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即yax22b4acb2a4a,其中 hb ,k 2a2
4、4acb4a22五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk , 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、 与 y 轴的交点 0,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2h,c、与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .六、二次函数yax2bxc 的性质1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb ,顶点坐标为2ab4acb2,2a4
5、a当 xb 2a2时, y 随 x 的增大而减小；当 xb 时, y 随 x 的增大而增大；当 x 2ab 时, y 有最小2a值 4acb4abb4acb2b2. 当 a0 时, 抛物线开口向下, 对称轴为 x,顶点坐标为2a,2a4a当 x时, y 随2ax 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当x 2ab 时, y 有最大值2a4acb24a2七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2. 顶点式：yaxh2k （ a , h , k 为常数, a0 ）；3. 两根式：yaxx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2
6、 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即的这三种形式可以互化.b4ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 a 打算了抛物线开口的大小和方向,a的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴ab 的符号的判定：对称轴x“左同右异”b 在 y 轴左边就 ab2a0 ,在
7、 y 轴的右侧就 ab0 ,概括的说就是3. 常数项 cc 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元
8、二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：一元二次方程axbxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值 y0 时的特别情形 .121212图象与 x 轴的交点个数：2 当b4ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x ,0,B x ,0xx ,其中的x ,x是一元二次方22程 axbxc0 a0 的两根 这两点间的距离ABx2x1b4ac a. 当0 时,图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时,图象与 x 轴没有交点 .1当a0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任2何实数,都有 y0 ； 2 当a0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y0 2. 抛物线yaxbxc
9、 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；2 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数断图象的位置,要数形结合；yaxbxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质, 求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常显现在挑选题中,如：已知以 x 为
10、自变量的二次函数y m2x 2m2m2 的图像经过原点,就 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同始终角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为挑选题,如：如图,假如函数 ykxb 的图像在第一、 二、三象限内, 那么函数 y2kxbx1 的图像大致是 （）yyyy110x-1 ox0x0 1 x ABCD3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题显现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过 0,3 , 4,6 两点,对称轴为 x5,求这条抛物线的解析式；34. 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的
11、极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线yax23bxc （ a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3,与 y 轴交点的纵坐标是 2（ 1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.25考查代数与几何的综合才能,常见的作为专项压轴题；由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （ 1）二次函数yaxbxc 的图像如图 1,就点M b, c a在（）A第一象限B其次象限C第三象限D第四象限（2）已知二次函数y=ax 2+bx+c（ a 0）的图象如图2 所示, .就以下结论： a、b 同号；当 x=1和 x=3 时,函数值相等； 4a+b=0；当 y=-2 时, x
12、的值只能取 0. 其中正确的个数是（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个12【点评】弄清抛物线的位置与系数a, b, c 之间的关系,是解决问题的关键2例 2. 已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点 -2 ,O、x 1,0 ,且 1x 12,与 y 轴的正半轴的交点在点 O,2 的下方以下结论： abO； 4a+cO,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D 4 个答案： D会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=2 ,且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2 ,
13、就抛物线的顶点坐标为 A2, -3B.2,1C2, 3D 3 , 2答案： C例 4、已知抛物线y= 12x 2+x- 5 2（ 1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（ 2）如该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B,求线段 AB的长【点评】此题（ 1）是对二次函数的“基本方法”的考查,第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）明白函数的详细特点；借助多种现实背景懂得函数； 将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系；二次函数对应练习试题一、挑选题1. 二次函数yx24 x7 的顶点坐标是 A.2, 1
14、1B.（ 2, 7）C.（ 2, 11）D.（ 2, 3）2. 把抛物线 y2x2 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是（）A. y2 x12B.y2 x1) 2C.y2 x 21D.y2x213. 函数ykx2k 和 yk k0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的x4. 已知二次函数yax 2bxc a0 的图象如下列图 , 就以下结论 : a,b 同号 ; 当 x1 和 x3 时, 函数值相等 ; 4ab0 当 y2 时,x 的值只能取 0. 其中正确的个数是 A.1 个B.2个C. 3个D. 4个5. 已知二次函数yax 2bxc a0 的顶点坐标（ -1 ,-3.2 ）及部分图象 如图
15、 ,由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2bxc0 的两个根分别是 x1.3和x12（） . B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函数yax2bxc 的图象如下列图,就点ac,bc 在（）A第一象限B其次象限C第三象限D 第四象限7. 方程2 xx22x的正根的个数为（）A.0 个B.1个C.2个.3个8. 已知抛物线过点 A2,0,B-1,0,与 y 轴交于点 C, 且 OC=2.就这条抛物线的解析式为A. yx2C.yx2x2x2 或B.yx2x2D.yx2yx2x2x2 或yx2x2二、填空题29. 二次函数 yxbx3 的对称轴是 x2 ,就 b ；10. 已知抛物线
16、y=-2 （ x+3 ） 2+5 ,假如 y 随 x 的增大而减小,那么x 的取值范畴是.11. 一个函数具有以下性质：图象过点（1, 2）,当 x 0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） ；12. 抛物线 y2 x2 26 的顶点为 C,已知直线ykx3 过点 C,就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；13. 二次函数 y2 x24 x1 的图象是由 y2x2bxc 的图象向左平移1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 就 b=,c=；14. 如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16 米,跨度是 40 米,在线段AB上
17、离中心 M处 5 米的地方,桥的高度是取 3.14.三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是(1) 求这个二次函数的解析式;x30 , 图象经过 1,-6,且与 y 轴的交点为 0,5 .2(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0.(3) 当 x 在什么范畴内变化时 , 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 .第 15 题图1216. 某种爆竹点燃后,其上上升度h（米）和时间 t （秒）符合关系式hv0tgt（ 0t 2）,其中重22力加速度 g 以 10 米/ 秒 运算这种爆竹点燃后以v 0=20 米/ 秒的初速度上升,（ 1）这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15
18、 米？（ 2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判定爆竹是上升,或是下降,并说明理由.217. 如图,抛物线yxbxc 经过直线 yx3 与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为 D.（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）点 P 为抛物线上的一个动点,求使的坐标；S APC ：S ACD5 ：4 的点 P18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费供应货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理） 当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45 吨该建材店为提高经营利润,预备实行降价的方式进行促销经市场调查发觉：当每
19、吨售价每下降10 元时,月销售量就会增加7.5 吨综合考虑各种因素, 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元设每吨材料售价为x（元）, 该经销店的月利润为y（元）（ 1）当每吨售价是 240 元时,运算此时的月销售量；（ 2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范畴） ；（ 3）该建材店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元？（ 4）小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由练习试题答案一,挑选题、1 A 2 C 3 A 4 B5 D6 B7 C8 C二、填空题、9 b4 10 x -3 11如y2x24, y2 x4 等（答案不唯独）12 1
20、13 -8 71415三、解答题15 1 设抛物线的解析式为yax2bxc , 由题意可得b32aabc615155解得 a,b3, c所以 yx23xc222222x1 或-52x316（ 1）由已知得,1520t110t 2 ,解得 t3, t1 当t3 时不合题意,舍去；所以当爆竹点燃212后 1 秒离地 15 米（ 2）由题意得, h25t20t 25t220 ,可知顶点的横坐标t2 ,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内,爆竹在上升17（ 1）直线 yx3 与坐标轴的交点 A（ 3, 0）, B（ 0, 3）就93bc0b2解得c3c3所以此抛物线解
21、析式为yx22x3 （ 2）抛物线的顶点 D（ 1, 4）,与 x 轴的另一个交点 C（1, 0）. 设 Pa,a 22a3 ,就 14a 22 a3 : 1445: 4 . 化简得a22a3522当 a 22a3 0 时,a 22a35 得 a4, a2 P（4, 5）或 P（ 2,5）当 a 22a3 0 时,a22a35 即 a22 a20 ,此方程无解综上所述,满意条件的点的坐标为（ 4, 5）或（ 2, 5）18（ 1） 45260102407.5 =60（吨）（ 2） y x10045260x2107.5 ,化简得：y3 x24315x24000 （ 3） y3 x 24315x240003 x42109075 红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210 元（ 4）我认为,小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时,x 为 210 元,而对于月销售额Wx45260x 107.53 x4160219200来说,当 x 为 160 元时,月销售额 W最大当 x 为 210 元时,月销售额 W不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为17325 元； 而当 x 为 200 元时,月销售额为 18000 元 17325 18000, 当月利润最大时,月销售额W不是最大小静说的不对