2022年九级相似三角形动点问题.pdf

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1、相似三角形动点问题一选择题（共1 小题）1如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图5 5的方格中，作格点三角形和ABC 相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（）A0.5，2.5 B0.5，5 C1，2.5 D1，5 解：如图所示，DEF 和GHI 分别是面积最小和面积最大的三角形因为 DEF，GHI 和ABC 都相似， AB=，DE=1 ，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1 ：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而ABC 的面积为2 1=1，故DEF 和GHI 面积分别为0.5，5故选 B二填空题

2、（共10 小题）2如图， P是 RtABC 斜边 AB 上的动点（ P 异于 A、B） ，C=90 ，B=30 ，过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，当=或或时，截得的三角形面积为ABC 面积的解：设 P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1： 2， 第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l1AC ， 第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点， l2BC， 第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

3、- - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - ， 第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且，=，=，当=或或时，截得的三角形面积为RtABC 面积的，故答案为：或或3如图，在正方形ABCD 中，M 是 BC 边上的动点， N 在 CO 上，且，若 AB=1 ，设 BM=x ，当 x=或时，以 A、B、M 为顶点的三角形和以N、C、M 为顶点的三角形相似相似三角形的性质；正方形的性质，AB=1 CN= 1=，BM=x ，CM=1 x， 当 CN 与 BM 是对应边时，=，即=解得 x=， 当 CN 与 AB 是对应边时，=，即=，解得 x=综上所述， x

4、 的值是或故答案为：或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4.在ABC 中， P是 AB 上的动点（ P异于 A、B） ，过点 P 的直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的 ABC 的相似线，简记为P（lx） （x 为自然数）（1）如图 ，A=90 ，B= C，当 BP=2PA 时，P（l1） 、P（l2）都是过点P 的ABC 的相似线（其中l1BC，l2AC ） ，此外，还有1条；（2）如图

5、，C=90 ， B=30 ，当=或或时， P（lx）截得的三角形面积为ABC 面积的分析：（1）过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQABC ，l3是第 3 条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有4 条，注意不要遗漏解： （1）存在另外1 条相似线如图 1 所示，过点P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则APQABC ；故答案为： 1；（2）设 P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2如图 2 所示，共有4 条相似线： 第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l1AC ，=； 第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点

6、， l2BC，=； 第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=，=； 第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且=，=，=故答案为：或或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 5如图，在钝角三角形ABC 中， AB=6cm ，AC=12cm ，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点E 从 C 点出发到A 点止点 D 运动的速度为1cm/秒，点 E 运动的速度为2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E 为

7、顶点的三角形与 ABC 相似时，运动的时间是3 秒或 4.8 秒动点型；分析：如果以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，由于 A 与 A 对应，那么分两种情况： D 与 B 对应； D 与 C 对应根据相似三角形的性质分别作答解：如果两点同时运动，设运动t 秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与ABC 相似，则 AD=t ，CE=2t，AE=AC CE=122t 当 D 与 B 对应时，有 ADE ABC AD ：AB=AE ：AC ，t：6=（122t） ：12t=3； 当 D 与 C 对应时，有 ADE ACB AD ：AC=AE ：AB ，t：12=（122t） ：6，t=4.8故

8、当以点A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是3秒或 4.8 秒三解答题（共19 小题）1如图，在 ABC 中， AB=6cm ，AC=12cm ，动点 M 从点 A 出发，以1cm 秒的速度向点B 运动，动点N 从点 C出发，以 2cm 秒的速度向点A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由动点型分析：首先设经过t 秒时， AMN 与ABC 相似，可得AM=t ，CN=2t ，AN=12 2t（0 t 6） ，然后分别从当MN BC 时，AMN ABC 与当 AMN= C 时， A

9、NM ABC 去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案解：存在t=3 秒或 4.8 秒，使以点A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似（无此过程不扣分）设经过 t 秒时， AMN 与ABC 相似，此时， AM=t ，CN=2t ，AN=12 2t（0 t 6） ，（1）当 MN BC 时， AMN ABC ， （1 分）则，即， （3 分）解得 t=3； （5 分）（2）当 AMN= C 时， ANM ABC ， （ 6 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 -

10、 - - - - - - - - - 则，即， （8 分）解得 t=4.8； （10 分）故所求 t 的值为 3 秒或 4.8 秒2已知 AOB=90 ，OM 是AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线 OM 上移动，两直角边分别与边OA，OB 交于点 C，D 在图甲中，证明：PC=PD； 在图乙中，点G 是 CD 与 OP 的交点，且PG=PD，求 POD 与PDG 的面积之比；（2）将三角板的直角顶点P在射线 OM 上移动，一直角边与边OB 交于点 D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线 OB 分别交于点C，E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与OCD 相似

11、，在图丙中作出图形，试求OP 的长分析：（1） 可通过构建全等三角形来求解； 可根据相似比来求面积比（2）分两种情况进行讨论： 当 C 在 OA 上上时； 当 C 在 OA 延长线上时；解： （1） 证明：过 P 作 PHOA ，PNOB，垂足分别为H， N，得 HPN=90HPC+CPN=90CPN+NPD=90HPC=NPD OM 是AOB 的平分线 PH=PN 又PHC=PND=90 PCHPDN PC=PD PC=PDPDG=45POD=45 PDG=POD GPD=DPOPODPDG（2） 若 PC 与边 OA 相交，PDECDO 令PDEOCDCDO=PEDCE=CD COEDOE

12、=OD OP=ED=OD=1 若 PC 与边 OA 的反向延长线相交过 P作 PHOA ，PNOB，垂足分别为H，N，PEDEDC 令PDEODCPDE=ODC OEC=PEDPDE=HCP PH=PN，RtPHCRtPNDHC=ND ， PC=PDPDC=45PDO=PCH=22.5 OPC=180 POCOCP=22.5OP=OC设 OP=x，则 OH=ON=HC=DN=OD ON=1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - HC=

13、HO+OC=+x1=+xx=即 OP=3如图，矩形ABCD 中， AB=6cm ，AD=3cm ，CE=2cm，动点 P 从 A 出发以每秒2cm 的速度向终点B 运动，同时动点 Q 也从点 A 出发以每秒1cm 的速度向终点E运动设运动的时间为t 秒解答下列问题：（1）当 0t 3 时，以 A、P、Q 为顶点的三角形能与ADE 相似吗？（不必说理由）（2）连接 DQ，试求当 t 为何值时？ ADQ 为等腰三角形（3）求 t 为何值时？直线PQ 平分矩形 ABCD 的面积分析：（1）不能相似，因为相似时，只能AQP=90 ，QPA=30 ，而 ADE 中的锐角不能为30 ；（2）分为三种情况：

14、 当 AD=AQ=3cm时， 当 DA=DQ 时，过 D 作 DM AE 于 M， 当 QA=QD 时，求出AQ 长即可；（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC ） ，当直线PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形ABCD 的面积，根据ROCPOA，求出 CR=AP=2t ，得出 RE=2t2，EQ=5t，根据 RQEPQA 得出=，代入求出即可解： （1）不能相似；（2）四边形 ABCD 是矩形，DC=AB=6cm ，ADC=90 ，分为三种情况： 当 AD=AQ=3cm时，此时t=3； 当 DA=DQ 时，过 D 作 DM AE 于 M，在 RtADE 中， AD=3 ，DE=

15、DC CE=6cm2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm ，由三角形的面积公式得：SADE= AD DE=AE DM ，DM=cm，在 RtADM 中，由勾股定理得：AM=（cm） ，DM AQ，AD=DQ ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - AQ=2AM=cm（三线合一定理） ，即 t=； 当 QA=QD 时，过 Q 作 QNAD 于 N，则 AN=ND=，ADC= ANQ=90 QNDC，DN=AN ，EQ=AQ=AE=

16、5cm=cm，即 t=综合上述，当t 为 3秒或秒或秒时， ADQ 是等腰三角形（3）连接 AC，取 AC 中点 O（即 AO=OC ） ，当直线PQ 过 O 时，直线 PQ 平分矩形ABCD 的面积，四边形 ABCD 是矩形， DCAB ，OCR=OAP ，在ROC 和POA 中，ROCPOA （ASA） ，CR=AP=2t ，CE=2，RE=2t2，EQ=5t，DCAB，RQEPQA，=，=，解得： t1=3，t2=0（舍去）即 t=3 秒时，直线PQ 平分矩形 ABCD 的面积4已知： RtOAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为 OB 的中点，点C 为折线 OAB 上的动点

17、，线段PC 把 RtOAB 分割成两部分在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt OAB 相似，并直接写出点C的坐标分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得 PCAB， PC OA 时， 分割得到的三角形与RtOAB相似，根据网格结构写出此时点C 的坐标即可；又当 PCOB 时，分割得到的三角形与RtOAB 也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB 的长度，然后根据相精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -

18、- 似三角形对应边成比例列式求出BC 的长度，再求出AC 的长度，从而得到此时点C 的坐标解：如图， PCAB 时， OCP OAB ，此时点 C 的坐标为（ 3，0） ，PCOA 时， PCB OAB ，此时点 C 的坐标为（ 6，4） ，PCOB 时， CPB OAB ，根据勾股定理得，OB=10，P（3，4）为 OB 的中点， PB=OB=5 ，=，即=，解得 BC=，AC=AB BC=8 =，此时点 C 的坐标为（ 6，） ，综上所述，点C 的坐标为（ 3，0） ， （6，4） ， （6，） 5如图，已知矩形ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm 某一时刻，动点M 从 A 点出

19、发沿AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿DA 方向以 2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？（2）是否存在时刻t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由动点型分析：（1）关于动点问题，可设时间为x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的作为相等关系；（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的t 值即可说明存在，反之则不存在解： （1）

20、设经过 x 秒后， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的，则有：（62x）x= 3 6，即 x23x+2=0， （2 分）解方程，得x1=1，x2=2， （3 分）经检验，可知x1=1，x2=2 符合题意，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 所以经过 1 秒或 2 秒后， AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的 （4 分）（2）假设经过t 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似，由矩形 ABCD ，可得 CDA= MA

21、N=90 ，因此有或（5 分）即 ，或 （6 分）解 ，得 t=；解 ，得 t=（7 分）经检验， t=或 t=都符合题意，所以动点 M，N 同时出发后，经过秒或秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似6RtABC 中，C=90 ，AC=6 厘米， BC=8 厘米，动点 P 从点 A 开始在线段AC 上以 1 厘米 /秒的速度向点C 移动，同时动点Q 从点 B 开始在线段BA 上以 2 厘米 /秒的速度向点A 移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束设点P、Q 移动的时间为t 秒（1）设 APQ 的面积为 y（厘米2） ，请你求出y 与 t 的函数关系式，写出自变量t 的取值

22、范围，并求出当t 为何值时， APQ 的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在， 请你求出此时t 的值；若不存在，请你说明理由分析：（1）根据已知条件求出AB 的长，再过点Q 作 QHAC，交 AC 与点 H，的长 QHA BCA ，求出，即可求出QH 的值，最后求SAPQ的值；（2）存在在以点A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，此小题要分两种情况进行讨论， 当APQ=90 时，APQABC ，求出 t 的值； 当PQA=90 时， APQABC ，求出 t 的值，经检验它们都符合题意即可解： （1）BC=8，AC=6 ，得 AB

23、=10 ，AP=t ，CP=6t，BQ=2t ，AQ=10 2t，过点 Q 作 QHAC ，交 AC 与点 H，QHA BCA ， QH=8t，SAPQ=AP?QH=t（8t）=4tt2；当 t=时，面积有最大值，是4 （）2=5=；（2） 当APQ=90 时， APQABC ，则，t=； 当PQA=90 时， APQABC ，则，则，解得 t=，当 t 为或时，经检验，它们都符合题意，此时AQP 和ABC 相似，故存在以点A、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

24、-第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC 相似的三角形分析：可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题解：观察可以发现AC=AB，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为EBF 中， BF=，EF=，BF=5，DIB 中， DI=2 ，DB=2，BI=2，HFE 中， HF=，HE=2 ，EF=，ABC 中，AB=1 ，AC=，BC=，计算对应边比值即可求得EBFDIB HFEABC 8如图，在梯形ABCD 中， AD BC，AD=2 ，BC=10，对角线AC=4

25、 ，动点 E 从点 B 出发，以2cm/s 的速度向点C 运动，运动时间为t（s） （ 0 t 5） 那么当t 为何值时，以A、E、C 为顶点的三角形与 ADC 相似分析：由于 AD BC，得 DAC= BCA ；若以 A、E、C 为顶点的三角形与ADC 相似，可得两种情况： ADC CEA ，此时对应边AD=AD ，则两三角形全等，AD=EC=2 ； ADC CAE ，此时 AD ：AC=AC ：CE，根据所得的比例式，即可求出CE 的长；根据上述两种情况所得出的CE 的值，再除以B 点的速度，即可求出时间t 的值解： AD BC，DAC= BCA ； 当ADC CEA 时，即 EC=AD=

26、2 ，t=2 2=1s； 当ADC CAE 时，即 CE=AC2 AD=8 ，t=8 2=4s；故当 t 为 1s 或 4s 时，以 A、E、C 为顶点的三角形与ADC 相似精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 9如图，在RtABC 中， C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm 动点 M 从点 A 出发，以每秒1cm 的速度沿AC 向终点C 移动，同时动点P 从点 B 出发，以每秒2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接PM

27、，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5） 当 t 为何值时，以A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似？分析：根据勾股定理求出AB，根据相似得出两种情况，根据相似得出比例式，代入比例式求出即可解： 如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4cm ，BC=3cm 根据勾股定理，得AB=5cm，以 A，P，M 为顶点的三角形与ABC 相似，分两种情况： 当AMP ABC 时，=，即=，解得 t=； 当APM ABC 时，=时，即=，解得 t=，综上所述，当t=或 t=时，以 A、P、M 为顶点的三角形与ABC 相似选作题1在 ABC 中， C=90（1）如图 1，P是 AC 上的点，过点P 作

28、直线截 ABC ，使截得的三角形与ABC 相似例如：过点P 作 PDBC交 AB 于 D，则截得的 ADP 与ABC 相似请你在图中画出所有满足条件的直线（2）如图 2，Q 是 BC 上异于点 B，C 的动点，过点Q 作直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，直接写出满足条件的直线的条数（不要求画出具体的直线）分析：（1）根据平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，可以作DPBC，PEAB ；又由有两个角对应相等的三角形相似，可以过点 P作 PG AB 交 AC 于点 G，过点 P 作PFC=A 即可；（2）本题需要根据BQ 的取值范围不同，所画的直线

29、条数不同讨论即可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 解： （1）如图所示：（2）当 0BQ 时，满足条件的直线有3 条；当BQ6 时，满足条件的直线有4 条2已知：如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在x 轴， y 轴的正半轴上，点A（6，0） ，BAO=30 （1）求点 B 的坐标；（2）点 P是线段 AB 上的动点，若使POA 为等腰三角形，求点P的坐标；（3）在第一象限内是否存在点Q，使得以 Q、O、B 为顶点的三角形

30、与OAB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由分析：（1）在直角三角形AOB 中，由 OA 与 tan30 的值求出 OB 的长，即可确定出B 的坐标；（2） P 为线段 AB 上的动点，若使 POA 为等腰三角形， 则有 OP=PA 或 PA=AO 两种情况，如图 1 所示， 当 OP1=P1A时，连接 OP1，作 P1C1OA ，则 C1为 AO 的中点， P1C1为 AOB 的中位线，求出P1C1与 OC1的长，确定出此时P1的坐标； 当 P2A=AO 时，连接 OP2，作 P2C2OA，可得出 P2A=AO=6 ，P2AO=30 ，在 Rt P2AC

31、中，求出 P2C 与 AC2的长，进而确定出OC2的长，确定出此时P2的坐标即可；（3）分三种情况考虑：当OBQ 为直角时，如图2 所示，再分两种情况考虑： 若BQO OAB ； 若BQOOAB 时，分别求出Q 的坐标；当CQB 为直角时， 如图 3 所示，再分两种情况考虑： 过 O 作 OQAB ，此时 QOBOAB ， 若QBOOAB 时，分别求出Q 的坐标；当 BOQ 为直角时，经检验不合题意，综上，得到所有满足题意Q的坐标解： （1）在 RtAOB 中， OB=OA ?tan30 =6=2，则 B 坐标为（ 0，2） ；（2）P 为线段 AB 上的动点，若使POA 为等腰三角形，则有O

32、P=PA 或 PA=AO 两种情况，如图1 所示， 当 OP1=P1A 时，连接 OP1，作 P1C1OA ，则 C1为 AO 的中点， P1C1为AOB 的中位线，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - P1C1=BO=，OC1=OA=3 ，此时 P1（3，） ； 当 P2A=AO 时，连接 OP2，作 P2C2OA，P2A=AO=6 ，P2AO=30 ，在 RtP2AC 中， P2C=P2A=3，AC2=P2Acos30 =3，则

33、 OC2=OA C2A=63，即 P2（63，3） ；（3）当 OBQ 为直角时，如图2 所示， 若BQOOAB ，则 BOQ= OAB=30 ，则 BQ=OBtan30 =2，即 Q（2，2） ； 若BQOOAB 时，则 BOQ=OAB=30 ，BQ=OBtan60 =2=6，即 Q（6，2） ；当CQB 为直角时，如图3所示， 过 O 作 OQAB，此时 QOBOAB ，BOQ=BAO=30 ，在 RtOQB 中， BQ=OA=，OQ=OBcos30 =3，在 RtQMO 中， OQM=30 ，OM=OQ=，QM=OQcos30 =，即 Q（，） ； 若QBOOAB 时，则 OBQ=OAB=30 ，作 QNOA ，QON=30 ，如图 4 所示，QN=OQ= OB=，ON=OQcos30 =，即 Q（，） ；当BOQ 为直角时， Q 在 x 轴上，不符合要求，综上，符合题意的点Q 有四个，分别为Q1（2，2） ， Q2（6，2） ，Q3（，） ，Q4（，） 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -