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1、精品学习资源2021 年全国中学数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、挑选题此题总分值42 分，每题 7 分1.运算 4 32 24124 2BA 21 B1C 2D 2欢迎下载精品学习资源2. 满意等式m2 m 22m1的全部实数 m 的和为 A欢迎下载精品学习资源A3B4C5D6欢迎下载精品学习资源3. 已知 AB 是圆 O 的直径，C 为圆 O 上一点，CAB15 ， ABC 的平分线交圆 O 于点 D，欢迎下载精品学习资源假设 CD3 ，就 AB=AA2B 6C 2 2D 3欢迎下载精品学习资源4. 不定方程3x27 xy2 x5 y170 的全部正整数角 x,y的组数为 B欢迎下载精品
2、学习资源A1B2C3D45 矩形 ABCD的边长 AD=3，AB=2， E为 AB 的中点， F 在线段 BC上，且 BF： FC=1： 2， AF 分别与 DE， DB 交于点 M， N，就 MN=C欢迎下载精品学习资源A 3 5755B1495C2811 5D28欢迎下载精品学习资源6.设 n 为正整数，假设不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，就称n 为“好数”，那么，全部“好数”之和为BA33B34C2021D2021二、填空题此题总分值28 分，每题 7 分欢迎下载精品学习资源1. 已知实数x, y, z满意 xy4, z1xy2 y9,就 x2 y3z4欢迎下载精品学习资源2.
3、 将一个正方体的外表都染成红色，再切割成n 3 n2 个相同的小正方体，假设只有一面欢迎下载精品学习资源是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，就n=83.在 ABC 中，A60,C75 , AB10 ，D，E，F 分别在AB，BC，CA 上，就DEF的周长最小值为564.假如实数x, y, z满意x2y2z2xyyzzx8 ，用 A 表示 xy , yz , zx 的4 6最大值，就 A 的最大值为3其次试 A欢迎下载精品学习资源一、此题总分值 20 分已知实数a, b, c, d 满意2a23c22b23d 22adbc6, 求欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源a
4、2b2c2d 2 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：设ma 2b2 , nc2d 2 ，就 2m3n2a22b23c23d212.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2由于 2m3n22m3n24mn224mn ，即 1224mn ，所以欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源mn6 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于mna2b2c2d 2a2 c2b2d 2a2 d 2b2c2 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由1 ，2 可得 mn6. 即 a2b2c2d26欢迎下载精品学习资源注：符合条件的实数a, b, c, d 存在且不唯独， a2, b1,
5、c6 , d23就是一组；欢迎下载精品学习资源33二、此题总分值 25 分已知点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上，过点 B、C 作圆 O 的切线，交欢迎下载精品学习资源于点 P，连 AC，假设 OP9 AC ，求 PB的值；欢迎下载精品学习资源2AC解：连 OC，由于 PC， PB 为圆 O 的切线，所以 POC=POB；又由于 OA=O，C 所以 OCA=OAC；又由于 COB= OCA+ OAC，所以 2 POB=2 OAC，所以 POB= OAC，所以 OP AC；又 POB=OAC，所以BACPOB ，所以 ACAB ；OBOP欢迎下载精品学习资源又 OP9 AC ， AB=2r，
6、 OB=rr 为圆 O 的半径，代入可求得2欢迎下载精品学习资源2OP=3r,AC=r.3欢迎下载精品学习资源在 RtPOB 中， 由勾股定理可求得PBOP2OB22 2r ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 PBAC2 2r2 r33 2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、此题总分值 25 分已知 t 是一元二次方程 x2x10 的一个根， 假设正整数a,b, m欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源使得等式atmbtm31m 成立，求 ab 的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由于 t 是一元二次方程 x2x10 的一个根，明显 t 是无理数，且t2
7、1t ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源等式 atmbtm31m即 abt2m ab tm231m ，欢迎下载精品学习资源即 ab 1tm ab tm231m ，即m abab tabm231m0.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 a, b, m是正整数， t 是无理数，所以m abab0,于是可得ab31m,欢迎下载精品学习资源abm231m0,ab31mm2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因此，a, b是关于 x 的一元二次方程 x2m31 x31mm20 的两个整数根，该方程欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源的判别式2m314 31mm231m315m
8、0.欢迎下载精品学习资源.又由于 a, b是正整数，所以 ab31m0 ，从而可得 0m31欢迎下载精品学习资源又由于判别式是一个完全平方数，验证可知，只有5m6 符合要求；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源把 m6 代入可得 ab31mm2150.欢迎下载精品学习资源其次试 B欢迎下载精品学习资源一 、 此 题 总 分 值20分 已 知 t21 ， 假 设 正 整 数a,b, m 使 得 等 式欢迎下载精品学习资源atmbtm17m 成立，求 ab 的值；欢迎下载精品学习资源解：由于 t21 ，所以t 232 2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源等式 atmbtm17m即 ab
9、t2m ab tm217m,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即 ab322m ab21m217m ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源整理得m ab2ab23abm abm217m0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是可得ab2 17m ,欢迎下载精品学习资源ab17mm2.欢迎下载精品学习资源因此，a, b是关于 x 的一元二次方程 x22m17 x17 mm20 1 的两个整数根，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源方程 1 的判别式24 m174 17mm24 17m172m0.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于a,b, m是正整数，所以 ab2 1
10、7m0 ，从而可得 0m172欢迎下载精品学习资源又由于判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m8 符合要求，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源把 m8 代入得 ab17mm272 ；欢迎下载精品学习资源二、此题总分值 25 分在 ABC 中， ABAC， O、I 分别是 ABC 的外心和内心，且满意 AB-AC=2OI；求证：1OIBC；欢迎下载精品学习资源2 SAOCS AOB2S AOI ；欢迎下载精品学习资源证明 1作 OM BC于 M， IN BC于 N；设 BC=a ， AC=b ， AB=c ；欢迎下载精品学习资源易求得 CM= 1 a ， CN= 1abc ，所以 MN=
11、CM-CN= 1cb =OI，欢迎下载精品学习资源222又 MN 恰好是两条平行线OM，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平行线 OM， IN 之间的垂线段，所以OI MN，所以 OI BC；2由 1知 OMNI 是矩形，连接 BI， CI，设 OM=IN= r 即为ABC 的内切圆半径 ，就欢迎下载精品学习资源S AOCS AOBS AOIS COIS AICS AIBS AOIS BOI欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 SSSSS2 S1 OIr1 OIr1AC r1 AB r欢迎下载精品学习资源AOIBOICOIAICAIBAOI2222欢迎下载精品学习资源2 SrOI1
12、b1 c2S.欢迎下载精品学习资源AOIAOI22欢迎下载精品学习资源三、 此题总分值25分假设正数a, b, c满足欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2b 2c2a 22bcc2a2b 222caa 2b 2c2232ab，求代数式欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b2c2a 22bcc2a 2b2 2caa 2b2 2abc2的值；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由于a,b,c 具有轮换对称性，不妨设0abc.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1假设 cab ，就cab0,cba0 ，从而得：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b2c2a2cb 2a2欢迎
13、下载精品学习资源2bc11,2bc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源c2a2b2ca 2b2欢迎下载精品学习资源2ca11,2ca欢迎下载精品学习资源222abaab 2c211,欢迎下载精品学习资源2abb 2所以c2a 22bc2ab2c22a 2b2 2ca2a 2b 2c2 2ab3 ，与已知条件冲突；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2假设 cab ，就 0cab,0cba ，从而可得：欢迎下载精品学习资源b2c2a22bcc2a2b22caa2b2 2abc2cb 2a2011,2bcca 2b2011,2caab 2c2011,2ab欢迎下载精品学习资源222abaab 2c211,欢迎下载精品学习资源2abb 2所以c2a 22bc2ab2c22a 2b2 2ca2a 2b 2c2 2ab3 ，与已知条件冲突；欢迎下载精品学习资源综合 12可知：肯定有 cab.欢迎下载精品学习资源b 2c2a 2c2a2b2a2b 2c2欢迎下载精品学习资源于是可得1,1,1欢迎下载精品学习资源2bc2ca2ab欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源b2c2a2所以2bcc2a 2b 22caa 2b2c21.2ab欢迎下载