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1、精品学习资源2021 年全国中学数学竞赛试题考试时间 2021 年 3 月 17 日 9:30-11:30总分值 150 分一二三题 号总分1 561011121314得 分评卷人复查人答题时留意：1. 用圆珠笔或钢笔作答；2. 解答书写时不要超过装订线；3. 草稿纸不上交一、挑选题共 5 小题，每题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分1设非零实数 a， b， c，满意a 2b+ 3c 02a 3b+ 4c0就ab+bc+caa +b +c222 的值为A 1
2、2B0C12D 12已知 a， b， c 是实常数，关于x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个非零实根 x1， x2，就以下关于 x 的一元二次方程中，以112，2为两个实根的是x1x2A c2x2+ b2 2acx+a2=0Bc2x2 b2 2acx+a2=0Cc2x2 +b2 2acxa2 =0Dc2x2 b2 2ac xa2=03. 如图， 在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点， CD AB，垂足为 D，DE OC，垂足为 E，假设 AD ， DB ， CD 的长度都是有理数，就线段OD， OE， DE ， AC 的长度中，不一定是有理数的为A ODB OECDE
3、DAC4. 如图，已知 ABC 的面积为 24，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，DCFE是平行四边形，就图中阴影部分的面积为A 3B4C6D 8欢迎下载精品学习资源3x3y+3 x2y2+xy3+45 5对于任意实数x，y， z，定义运算“ * ”为： xy = x+1 3+y+1 360，欢迎下载精品学习资源且 xyz=（xy）607A 967z ，就 20212021B182196732 的值为C5463967D 16389967欢迎下载精品学习资源二、填空题共 5 小题，每题 7 分， 共 35 分6. 设 a= 3 3 ，b 是 a2 的小
4、数部分，就 b+23 的值为7. 如图，点 D ，E 分别是 ABC 的边 AC， AB 上的点，直线 BD 与 CE 交于点 F，已知 CDF ， BFE， BCF 的面积分别为3， 4， 5，就四边形 AEFD 的面积是8. 已知正整数 a， b， c 满意 a+b2 2c 2=0， 3a2 8b+c=0，就 abc 的最大值为9. 实数 a， b，c，d 满意：一元二次方程x2+cx+d=0 的两根为 a，b，一元二次方程 x2 +ax+b=0 的两根为 c， d，就全部满意条件的数组a， b，c， d为10. 小明某天在文具店做理想者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售7 元开头时他有
5、铅笔和圆珠笔共350 支，当天虽然笔没有卖完， 但是他的销售收入恰好是2021 元，就他至少卖出了 支圆珠笔AACDE欢迎下载精品学习资源EA DOEDB BCFBC欢迎下载精品学习资源第 3 题第 4 题第 7 题欢迎下载精品学习资源三、解答题共 4 题， 每题 20 分，共 80 分11. 如图，抛物线 y=ax2+bx3，顶点为 E，该抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3OA，欢迎下载精品学习资源x直线 y= 132+1 与y 轴交于点 D ，求 DBC CBE欢迎下载精品学习资源yDxAOBCE欢迎下载精品学习资源12. 设 ABC 的外心，垂心
6、分别为 O，H ，假设 B， C，H ，O 共圆，对于全部的 ABC，求 BAC 全部可能的度数13. 设 a，b， c 是素数，记 x=b+c a， y=c+a b， z=a+bc，当 z2=y， x y=2 时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论14. 假如将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”例如， 把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数 a1， a2， an，满意对任意一个正整数 m，在 a1
7、， a2， an 中都至少有一个为 m 的魔术数欢迎下载精品学习资源一、挑选题1. 【答案】 A2021 年全国中学数学竞赛试题参考答案欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【 解 答 】 由 已 知 得a bc2 a3b4ca2b3c0， 故 abc20 于 是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源abbcca1 a 2b 2c2 ，所以abbcca1 欢迎下载精品学习资源22. 【答案】 Ba2b 2c22欢迎下载精品学习资源【解答】 由于ax2bxc0 是关于 x 的一元二次方程， 就 a0. 由于x1x2bc， x1x2，aa欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11xx 22x
8、 xb22ac11a2欢迎下载精品学习资源且 x1x20 ，所以 c0 ，且x2x2121 2x2 x2c2， x2x2c2 ，欢迎下载精品学习资源121212欢迎下载精品学习资源于是依据方程根与系数的关系，以1 ， 1为两个实根的一元二次方程是b22aca 2x2x0 ，欢迎下载精品学习资源xx即 c2 x2b 222122ac xa20 c2c欢迎下载精品学习资源3. 【答案】 D第 3 页 共 7 页第 3 题欢迎下载精品学习资源【解答】 因 AD， DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA OB欢迎下载精品学习资源OCADBD 是有理数于是，OD OA AD 是有理数2欢迎下载精品学
9、习资源欢迎下载精品学习资源由 Rt DOE RtCOD ，知 OEOD 2OC， DEDC DO OC都是有第 3 题答题欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源理数，而 AC AD AB 不肯定是有理数欢迎下载精品学习资源4. 【答案】 C【解答】 由于 DCFE 是平行四边形，所以DE /CF ，且 EF/DC 连接 CE ，由于 DE/ CF，即 DE/ BF，所以 S DEB = S DEC ，因此原先阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF ，由于 EF/ CD ，即 EF/AC，所以 SACE = S ACF由于 BC4CF ，所以 SABC = 4S ACF故阴影部分的面积为6
10、欢迎下载精品学习资源5. 【答案】 C【解答】 设 2021 20214m，就2021 202143m3第 4 题第 4 题答题欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3m333m29m2745欢迎下载精品学习资源m33m29 ，3m16460欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于是 2021 2021329239323922233923455463 欢迎下载精品学习资源10360967欢迎下载精品学习资源二、填空题6. 【答案】 9【解答】 由于 1a20422a3 ，故2b a23392 ，因此 b23399 欢迎下载精品学习资源7. 【答案】13【解答】 如图，连接 AF，就有：欢迎
11、下载精品学习资源S AEF4 = S AEFS BFEBFSBCF5，欢迎下载精品学习资源S AFDS AFDFDSCDF3欢迎下载精品学习资源S AFD3S AFDS CDFCFSBCF5，欢迎下载精品学习资源S AEFS AEFFESBEF4欢迎下载精品学习资源解得 SAEF108， S1396AFD13欢迎下载精品学习资源所以，四边形AEFD 的面积是8. 【答案】 2021204 13第 7 题答题欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解答】 由已知a b 22c20 ， 3a28bc0 消去 c，并整理得欢迎下载精品学习资源第 4 页 共 7 页欢迎下载精品学习资源2b86a2a
12、66 由 a 为正整数及6 a 2a 66，可得 1 a 3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 a假设 a21 ，就 b822，就 b859 ，无正整数解；240 ，无正整数解；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 a3 ，就 b89 ，于是可解得 b11， b5 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源i假设 bii 假设 b11，就 c5 ，就 c61，从而可得13 ，从而可得abc abc311612021；3513195欢迎下载精品学习资源综上知 abc 的最大值为 2021欢迎下载精品学习资源9. 【答案】 1，2，1，2 ， t，0，t，0 t 为任意实数欢迎下载
13、精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解答】 由韦达定理得abc， abd，c da， cdb欢迎下载精品学习资源由上式，可知 bacd 欢迎下载精品学习资源假设 bd0，就 ad 1 ， c bb1 ，进而db dac2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 bd0，就 ca ，有 a，b，cd t，0，t，0 t 为任意实数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源经检验，数组 1，2，1，2 与 t，0，t，0 t 为任意实数满意条件欢迎下载精品学习资源10. 【答案】 2074 x7 y2021，欢迎下载精品学习资源【解答】 设 x， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，就xy
14、350，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源20217 y5032 yy1，441 是整数又20214 xy3y43503 y ，所以 x于是 y 4所以 y204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x141 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源三、解答题11. 如图，抛物线 yax 2bx13 ，顶点为 E，该抛物线与x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，欢迎下载精品学习资源且 OB OC 3OA直线 yx3求 DBC CBE1 与 y 轴交于点 D 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源【解答】 将 x1 ，C0， 3 ，0 分别代入 y1 x31 ， yax2bx
15、3 知， D 0，欢迎下载精品学习资源第 5 页 共 7 页第 11 题欢迎下载精品学习资源所以 B3， 0， A1， 0直线 y1 x31过点 B欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源将点 C0，3 的坐标代入 ya x1 x3 ，得 a1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源抛物线yx22 x3 的顶点为 E 1，4 于是由勾股定理得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源BC 32 ， CE 2 ， BE 25 由于 BC 2 CE2 BE2，所以， BCE 为直角三角形，BCE90 第 11 题答题欢迎下载精品学习资源因此 tanCBE = CECB1OD=又 tan DBO =3
16、OB1 ，就 DBO CBE 3欢迎下载精品学习资源所以，DBCCBEDBCDBOOBC45 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12. 设 ABC的外心， 垂心分别为O，H全部可能的度数【解答】 分三种情形争论i假设 ABC 为锐角三角形，假设 B，C，H，O 共圆，对于全部的 ABC ，求BAC欢迎下载精品学习资源由于BHC180A， BOC2A，欢迎下载精品学习资源所以由BHCBOC ，可得 180A2A ，于是A60 欢迎下载精品学习资源第 12 题答题 i第 12 题答题 ii ii 假设 ABC为钝角三角形欢迎下载精品学习资源当A90时，由于BHC180A， BOC2 180A
17、 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以由BHCBOC180，可得 3 180A180，于是A120 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当A90时，不妨假设B90，由于BHCA，BOC2A，欢迎下载精品学习资源所以由BHCBOC180，可得 3A180，于是A60 欢迎下载精品学习资源iii 假设 ABC 为直角三角形当A90 时，由于 O 为边 BC 的中点， B， C， H，O 不行能共圆，所以A 不行能等于 90 ；欢迎下载精品学习资源当A90时，不妨假设B90，此时点 B 与 H 重合，于是总有B，C，H，O 共圆，因此A欢迎下载精品学习资源可以是满意 0A90的全部角
18、欢迎下载精品学习资源综上可得，A 全部可能取到的度数为全部锐角及120 欢迎下载精品学习资源13. 设 a ，b ，c 是素数， 记 xbca， ycab， zabc ，当 z2y,a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】 不能xy2 时，欢迎下载精品学习资源111欢迎下载精品学习资源依题意，得 a yz， b xz， c xy 欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源由于 yz2 ，所以 a112 yz zzz z1欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源又由于 z为整数， a 为素数，所以z2 或 3 ， a3 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当
19、 z2 时，yz24， xy2216 进而， b9 ， c10 ，与 b ， c 是素数冲突；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 z3 时，abc0，所以 a ， b ， c 不能构成三角形的三边长欢迎下载精品学习资源14. 假如将正整数M 放在正整数 m 左侧， 所得到的新数可被7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数” 例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415 的魔术数求正整数 n 的最欢迎下载精品学习资源小值，使得存在互不相同的正整数至少有一个为 m 的魔术数a1， a2， ， an ，满意对任意一个正整数m，在a1， a
20、2， ， an 中都欢迎下载精品学习资源【解答】 假设 n 6，取 m1， 2， 7，依据抽屉原理知，必有a1， a2， ， an中的一个正欢迎下载精品学习资源整数 M 是 i，j 1 i j 7 的公共的魔术数，即7|10Mi ， 7|10 Mj 就有 7| ji ，但 0 ji 6，冲突 故 n7欢迎下载精品学习资源又当 a ， a ， a为 1，2，7 时，对任意一个正整数m，设其为 k 位数 k 为正整数就 10 im欢迎下载精品学习资源k12nk i1，2， 7 被 7 除的余数两两不同假设不然，存在正整数i ， j 1 i j 7 ，满意欢迎下载精品学习资源7| 10 kjm10k im，即 7 |10 ji ，从而 7| ji ，冲突欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故必存在一个正整数i 1 i 7 ，使得 7| 10k im，即 i 为 m 的魔术数欢迎下载精品学习资源所以， n 的最小值为 7欢迎下载