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1、高等数学公式总结14tgxsec2 xarcsin x11x2ctgxsecxcsc2 x secx tgxarccos x11x2cscxax cscxax ln actgx arctgx 11x2log a x1x ln a arcctgx 11x2tgxdx ctgxdxln cosxCln sin xCdxcos2 x dxsec22xdxtgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxCcscxdxln cscxctgxCsecxtgxdxsecxCxdx1xcscxctgxdxcscxCa2x2arctgC aaa xdxaC22dx1 ln xaC x
2、a2axadx1 ln axCshxdx chxdxln achxCshxCa2x22aaxdxa2x2arcsin xCadxx 2a 2ln x22xa C2nIsin n0xdx2cosn0xdxn1I n 2nx2a 2 dx22xxx2a 22x22a 2ln x2a 2x2a2 C22a dxxa 2xln xxaC2a 2x导数公式： 基本积分表：a 2x2 dxa 2x22arcsinC2a三角函数的有理式积分：sin x2u2 , cos x1u 22 ,xutg, dx2du21u1u21u一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦: shxeelimsin x1xx2x0x双曲
3、余弦: chxexe x2lim 1x1 xxe2.718281828459045.双曲正切: thxshx chxexe xexe xarshx archxarthxln xln x 1 ln 1x21）x21x21x三角函数公式：sincossincoscoscoscossinsinsinsinsin2 sin2cos2tg tg1tgtgtgsinsin2 cos2sin2ctg ctgctgctgctg1coscoscoscos2 cos2 sin22cossin22和差角公式：和差化积公式：倍角公式：sin 2 cos2ctg22 sin 2cos2 ctg 22ctgcos1112
4、 sin2cos2sin2sin3 cos3tg33sin4cos3 3tgtg4 sin33cos3tg 22tg1tg 213tg 2半角公式：sin2tg1cos 21cos1cossincos2ctg1cos 21cos1cossin21cossinab1cosc2R21cossin221cos2正弦定理：sin Asin Bsin C余弦定理： cab2ab cosC反三角函数性质：arcsinxarccosx2arctgxarcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（ Leibniz ）公式：uv n nnC ku nk 0k vk u n vnu n1 vnn2.1) u n2) vnn
5、1) n k.k1 u nkv k uvn 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f bf af ba柯西中值定理：f bf af F bF aF 当F x曲率：x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：K.: 从M 点到 Ms点,切线斜率的倾角变化量；s： MM弧长；M 点的曲率： Klimdy.直线： K0;s 0sds1y2 3半径为a的圆： K1 . a1定积分的近似运算：b矩形法：abf xba yy nyn 1梯形法：af xbba n10 y02yn y1yn 10抛物线法： f xba yyn2 y2y4yn 2 4 y1y
6、3yn 1a3n功： WFs水压力： Fp A定积分应用相关公式：引力： Fm1m2kr 2, k为引力系数b函数的平均值： yb1ba af x dx均方根：1ba af 2 tdt平面的方程：1、点法式：A xx0 B yy0 C zz0 0,其中 n A, B, C,M 0 x0, y0 , z0 2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dAx0By0Cz0DA 2B 2C 2xx0mt空间直线的方程：xx0my y0nz z0pt,其中s m, n, p; 参数方程： yy0nt二次曲面：21、椭球面： xa 2x2y2z2b2c
7、21y 2zz0pt2、抛物面：2 p2qz（,p, q同号）3、双曲面：2单叶双曲面： x22y z1a 22双叶双曲面： xa 2b 2c 2y2z2b 2c2（1 马鞍面）多元函数微分法及应用全微分： dzz dx xz dy yduu dx xu dy yu dz z全微分的近似运算： 多元复合函数的求导法z dz：f x x, yxf y x, yyzf ut , vtdz dtzf ux, y, v x, yzuzvutvtzzuzvxuxvx当uu x, y, vv x, y时,duu dx xu dy ydvv dx xv dy y隐函数的求导公式：xdyFd 2 yFFdyy
8、隐函数F x, y0,dxF ,dx 2x xFyyx Fydx隐函数F x, y, z0, z xFx ,FzzFyyFz隐函数方程组：F x, y,u, v0Gx, y,u, v0J F ,Gu,vF FuvFuFvG GGuGvuvu1 F,Gv1F , GxJ x, vxJu, xu1 F,Gv1F, GyJ y,vyJu, y微分法在几何上的应用：x空间曲线 y zt t 在点 M x0 t, y0, z0处的切线方程：x x0 t 0y y0t0 z z0 t0 在点M 处的法平面方程：t0 xx0 t0 yy0 t 0 zz0 0如空间曲线方程为：F x,y, z0Fy,就切向量
9、 TFzFz,FxFxFy,G x, y, z0GyG zGzG xGxG y曲面F x, y, z0上一点M x0 , y0 , z0 ,就：1、过此点的法向量：n Fx x0 , y0, z0 , Fy x0 , y0, z0 , Fz x0 , y0 , z02、过此点的切平面方程： Fx x0 , y0, z0 xx0Fy x0 , y0, z0 yy0 Fz x0 , y0 , z0 zz0 03、过此点的法线方程：x x0y y0z z0Fx x0 , y0 , z0 Fy x0 , y0 , z0 Fz x0, y0, z0 多元函数的极值及其求法：设f x x0 , y0 f
10、y x0, y0 0,令：f xx x0, y0 A,f xy x0, y0 B,f yy x0 , y0 CACB 2A0时,A0, x0 , y0 为极大值0, x0 , y0 为微小值就： ACB 20时,无极值ACB 20时,不确定重积分及其应用：f x, ydxdyf r cosDD,r sinrdrd22曲面zf x, y的面积 A1zzDxyx x, yddxdyy x, yd平面薄片的重心： xM xMD, x, y dDyM yDMD x, yd平面薄片的转动惯量：对于x轴I xy2 x, yd,D对于 y轴I yx 2 x, ydD平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M
11、0,0, a, a0的引力： F Fx , Fy , Fz,其中：Fxf x, y xd3 ,Fyf x, y yd3,Fzfa x, y xd3D x2y2a 2 2D x2y 2a 2 2D x2y 2a 2 2欧拉公式：eixcosxi sin xcosx或sin xixeeixixe2e ix2微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf x, y或Px, y dxQx, y dy0可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g ydyf xdx的形式,解法：g ydyf x dx得： G yF xC称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成 dydxf x, y x, y,即写成y的函数
12、,解法： x设uy,就 dyxdxux du ,ududxdxu, dxxdu u分别变量,积分后将uy 代替u, x即得齐次方程通解；一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程： dydxP x yQx当Q x0时,为齐次方程, yP x dxCe当Q x0时,为非齐次方程,y Q xeP xdxdxCeP xdx2、贝努力方程： dydxP x yQx yn,n0,1全微分方程：假如P x, ydxQ x, ydy0中左端是某函数的全微分方程,即：du x, yP x, y dxQ x, ydy0,其中： uxP x, y, uyQ x, yux, yC应当是该全微分方程的通解；二阶微分方程：
13、d 2 ydx2P x dydxQx yff x,fxx0时为齐次0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：* ypyqy0,其中 p, q为常数；求解步骤：1、写出特点方程： r 2prq0,其中 r2,r的系数及常数项恰好是* 式中y, y , y的系数；2、求出式的两个根r1, r23、依据r1 , r2的不怜悯形,按下表写出* 式的通解：r1, r2的形式* 式的通解2两个不相等实根 p 24q0yc er1xc er2 x12两个相等实根 p24 q0yc1c xer1x一对共轭复根 p24 q0ye x ccosxc2 sinx1r1i ,r2ip4qp2,22二阶常系数非齐次线性微分方程xypyqyf x, p, q为常数lf xem x型,为常数；Pf xe x P x cosxPn x sinx型