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1、学校数学学问点大全第一部分数与代数一、概念（一）整数1、整数的意义：自然数和0 都是整数；2、自然数：我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1,2,3叫做自然数；一个物体也没有,用0 表示, 0 也是自然数；3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、 百万、 千万、 亿 都是计数单位；其中“一”是计数的基本单位；10 个 1 是 10,10 个 10 是 100每相邻两个计数单位之间的进率都是10；这样的计数法叫做十进制计数法；4、数位 ：计数单位依据肯定的次序排列起来,它们所占的位置叫做数位；5、整数的读法：从高位到低位,一级一级地读；读亿级、万级时,先依据个级的读法去读,再在后面加一个
2、“亿”或“万”字；每一级末尾的0 都不读出来, 其它数位连续有几个0 都只读一个零；6、整数的写法：从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0；7、一个较大的多位数,为了读写便利,经常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数；有时仍可以依据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数； 精确数：在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数；改写后的数是原数的精确数；例如：把 1254300000改写成以万做单位的数是125430 万；改写成以亿做单位的数12.543亿； 近似数：依据实际需要,我们仍可以把一个较大的数, 省略某一位后面的尾数
3、, 用一个近似数来表示；例如： 1302490015省略亿后面的尾数是13亿； 四舍五入法：求近似数,看尾数最高位上的数是几,比 5 小就舍去,是5 或大于 5 舍去尾数向前一位进 1；这种求近似数的方法就叫做四舍五入法；8、整数大小的比较：位数多的那个数就大,假如位数相同, 就看最高位, 最高位上的数大, 那个数就大； 最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就大；以此类推；（二）小数1、小数的意义：把整数 1 平均分成 10 份、 100 份、1000 份得到的非常之几、百分之几、千分之几 可以用小数表示；如1/10 记作 0.1,7/100记作 0.07 ； 一位小数表示非常之
4、几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成；数中的圆点叫做小数点,小数点左边的数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分；小数点右边第一位叫非常位,计数单位是非常之一（ 0.1 ）；其次位叫百分位,计数单位是百分之一（ 0.01 ）小数部分最大的计数单位是非常之一, 没有最小的计数单位；小数部分有几个数位,就叫做几位小数；如 0.36 是两位小数, 3.066 是三位小数；在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10；小数部分的最高分数单位“非常之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10；2、小数的读法：读小
5、数的时候,整数部分依据整数 的读法读,小数点读作“点” ,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字；3、小数的写法：写小数的时候,整数部分依据整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字；4、比较小数的大小：先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大；整数部分相同的,非常位上的数大的那个数就大；非常位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大5、小数的分类 纯小数： 整数部分是零的小数, 叫做纯小数； 例如： 0.25、 0.368都是纯小数； 带小数：整数部分不是零的小数,叫做带小数；例如： 3.25、 5.26都是带小数； 有限小数： 小数部分的数位是有限的小
6、数, 叫做有限小数； 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数； 无限小数： 小数部分的数位是无限的小数, 叫做无限小数； 例如： 4.33 3.1415926 无限不循环小数： 一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数； 例如： 循环小数： 一个数的小数部分, 有一个数字或者几个数字依次不断重复显现,这个数叫做循环小数；例如： 3.555 0.0333 12.109109 一个循环小数的小数部分,依次不断重复显现的数字叫做这个循环小数的循环节；例如： 3.99 的循环节是“ 9” , 0.5454的循环节是“ 54”； 纯循环小数：循环节从小
7、数部分第一位开头的,叫做纯循环小数； 例如： 3.111 0.5656 混循环小数： 循环节不是从小数部分第一位开头的,叫做混循环小数； 3.1222 0.03333 写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点； 假如循环 节只有一个数字, 就只在它的上面点一个点；（三）分数1、分数的意义：把单位“ 1”平均分成如干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数；在分数里, 中间的横线叫做分数线； 分数线下面的数, 叫做分母,表示把单位“1”平均分成多少份；分数14线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份；把单位“ 1”平均分成如干份,表示其
8、中的一份的数,叫做分数单位；2、分数的读法：读分数时,先读分母再读“分之” 然后读分子,分子和分母依据整数的读法来读；3、分数的写法：先写分数线,再写分母,最终写分子,依据整数的写法来写；4、比较分数的大小: 分母相同的分数,分子大的那个分数就大； 分子相同的分数,分母小的那个分数就大； 分母和分子都不同的分数,通常是先通分, 转化成通分母的分数,再比较大小； 假如被比较的分数是带分数,先要比较它们的整数部分,整数部分大的那个带分数就大；假如整数部分相同,再比较它们的分数部分,分数部分大的那个带分数就大；5、分数的分类依据分子、 分母和整数部分的不怜悯形,可以分成： 真分数、假分数、带分数 真
9、分数： 分子比分母小的分数叫做真分数；真分数小于 1； 假分数： 分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数；假分数大于或等于1； 带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数；6、分数和除法的关系及分数的基本性质 除法是一种运算,有运算符号；分数是一种数；因此,一般应表达为被除数相当于分子,而不能说成被除数就是分子； 由于分数和除法有亲密的关系,依据除法中 “商不变”的性质可得出分数的基本性质； 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（0除外）,分数的大小不变,这叫做分数的基本性质, 它是约分和通分的依据；7、约分和通分 分子、分母是互质数的分数,叫做最简分数； 把一个分
10、数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数,叫做约分； 约分的方法：用分子和分母的公约数（1 除外） 去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止； 把异分母分数分别化成和原先分数相等的同分母分数,叫做通分； 通分的方法：先求出原先几个分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数；8、倒 数 乘积是 1 的两个数互为倒数； 求一个数（ 0 除外） 的倒数, 只要把这个数的分子、分母调换位置； 1 的倒数是 1, 0 没有倒数（四）百分数1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之 几的数叫做百分数 , 也叫做百分率或百分比；百分数通常用 %来表示；百分号是表示百分数的符号；2、
11、百分数的读法：读百分数时,先读百分之,再读 百分号前面的数,读数时依据整数的读法来读；3、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式,而在原先的分子后面加上百分号“%”来表示； 4、百分数与折数、成数的互化：例如： 三折就是 30, 七五折就是 75,成数就是非常之几, 如一成就是牐 闯砂俜质 褪.0%,就六成五就是 65%；5、纳税和利息：税率：应纳税额与各种收入的比率；利率：利息与本金的百分率；由银行规定按年或按月运算；利息的运算公式：利息=本金利率时间6、百分数与分数的区分： 意义不同； 百分数是 “表示一个数是另一个数的百分之几的数； ”它只能表示两数之间的倍数关系, 不能表示某一详细数量
12、；因此,百分数后面不能带 单位名称；分数是“把单位 1平均分成如干份,表示这样一份或几份的数” ；分数不仅可以表示两数之间的倍数关系,仍可以表示肯定的数量； 书写形式不同； 百分数通常不写成分数形式,而采纳百分号“”来表示；如：百分之四十五,写作： 45；分数的分子只能是自然数,它的表示形式有：真分数、假分数、带分数,不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数,是假分数的要化成带分数；7、数的互化 小数化成分数： 有几位小数, 就在 1 的后面写几个零作分母,把原先的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分； 分数化成小数： 用分母去除分子； 能除尽的就化成有限小数,除不尽的,按要求取近似数；小数化
13、成百分数：只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号；百分数化成小数：把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位；分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时,通常保留三位小数 ,再把小数化成百分数；百分数化成小数：先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数；（五）数的整除1、整除的意义整数 a 除以整数 bb 0 ）,除得的商是整数而没有余数,我们就说a 能被 b 整除,或者说 b 能整除a ；2、因数和倍数 假如数 a 能被数 b（b 0 ）整除, a 就叫做 b的倍数, b 就叫做 a 的因数；倍数和因数是相互依存的； 一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数
14、是 1,最大的因数是它本身； 一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数；3、奇数和偶数 自然数按能否被 2 整除的特点可分为奇数和偶数； 能被 2 整除的数叫做偶数； 0 也是偶数； 不能被 2 整除的数叫做奇数； 奇数和偶数的运算性质： 相邻两个自然数之和是奇数,之积是偶数； 奇数 +奇数 =偶数,奇数 +偶数 =奇数,偶数 +偶数=偶数；奇数 - 奇数 =偶数,奇数 - 偶数 =奇数,偶数 - 奇数 =奇数,偶数 - 偶数=偶数；奇数奇数=奇数,奇数偶数=偶数,偶数偶数 =偶数；4、整除的特点个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被2 整除；个位上是 0 或 5
15、 的数,都能被5 整除；一个数的各位上的数的和能被3 整除,这个数就能被 3 整除； 一个数各位数上的和能被9 整除,这个数就能被 9公因数只有1 的两个数,叫做互质数；成互质关系的两个数,有以下几种情形：和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质； 当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互 质；两个合数的公因数只有1 时,这两个合数互质,假如几个数中任意两个都互质,就说这几个数两两互质；假如较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数；假如两个数是互质数,它们的最大公因数就是1； 公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数；其中最大的一个叫这几个数的最大公倍数；最小的一个,叫做
16、这几个数的最小公倍数；假如较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数；假如两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数；几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的；二、性质和规律（一）商不变的规律：在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变；（二）小数的性质：小数的性质：在小数的末尾添上整除；零或者去掉零小数的大小不变； 能被 3 整除的数不肯定能被9 整除,但是能被9（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化规律：整除的数肯定能被3 整除；5、质数和合数1、小数点向右移动一位,原先的数就扩大10 倍；小数点向右移动两位,原先的数就扩大10
17、0 倍；小数点 一个数,假如只有1 和它本身两个因数,这样的数叫做质数；100 以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、 97； 一个数,假如除了1 和它本身仍有别的因数,这样的数叫做合数,例如4 、6、8、 9、12都是合数； 1 既不是质数也不是合数, 假如把自然数按其因数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1；6、分解质因数 质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式；其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数, 例如 15=3 5, 3 和 5 叫做 15 的质因数
18、； 分解质因数把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数；通常用短除法来分解质因数；先用能整除这个合数的质数去除,始终除到商是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式； 公因数几个数公有的因数叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫这几个数的最大公因数；向右移动三位,原先的数就扩大 1000 倍2、小数点向左移动一位,原先的数就缩小 10 倍；小数点向左移动两位,原先的数就缩小 100 倍；小数点向左移动三位,原先的数就缩小 1000 倍3、小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0补足位；（四）分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外） ,分数的大小不变；三、运算法
19、就（一）整数四就运算的法就1、加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法；加数+加数=和一个加数 =和另一个加数2 数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法；加法和减法互为逆运算；被减数 - 减数=差被减数 - 差 = 减数差+减数=被减数3、乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法； 一个因数 一个因数 = 积一个因数 =积另一个因数在乘法里, 0 和任何数相乘都得0, 1 和任何数相乘都的任何数；4、除法：已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法；在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫 做除数,所求的因数叫做商；乘法和除法互为逆运算；在
20、除法里, 0 不能做除数；被除数除数 =商 除数 =被除数商被除数 =商除数（二）运算定律1、加法运算定律 加法交换律： 两个数相加, 交换加数的位置, 它们的和不变,即 a+b=b+a ； 加法结合律：三个数相加,先把前两个数相加, 再加上第三个数；或者先把后两个数相加,再和第一个数相加它们的和不变,即（a+b+c=a+b+c；2、乘法运算定律 乘法交换律： 两个数相乘, 交换因数的位置它们的积不变,即 a b=b a； 乘法结合律：三个数相乘,先把前两个数相乘,再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变,即a b c=a bc；乘法安排律：两个数的和与一个数相乘,
21、可以把两个加数分别与这个数相乘,再把两个积相加；即a+b c=ac+b c ； 乘法安排律扩展： 两个数的差与一数相乘,可以先把它们与这个数分别相乘,再相减；即a-b c=ac-b c 3、减法运算定律 从一个数里连续减去几个数,可以从这个数里减去全部减数的和,差不变,即a-b-c=a-b+c； 一个数连续减去两个数,可以先减去其次个减数,再减去第一个减数,即a-b-c=a-c-b；4、除法运算定律 一个数连续除以两个数,可以除以这两个数的集,即 a b c=a b c ； 一个数连续除以两个数,可以先除以其次除数,再除以第一个除数,即ab c=a c b；5、其它a-b+c=a+c-b； a
22、-b+c=a+b-c； a b c=acb； a bc=a b c ；6、积的变化规律：在乘法中,一个因数不变,另一个因数扩大（或缩小）如干倍,积也扩大（或缩小） 相同的倍数；推广：一个因数扩大A 倍,另一个因数扩大B 倍,积扩大 AB倍；一个因数缩小 A 倍,另一个因数缩小B 倍,积缩小 AB倍；7、商不变性质 :在除法中, 被除数和除数同时扩大 （或缩小）相同的倍数,商不变；a b=a m b m=a m b m m 0推广：被除数扩大（或缩小）A 倍,除数不变,商也扩大（或缩小） A 倍；被除数不变,除数扩大（或缩小）A 倍,商反而缩小（或扩大） A 倍；利用积的变化规律和商不变规律性质
23、可以使一些运算简便；但在有余数的除法中要留意余数；如：8500 200=可以把被除数、 除数同时缩小 100 倍来除, 即 85 2= , 商不变,但此时的余数1 是被缩小 100 被后的,所以仍原成原先的余数应当是100；（五）运算方法1、整数加法运算法就：相同数位对齐,从低位加起, 哪一位上的数相加满十,就向前一位进一；2、整数减法运算法就：相同数位对齐,从低位加起, 哪一位上的数不够减,就从它的前一位退一作十,和本位上的数合并在一起,再减；3、整数乘法运算法就：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数,用因数哪一位上的数去乘,乘得的数的末尾就对齐哪一位,然后把各次乘 得的
24、数加起来；4、整数除法运算法就：先从被除数的高位除起,除数是几位数,就看被除数的前几位；假如不够除,就多看 一位,除到被除数的哪一位,商就写在哪一位的上面； 假如哪一位上不够商1,要补“ 0”占位；每次除得的余数要小于除数；5、小数乘法法就：先依据整数乘法的运算法就算出积, 再看因数中共有几位小数,就从积的右边起数出几位, 点上小数点；假如位数不够,就用“0”补足；6、除数是整数的小数除法运算法就：先依据整数除法的法就去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添“0”,再连续除；7、除数是小数的除法运算法就：先移动除数的小数点, 使它变成整数,除数的小数
25、点也向右移动几位（位数不够的补“ 0”）,然后依据除数是整数的除法法就进行运算；8、同分母分数加减法运算方法: 同分母分数相加减,只把分子相加减,分母不变；9、异分母分数加减法运算方法: 先通分,然后依据同分母分数加减法的的法就进行运算；10、带分数加减法的运算方法: 整数部分和分数部分分别相加减,再把所得的数合并起来；11、分数乘法的运算法就: 分数乘整数,用分数的分子和整数相乘的积作分子,分母不变；分数乘分数,用分 子相乘的积作分子,分母相乘的积作分母；12、分数除法的运算法就: 甲数除以乙数（ 0 除外）,等于甲数乘乙数的倒数；（六） 运算次序1、整数、小数、分数四就运算的运算次序和整数
26、四就运算次序相同；2、没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算； 两级运算先算乘、除法,后算加、减法；3、有括号的混合运算 : 先算小括号里面的,再算中括号里面的,最终算括号外面的；四、解决问题（一）整数和小数的应用1、简洁应用题（ 1）简洁应用题：只含有一种基本数量关系,或用一步运算解答的应用题,通常叫做简洁应用题；2、复合应用题有两个或两个以上的基本数量关系组成的,用两步或两步以上运算解答的应用题,通常叫做复合应用题；(1) 解答加法应用题：a 求总数的应用题：已知甲数是多少,乙数是多少, 求甲乙两数的和是多少；b 求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少,求乙数是多
27、少；（ 2解答减法应用题：a 求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分,求剩下的部分；b 求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少,求甲数比乙数多多少,或乙数比甲数少多少；c 求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少, 乙数比甲数少多少,求乙数是多少；(3) 解答乘法应用题：a 求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数,求总数；b 求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少,另一个数是它的几倍,求另一个数是多少；(4) 解答除法应用题：a 把一个数平均分成几份, 求每一份是多少的应用题： 已知一个数和把这个数平均分成几份的,求每一份是多少；b 求一个数里包含几个另一个数的
28、应用题：已知一个数和每份是多少,求可以分成几份；C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少,求较大数是较小数的几倍；d 已知一个数的几倍是多少,求这个数的应用题；3、典型应用题具有特殊的结构特点的和特定的解题规律的复合应用题,通常叫做典型应用题；（ 1）归一问题：已知相互关联的两个量,其中一种量转变,另一种量也随之而转变, 其变化的规律是相同的, 这种问题称之为归一问题；解题关键： 从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量） ,然后以它为标准,依据题目的要求算出结果；数量关系式：单一量份数 =总数量（正归一）总数量单一量 =份数（反归一）例 一个织布工人,在七月份
29、织布4774米 , 照这样运算,织布 6930米,需要多少天？分析：必需先求出平均每天织布多少米,就是单一量；693 0 （ 477 4 31 ） =45 （天）（ 2）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数,以及不同的单位数量（或单位数量的个数）,通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）；数量关系式： 单位数量单位个数另一个单位数量=另一个单位数量单位数量单位个数另一个单位数量 = 另一个单位数量；例：修一条水渠,原方案每天修800米 , 6天修完；实际 4天修完,每天修了多少米？分析：由于要求出每天修的长度,就必需先求出水渠的长度；所以也把这类应用题叫做“归总问题”；不同之处是“
30、归一”先求出单一量,再求总量,归总问题是先求出总量,再求单一量；80 0 6 4=1200（米）（ 3）和差问题：已知大小两个数的和,以及他们的差, 求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题；解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和） ,然后再求另一个数；解题规律：（和差） 2 =大数大数差 =小数（和差） 2=小数和小数 = 大数例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人,因工作需要暂时从乙班调 46 人到甲班工作, 这时乙班比甲班人数少 12 人,求原先甲班和乙班各有多少人？分析：从乙班调 46人到甲班,对于总数没有变化,现在把乙数转化成 2个乙班,即 9 4 12,由此
31、得到现在的乙班是（ 9 4 12） 2=41（人）,乙班在调出 46人之前应当为 41+46=87 （ 人）,甲班为 9 4 87=7 （人）（ 4）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系,求两个数各是多少的应用题,叫做和倍问题；解题关键：找准标准数（即1 倍数）一般说来,题中说是“谁”的几倍,把谁就确定为标准数；求出倍数和之后,再求出标准的数量是多少；依据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系,再去求另一个数（或几个数）的数量；解题规律：和倍数和=标准数标准数倍数 =另一个数例: 汽车运输场有大小货车115辆,大货车比小货车的5 倍多 7辆,运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析
32、：大货车比小货车的5倍仍多 7辆,这 7辆也在总数 115辆内,为了使总数与（5+1）倍对应,总车辆数应（ 115-7）辆 ；列式为（ 115-7）（ 5+1）=18 （ 辆）,18 5+7=97（辆）（ 5）差倍问题：已知两个数的差,及两个数的倍数关系,求两个数各是多少的应用题；解题规律：两个数的差（倍数1 ）= 标准数标准数倍数 =另一个数；例 甲乙两根绳子,甲绳长63米 ,乙绳长 29米 ,两根绳剪去同样的长度,结果甲所剩的长度是乙绳长的 3倍,甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少 米？分析：两根绳子剪去相同的一段,长度差没变,甲绳所剩的长度是乙绳的3倍,实比乙绳多（ 3-1）倍,以乙绳
33、的长度为标准数；列式（ 63-29）（ 3-1） =17（米）乙绳剩下的长度,17 3=51（米）甲绳剩下的长度, 29-17=12（米）剪去的长度；（ 6）行程问题：关于走路、行车等问题,一般都是运算路程、时间、速度,叫做行程问题；解答这类问题第一要搞清晰速度、时间、路程、方向、速度和、速度差等概念,明白他们之间的关系,再依据这类问题的规律解答；解题关键及规律：同时同地相背而行：路程=速度和时间；同时相向而行：相遇时间=速度和时间同时同向而行（速度慢的在前,快的在后）：追准时间 =路程速度差；同时同地同向而行（速度慢的在后,快的在前）：路程 =速度差时间；例 甲在乙的后面 28千米 ,两人同
34、时同向而行,甲每小时行 16千米 ,乙每小时行 9千米,甲几小时追上乙？分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米,也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米,这是速度差；已知甲在乙的后面28千米 （追击路程） ,28千米 里包含着几个 （ 16-9）千米, 也就是追击所需要的时间；列式 2 8 （ 16-9） =4（小时）（ 7）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数；求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题；通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题解题关键：解答鸡兔问题一般采纳假设法,假设全是一 种动物（如全是“鸡”或全是“兔”,然后依据显现的腿数差,可推算出某一种的头数；解题规律： （总腿数鸡腿数总头
35、数）一只鸡兔腿数的差 =兔子只数兔子只数 =（总腿数 -2 总头数） 2 假如假设全是兔子,可以有下面的式子： 鸡的只数 =（ 4总头数 - 总腿数） 2 兔的头数 =总头数 - 鸡的只数例 鸡兔同笼共 50个头, 170条腿；问鸡兔各有多少只？特点：已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几； “一个数” 是比较量,“另一个数” 是标准量； 求分率或百分率, 也就是求他们的倍数关系；解题关键：从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一” ,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数；甲是乙的几分之几（百分之几）: 甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙；甲比乙多（或少）几
36、分之几（百分之几） ：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几） ；关系式（甲数减乙数） / 乙数或（甲数减乙数） / 甲数；已知一个数的几分之几（或百分之几 , 求这个数；特点：已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位“ 1” 的量；解题关键：精确判定单位“1”的量把单位“ 1”的量看成 x 依据分数乘法的意义列方程,或者依据分数除法的意义列算式,但必需找准和分率相对应的已知实际数量；4、常用的百分率发芽率 =发芽种子数 / 试验种子数 100%出油率 =小麦的出粉率 = 面粉的重量 / 小麦的重量 100%及格率 =产品的合格率 =合格的产品数 / 产品总数 100%达标率 =职工的出勤率
37、 =实际出勤人数 / 应出勤人数 100%优生率 = 命中率 = 糖水浓度 =5、工程问题：是分数应用题的特例, 它与整数的工作问题有着亲密的联系；它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数 量之间相互关系的一种应用题；解题关键：把工作总量看作单位“1”,工作效率就是工作时间的倒数,然后依据题目的详细情形,敏捷运用公兔子只数（ 170-2 50）2 =35（只）式；鸡的只数50-35=15（只）数量关系式：（二）分数和百分数的应用1、分数加减法应用题：分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或 未知数中含有分数；2、分数乘法应用题：是指已知
38、一个数,求它的几分之几是多少的应用题； 特点：已知单位“ 1”的量和分率,求与分率所对应的实际数量；解题关键：精确判定单位“1”的量；找准要求问题所对应的分率,然后依据一个数乘分数的意义正确列式；3、分数除法应用题：求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几） 是多少；工作总量 =工作效率工作时间工作效率 =工作总量工作时间工作时间 =工作总量工作效率工作总量工作效率和=合作时间6、纳税纳税就是把依据国家各种税法的有关规定,依据肯定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家；缴纳的税款叫应纳税款；应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ）的比率叫做税率；7、利息存入银行的钱叫做要本金；
39、取款时银行多支付的钱叫 做利息； 利息与本金的比值叫做利率；利息 =本金利率时间五、常用的数量关系式1、每份数份数总数总数每份数份数总数份数每份数2、1 倍数倍数几倍数几倍数 1 倍数倍数几倍数倍数 1 倍数3、速度时间路程路程速度时间路程时间速度4、单价数量总价总价单价数量总价数量单价5、工作效率工作时间工作总量工作总量工作效率工作时间工作总量工作时间工 作效率6、加数加数和和一个加数另一个加数7、被减数减数差被减数差减数差 减数被减数8、因数因数积积一个因数另一个因数9、被除数除数商被除数商除数商除数被除数10、路程 =速度时间总价 =单价数量工作总量 =工作效率工作时间速度 =路程时间单
40、价 =总价数量工作效率 =工作总量工作时间时间 =路程速度数量 =总价单价工作时间 =工作总量工作效率几倍量 =1 倍量倍数总产量 =单产量面积数总数 =平均数总份数1 倍量 =几倍量倍数单产量 =总产量面积数平均数 =总数总份数倍数 =几倍量 1 倍量面积数 =总产量单产量总份数 =总数平均数总量 =用去的量 +剩下的量比较量 =单位“ 1”的量比较量的对应分率用去的量 =总量剩下的量单位“1” 的量 =比较量比较量的对应分率剩下的量 =总量用去的量比较量的对应分率 =比较量单位“ 1”的量11、图上距离：实际距离=比例尺图上距离比例尺=实际距离实际距离比例尺 =图上距离13、利息利息本金利
41、率时间其次部分式与方程一、用字母表示数1、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的运算公式 常见的数量关系 路程用 s 表示,速度 v 用表示,时间用 t 表示, 三者之间的关系：s=vtv=s tt=s v 总价用 a 表示,单价用b 表示,数量用 c 表示, 三者之间的关系 :a=bcb=a cc=a b 运算定律和性质加法交换律： a+b=b+a加法结合律： （ a+b+c=a+b+c乘法交换律： ab=ba乘法结合律： （ abc=abc 乘法安排律： （ a+bc=ac+bc 减法的性质： a-b+c =a-b-c 2、用字母表示数的写法 数字和字母、字母和字母相乘时,乘
42、号可以记作“ . ”,或者省略不写；数与数相乘,乘号不能省略； 当“ 1”与任何字母相乘时, “ 1”省略不写； 数字和字母相乘时,将数字写在字母前面； 在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示；二、简易方程1、等式：表示相等关系的式子叫等式；2、方程：含有未知数的等式叫做方程；判定一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式；所以,方程肯定是等式,但等式不一定是方程；3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解；4、解方程 ：求方程的解的过程叫做解方程；四、比和比例1、比的意义和性质 比的意义：两个数相除又叫做两个数的比；“：”是比号, 读作
43、“比”；比号前面的数叫做比的前项, 比号后面的数叫做比的后项； 比的前项除以后项所得的商,叫做比值；同除法比较, 比的前项相当于被除数,后项相当于除数, 比值相当于商；比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数；比的后项不能是零；依据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值； 比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外）, 比值不变,这叫做比的基本性质； 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数；依据比的基本性质可以把比化成最简洁的整数比；它的结果必需是一个最简比,即前、后项是互
44、质的数； 比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离； 已知实际距离和比例尺求图上距离；线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离； 按比安排在工业生产和日常生活中,经常要把一个数量依据肯定 的比来进行安排, 这种安排方法通常叫 “按比安排” ； 按比安排的有关习题,在解答时,要善于找准安排的总量和安排的比, 然后把安排的比转化成分数或份数来进行解答；方法：第一求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少；2、比例的意义和性质 比例的意义 ：表示两个比相等的式子叫做比例；组成比例的四个数,叫做比例的项；两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项； 比例的性质在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积；这叫做比例的基本性质； 解比例依据比例的基本性质,假如已知比例中的任何三项,就