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1、精品学习资源17三角形全章复习与巩固（提高）学问讲解【学习目标】1. 熟悉三角形并能用符号语言正确表示三角形，懂得并会应用三角形三边之间的关系.2. 懂得三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线， 提高同学的基本作图才能，并能运用图形解决问题3. 能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的运算，证明问题.4. 通过观看和实地操作知道三角形具有稳固性，知道四边形没有稳固性，明白稳固性与没有稳固性在生产、生活中的广泛应用5. 明白多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；把握多边形内角和及外角和，并能敏捷运用公式解决有关问题，体验并把握探究、归纳
2、图形性质的推理方法， 进一步培育说理和进行简洁推理的才能 .【学问网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1. 三角形三边的关系：定理： 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释： （ 1）理论依据：两点之间线段最短. （ 2）三边关系的应用：判定三条线段能否组成三角形，如两条较短的线段长之和大于最长线段的长，就这三条线段可以组成三角形；反之，就不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范畴2. 三角形按“边”分类：不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形欢迎下载精品学习资源3. 三角形的重要线段：（ 1）三角形的高从三角
3、形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高要点诠释： 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情形有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（ 2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（ 3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 .要点诠释： 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点
4、叫做三角形的内心 .要点二、三角形的稳定性假如三角形的三边固定，那么三角形的外形大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性 要点诠释： 1 三角形的外形固定是指三角形的三个内角不会转变，大小固定指三条边长不转变 2 三角形的稳固性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就牢固而稳固；在栅栏门上斜着钉一条 或两条 木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采纳三角形结构，也是这个道理3 四边形没有稳固性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的外形，它的各个角的大小可以转变四边形的不稳固性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳
5、固性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形要点三、三角形的内角和与外角和1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180 推论： 1. 直角三角形的两个锐角互余2. 有两个角互余的三角形是直角三角形2. 三角形外角性质：（ 1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和（ 2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360 .要点四、多边形及有关概念1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 .要点诠释： 多边形通常仍以边数命名，多边形有n 条边就叫做 n 边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边
6、数最少的多边形.2. 正多边形： 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形. 如正三角形、正方形、正五边形等要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不行.如四条边都相等的四边形不肯定是正方形，四个角都相等的四边形也不肯定是正方形，只有满意四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3. 多边形的对角线： 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.欢迎下载精品学习资源要点诠释： 1 从 n 边形一个顶点可以引 n 3 条对角线，将多边形分成n 2 个三角形；欢迎下载精品学习资源2n边形共有nn23条对角线 要点五、多边形的内角和及外角和公式1. 内角和欢
7、迎下载精品学习资源公式： n 边形的内角和为 n 2 180n 3， n 是正整数 要点诠释： （ 1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2) 内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.2. 多边形外角和： n 边形的外角和恒等于360，它与边数的多少无关. 要点诠释： 1 外角和公式的应用：已知外角度数，求正 多边形 边数；已知正多边形边数， 求外 角 度数 .2多 边 形的 边 数 与 内角 和 、 外 角和 的 关 系 ： n 边形的内角和等于 n 2 180n 3， n 是正整数 ，可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加1 条边，内角和增加1
8、80 .【典型例题】类型一、三角形的三边关系1. 已知三角形的三边长分别是3， 8， x , 如 x 的值为偶数，就 x 的值有 A 6 个 B 5 个C4 个D 3 个【答案】 D欢迎下载精品学习资源【解读】 x 的取值范畴： 5有 3 个.x11 ，又 x 为偶数，所以x 的值可以是 6, 8, 10，故 x 的值欢迎下载精品学习资源【总结升华】不要忽视“x 为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为2， x-3 ， 4，且都为整数，就共能组成个不同的三角形. 当 x 为时，所组成的三角形周长最大.【答案】三； 8 由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2x-34
9、+2 ， 解得 5x9，由于 x 为整数，故 x 可取 6， 7， 8；当 x=8 时，组成的三角形周长最大为11 .2. 如图， O 是 ABC内一点，连接 OB 和 OC 1 你能说明 OB+OCAB+AC 的理由吗 . 2 如 AB5， AC6， BC 7，你能写出 OB+OC的取值范畴吗 .【答案与解读】解： 1 如图，延长 BO 交 AC 于点 E，依据三角形的三边关系可以得到， 在 ABE中， AB+AE BE；欢迎下载精品学习资源在 EOC中， OE+EC OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC BE+OC由图可知， AE+EC AC，BE OB+OE所以 AB+AC+OE
10、 OB+OC+OE，即 OB+OC AB+AC 2 由于 OB+OC BC，所以 OB+OC 7又由于 OB+OC AB+AC，所以 OB+OC 11，所以 7 OB+OC 11【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题 类型二、三角形中的重要线段3. 在 ABC 中， AB AC，AC 边上的中线BD 把 ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，求三角形的各边长【思路点拨】由于中线BD的端点 D 是 AC边的中点，所以AD CD，造成两部分不等的缘由是 BC边与 AB、AC边不等，故应分类争论【答案与解读】1解：如图 1 ，设 ABx， AD CDx 2欢迎下载精品学习资源
11、 1 如 AB+AD 12，即 x1 x12 ，所以 x 8，2欢迎下载精品学习资源即 AB AC 8，就 CD4 故 BC 15- 4 11 此时 AB+AC BC，所以三边长为 8， 8， 11欢迎下载精品学习资源 2 如图 2 ，如 AB+AD 15，即 x101 x15 ，所以 x2欢迎下载精品学习资源即 AB AC 10，就 CD 5故 BC 12- 5 7 明显此时三角形存在，所以三边长为10，10， 7综上所述此三角形的三边长分别为8， 8，11 或 10， 10， 7【总结升华】 BD 把 ABC 的周长分为 12cm 和 15cm 两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，
12、问题中没有交代，因此，必需进行分类争论举一反三：【变式 】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供挑选.欢迎下载精品学习资源类型三、与三角形有关的角4. 在 ABC 中， ABC C， BD 是 AC 边上的高， ABD 30，就 C 的度数是多少.【思路点拨】按 ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情形，分类争论【答案与解读】解：分两种情形争论：（ 1）当 ABC为锐角三角形时，如下列图，在ABD 中， BD 是 AC 边上的高 已知 ， ADB90 垂直定义 又 ABD 30 已知 ， A 180 - ADB- ABD
13、180 - 90 - 30 60又 A+ ABC+ C 180 三角形内角和定理 ， ABC+ C 120，又 ABC C， C60 2 当 ABC为钝角三角形时，如下列图在直角ABD 中，【答案】解：方案1：如图（ 1 ），在 BC 上取 D、 E、F，使 BD=ED=EF=F，C连接 AE、AD、 AF方案 2：如图 2 ，分别取 AB、BC、CA的中点 D、E、F，连接 DE、 EF、DF方案 3：如图 3 ，取 AB中点 D，连接 AD，再取 AD的中点 E，连接 BE、CE方案 4：如图 4 ，在 AB 取点 D，使 DC 2BD，连接 AD，再取 AD的三等分点 E、F， 连接 C
14、E、CF ABD30 已知 ，所以 BAD 60 BAC 120又 BAC+ ABC+ C180 三角形内角和定理 ，欢迎下载精品学习资源 ABC+ C 60 C 30综上， C 的度数为 60或 30【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题这就要求解答者必需具备依据条件作出图形的才能；要留意考虑图形的完整性和其他各种可能性， 双解和多解问题也是我们在学习过程中应当留意的一个重要环节举一反三：【变式】如图， ACBC,CDAB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】 3,2 类型四、三角形的稳固性5.如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的
15、菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的缘由和固定方法吗？【答案与解读】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳固性，可以依据需要转变挂钩间的距离；它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了；【总结升华】要使物体具有稳固性，应做成三角形，否就做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式 】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条.使七边形木架不变形，至少要钉几根木条.使 n 边形木架不变形又至少要钉多少根木条.【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2 根木条；使七边形木架不变形，
16、至少要钉4根木条；使 n 边形木架不变形，至少要钉类型五、多边形内角和及外角和公式 n- 3 根木条欢迎下载精品学习资源6. 某多边形除一个内角 外，其余内角的和是 2750求这个多边形的边数【思路点拨】由已知条件可知，这个多边形内角和要大于2750，而由于凸多边形的每一个内 角 的范畴是： 0 180，所以 2750加上一个180 又大于内角和，所以此题建立不 等式组来解答.【答案与解读】设这个多边形是边形，就它的内角和是，2750+0 n- 2 180 2750+180n为正整数，n=18.【总结升华】此题是多边形的内角和定理和的综合运用. 一般设出边数，依据条件列出关于 的不等式组，求出
17、的取值范畴，再依据n 取正整数得出正确的值即可. 举一反三【变式】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数；【 答案 】 可 设 多 边形 的 边 数 为n， 某 一 个外 角 为就n2 1801350从而n2=由于边数 n 为正整数，所以 90， n 9类型六、多边形对角线公式的运用7. 某校七年级六班举办篮球竞赛，竞赛采纳单循环积分制（即每两个班都进行一次比 赛 ） .你 能 算 出一 共 需 要 进 行 多 少 场比 赛 吗 ？【思路点拨】此题表达与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数.如图：【答案与解读】共需要竞
18、赛（场） .【总结升华】对于其他学科问题要善于把它与数学学问联系在一起，便于解决 .举一反三【 变 式 】 一 个 多 边 形 共 有 44条 对 角 线 ， 就 多 边 形 的 边 数 是 （） .A 8B9C 10D11【答案】 D；巩固练习：全等三角形（ 1）一学问点： 1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形含义：外形相同，大小相等.2符号：“”欢迎下载精品学习资源3. 对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点4. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.全等三角形的周长、面积相等.二、基础习题欢迎下载精品学习资源1 如图， ABC ADE ，EA
19、C30 ，求BAD 的度数 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2、如图，ABE ACD ，12 ， BC . 求证：BADCAE欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 如 图 ， ABC EFC ， B 、 C 、 E 在 同 一 条 直 线 上 ， 且BC3cm ，CE4cm ，欢迎下载精品学习资源EFC52 .求 AF 的长和A 的度数 .欢迎下载精品学习资源4. 如图，长方形 ABCD 沿 AE 折叠，使得点D 落在 BC 边上的点 F 处，且求 DAE 的度数 .5、如图，点 A 、 E 、 B 、 F 在同一条直线上，ABC FED .判定 AC 与 DF 的位置关系，
20、并说明理由；判定 AE 与 BF 的数量关系，并说明理由.全等三角形 （ 2）BAF50 .欢迎下载精品学习资源一全等三角形的判定1 ：三边对应相等的两个三角形全等. 简写成“边边边”或“ SSS”几何符号语言：在ABC 和DEF 中ABDEBCEFACDF欢迎下载精品学习资源ABC DEF （ SSS）二、基础习题1如图，点 B 、 E 、 C 、 F 在同始终线上，BECF， ABDE ， ACDF . 求证：欢迎下载精品学习资源EGCD欢迎下载精品学习资源2 、如图，点A 、 C 、 F 、 D 在同始终线上，AB / DEAFDC ， ABDE ， BCEF 求证：欢迎下载精品学习资源
21、欢迎下载精品学习资源3、如图，在四边形 ABCD 中， ABCD ， ADBC . 求证：AB / CD ；AD / BC 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4 、 如 图 ， AC 与 BD 交 于 点 O ， ADCB ， E 、 F 是 BD 上 两 点 ， 且 AECF ，欢迎下载精品学习资源DEBF 欢迎下载精品学习资源求证：DB ；AE / CF欢迎下载精品学习资源全等三角形 （ 3）一全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边欢迎下载精品学习资源角边”或“ SAS”几何符号语言：在ABC 和DEF 中ABDEBEBCEFABCDEF（ SAS）
22、二、基础习题欢迎下载精品学习资源1、如图， D 是ABC 中边 BC 的中点，ABDACD ，且 ABAC .欢迎下载精品学习资源求证：ABD ACD EBEC欢迎下载精品学习资源2、点 A 、 D 、 F 、 B 在同始终线上， ADBF ，且AE / BC .欢迎下载精品学习资源求证：AEF BCD EF / CD欢迎下载精品学习资源3、 如图， CDDE 于 D ， ABDB 于 B ， CDBE ， ABDE .欢迎下载精品学习资源求证： CEAE4、 如图， ABC 和ECD 都是等边三角形，连接BE 、 AD 交于 O .欢迎下载精品学习资源求证： ADBE AOB60欢迎下载精品
23、学习资源全等三角形 （ 4）一全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ ASA”全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边” 或“ AAS ”几何符号语言：在ABC 和DEF 中A D ABDEB EABC DEF（ ASA ）或：在ABC 和DEF 中ADBEBCEFABC DEF （ AAS ）二、基础习题欢迎下载精品学习资源1. 已知 ABA B ， AA ， BB ，就 ABC A B C的依据是（）欢迎下载精品学习资源A SASB SSAC ASAD AAS欢迎下载精品学习资源2. ABC 和DEF 中，
24、 AB错误选项（）DE ， BE ，要使ABC DEF，就以下补充的条件中欢迎下载精品学习资源A ACDFB BCEFC AD D CF欢迎下载精品学习资源3. 如图， AD 平分BAC ， ABAC ，就图中全等三角形的对数是（）A 2 对B 3 对C 4 对D 5 对欢迎下载精品学习资源4. 如图，已知的条件即可）AB / CD ，欲证明AOB COD ，可补充条件（填写一个适合欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 如图， ABAC ， BDCD ， 12 ，欲得到 BECE ， . 可欢迎下载精品学习资源先利用，证明ABC DCB ，得到=，再根据. 证明.，即可得到 BECE
25、欢迎下载精品学习资源6. 如图， AC 平分DAB 和 DCB ，欲证明AEBAED， .可先欢迎下载精品学习资源利用，证明ABC ADC ，得到=，再依据，证明欢迎下载精品学习资源 ，即可得到AEBAED .欢迎下载精品学习资源11 / 15欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 如图， ACAE ， CE ，12 .欢迎下载精品学习资源求证：ABC ADE 欢迎下载精品学习资源8. 如图，已知BDCE ，12 ，那么 ABAC ，你知道这是为什么吗？欢迎下载精品学习资源三角形综合练习题：一、挑选题（每题3 分，共 30 分）1. 有以下长度的三条线段, 能组成三角形的是 A.1cm,
26、2cm,3cm B.1cm,2cm,4cmC.2cm,3cm,4cmD.2cm,3cm,6cm2. 以下图形中有稳固性的是（）A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形欢迎下载精品学习资源3. 在 ABC中, A 12 B 13 C, 就此三角形是欢迎下载精品学习资源A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形4. 如一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角, 就这个三角AD形是 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形FD.无法确定EC5.如下列图 , 如 A=32 , B=45 , C=38 , 就 DFE 等于B A. 120 B.115 C.110D.1056. 一个三角形有
27、两条边相等，这个三角形一边等于5 ，一边等于 10 ，就另一边等于（）A5 B10 C 15 D12 欢迎下载精品学习资源7. 三角形两边为 3 和 2，就最长边的范畴是（）A. 大于 1 且小于 5B大于 2 且小于 5C大于 3 且小于 5D大于或等于3 且小于 58. 已知三角形的三边长为连续整数, 且周长为 12cm, 就它的最短边长为 A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm9. 以长为 3 ， 5 ， 7 ， 10 的四条线段中的三条线段为边，构成三角形的个数是（）A.1 个B2 个C 3 个D 4 个10. 如 图 ， 已 知 12 ， ACAD ， 增 加 下 列 条 件 ：
28、ABAE ； 欢迎下载精品学习资源B CE D； CD ； BE 其 中 能 使欢迎下载精品学习资源 ABC AED 的条件有（） 4 个 3 个 2 个 1个11. 如图， D在 AB上，且 CD垂直 AB,E在 AC上，且 BE垂直 AC，且 B=C， 就在以下条件中，无法判定 ABE ACD的是（）（ A） AD=AE（B）AB=ACB（ C） BE=CD（D） AEB= ADCDAEC12、如图， DAC和 EBC均是等边三角形， AE、BD 分别与 CD、CE交于点 M、N，有如下结论： ACE DCB； CMCN； AC DN；其中，正确结论的个数是 .A 3个 （ B） 2 个
29、C1个（ D） 0 个13如图11， 1 2， C D， AC、BD 交于 E 点，以下不正确选项（）A. DAE CBEB. CEDEC. DEA不全等于 CBED.EAB是等腰三角形DEC欢迎下载精品学习资源二、填空题A12BA图1121B欢迎下载精品学习资源14、如三角形的两边长分别是2 和 7, 就第三边长 c 的取值范畴是；当周长为奇数时 , 第三边长为欢迎下载精品学习资源15、已知等腰三角形的两边长分别为4cm和 7cm, 它的周长是16、在 ABC中, 如 A+ B C, 就 CC17、如下列图 , CAB的外角等于 120,B 等于 40 , 就 C 的度数是.40B120A1
30、8、如图，在图（ 1）中，互不重叠的三角形共有4 个，在图（ 2）中，互不重叠的三角形共有 7 个，在图（ 3）中，互不重叠的三角形共有10 个，就在第 n 个图形中，互不重叠的三角形共有个（用含 n 的代数式表示）19、如上图， A+ B+ C+ D+ E三、解答题20、如图，如 A 70， ACD40， ABE 30，求 BDC、 BFC的度数ADFEBC21、如图， AB CD， D 65， B36，求 E 的度数22、如下列图 , 在 ABC中, A=, ABC的内角平分线或外角平分线交于点P,且 P=,摸索求以下各图中与的关系 , 并挑选一个加以说明 .欢迎下载精品学习资源APBCB1AAPBCC2欢迎下载精品学习资源P(3) 323、如图， ACB=90， AC=BC，D为 AB上一点， AECD于 E， BFDC交 CD的延长线于 F求证： BF=CE欢迎下载