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1、17三角形全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题 3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进
2、一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围2.三角形按“边”分类： 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高要点诠释：三角形的三条高所在的直线相
3、交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性 要点诠释：(1
4、)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180推
5、论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角3.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，
6、二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形；(2)n边形共有 条对角线要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n2)180(n3，n是正整数) 要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的
7、外角和恒等于360，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用： 已知外角度数，求正多边形边数； 已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系： n边形的内角和等于(n2)180(n3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.已知三角形的三边长分别是3，8，,若的值为偶数，则的值有 ( ) A6个 B5个 C4个 D3个 【答案】D【解析】的取值范围：，又为偶数，所以的值可以是6, 8, 10，故的值有3个.【总结升华】不要忽略“x为偶数”这一条件.举一反三：【变式】三角形的三边长为
8、2，x-3，4，且都为整数，则共能组成 个不同的三角形.当x为 时，所组成的三角形周长最大.【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-2x-34+2，解得5x9，因为x为整数，故x可取6，7，8；当x=8时，组成的三角形周长最大为11).2.如图，O是ABC内一点，连接OB和OC (1)你能说明OB+OCAB+AC的理由吗? (2)若AB5，AC6，BC7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在ABE中，AB+AEBE；在EOC中，OE+ECOC，两不等式相加，得AB+AE+OE+ECB
9、E+OC由图可知，AE+ECAC，BEOB+OE 所以AB+AC+OEOB+OC+OE，即OB+OCAB+AC(2)因为OB+OCBC，所以OB+OC7又因为OB+OCAB+AC，所以OB+OC11，所以7OB+OC11【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题类型二、三角形中的重要线段3.在ABC中，ABAC，AC边上的中线BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以ADCD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论【答案与解析】 解：如图(1)，设ABx，ADCD (1)若AB+AD12，即，
10、所以x8， 即ABAC8，则CD4故BC15-411 此时AB+ACBC，所以三边长为8，8，11 (2)如图(2)，若AB+AD15，即，所以x10 即ABAC10，则CD5故BC12-57 显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7 综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7【总结升华】BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1
11、），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF类型三、与三角形有关的角4.在ABC中，ABCC，BD是AC边上的高，ABD30，则C的度数是多少?【思路点拨】按ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论【答案与解析】 解：分两种情况讨论： （1）当ABC为锐角三角形时，如图所示，在ABD中， BD是AC边上的
12、高(已知)， ADB90(垂直定义) 又 ABD30(已知)， A180-ADB-ABD180-90-3060 又 A+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C120， 又 ABCC， C60(2)当ABC为钝角三角形时，如图所示在直角ABD中， ABD30(已知)，所以BAD60 BAC120 又 BAC+ABC+C180(三角形内角和定理)， ABC+C60 C30综上，C的度数为60或30【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该
13、注意的一个重要环节举一反三：【变式】如图，ACBC,CDAB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ 【答案】3,2类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.举一反三：【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉
14、一根木条那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形又至少要钉多少根木条?【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条类型五、多边形内角和及外角和公式6某多边形除一个内角外，其余内角的和是2750求这个多边形的边数【思路点拨】由已知条件可知，这个多边形内角和要大于2750，而因为凸多边形的每一个内角的范围是：0180，所以2750加上一个180又大于内角和，所以本题建立不等式组来解答.【答案与解析】设这个多边形是边形，则它的内角和是，2750+0(n-2
15、)1802750+180 n为正整数， n=18.【总结升华】本题是多边形的内角和定理和的综合运用.一般设出边数，根据条件列出关于的不等式组，求出的取值范围，再根据n取正整数得出正确的值即可.举一反三【变式】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求这个多边形的边数。【答案】可设多边形的边数为n，某一个外角为则(n2)1801350从而(n2)=因为边数n为正整数，所以90，n9类型六、多边形对角线公式的运用7某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗？【思路点拨】本题体现与体育学科的综合，解题方法参照多边形对角线
16、条数的求法，即多边形的对角线条数加上边数. 如图：【答案与解析】共需要比赛（场）.【总结升华】对于其他学科问题要善于把它与数学知识联系在一起，便于解决. 举一反三【变式】一个多边形共有44条对角线，则多边形的边数是（ ）. A8 B9 C10 D11【答案】D；巩固练习： 全等三角形（1）一知识点：1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形含义：形状相同，大小相等.2符号：“”3对应（边、角、顶点）：重合的边、重合的角，重合的顶点4全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等. 全等三角形的周长、面积相等.二、基础习题1如图，求的度数.2、如图，.求证：3.如图，、在同一条
17、直线上，且，.求的长和的度数.4.如图，长方形沿折叠，使得点落在边上的点处，且.求的度数.5、如图，点、在同一条直线上，.判断与的位置关系，并说明理由；判断与的数量关系，并说明理由.全等三角形（2）一全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”几何符号语言：在和中（）二、基础习题1如图，点、在同一直线上，.求证：2、如图，点、在同一直线上，求证：3、如图，在四边形中，.求证：；4、如图，与交于点，、是上两点，且，求证：；全等三角形（3）一全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”几何符号语言：在和中 （）二、基础习题1、如图
18、，是中边的中点，且.求证： 2、点、在同一直线上，且.求证： 3、 如图，于，于，.求证：4、 如图，和都是等边三角形，连接、交于.求证： 全等三角形（4）一全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”几何符号语言：在和中 （）或：在和中 （）二、基础习题 1已知，则的根据是（ ）A B C D2和中，要使 ，则下列补充的条件中错误的是（ ）A B C D3如图，平分，则图中全等三角形的对数是（ ）A2对 B3对 C4对 D5对4如图，已知，欲证明，可补充条件_（填写一个
19、适合的条件即可）5如图，欲得到，可先利用_，证明，得到_=_，再根据_证明_，即可得到6如图，平分和，欲证明，可先利用_，证明，得到_=_，再根据_，证明_，即可得到.7如图，.求证：8如图，已知，那么，你知道这是为什么吗？三角形综合练习题：一、选择题（每题3分，共30分）1. 有下列长度的三条线段,能组成三角形的是 ( ) A.1cm,2cm,3cm B.1cm,2cm,4cm C.2cm,3cm,4cm D.2cm,3cm,6cm2. 下列图形中有稳定性的是 （）A正方形 B长方形C直角三角形 D平行四边形3. 在ABC中,ABC,则此三角形是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.
20、钝角三角形 D.等腰三角形4. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是 ( )毛 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定5. 如图所示,若A=32,B=45,C=38,则DFE等于( )A.120 B.115 C.110 D.1056. 一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5，一边等于10，则另一边等于（）A5B10C15D127. 三角形两边为3和2，则最长边的范围是（）A大于1且小于5B大于2且小于5C大于3且小于5D大于或等于3且小于58. 已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最短边长为( ) A.2cm B.3cm C.4
21、cm D.5cm9. 以长为3，5，7，10的四条线段中的三条线段为边，构成三角形的个数是（）A1个B2个C3个D4个10.如图，已知，增加下列条件：；其中能使的条件有（ ）个 个 个 个11如图，D在AB上，且CD垂直AB,E在AC上，且BE垂直AC，且B=C，A B C D E 则在下列条件中，无法判定ABEACD的是（ ） （A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）AEB=ADC12、如图，DAC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论： ACEDCB； CMCN； ACDN。其中，正确结论的个数是( ).(A) 3个 （B）2个 (C
22、)1个（D）0个 13如图11，12，CD，AC、BD交于E点，下列不正确的是（ ）B图11AA.DAECBE B.CEDEC.DEA不全等于CBE D.EAB是等腰三角形二、 填空题14、若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_；当周长为奇数时,第三边长为_15、已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm, 它的周长是_16、在ABC中,若A+BC,则C_17、如图所示,CAB的外角等于120,B等于40,则C 的度数是_.18、如图，在图（1）中，互不重叠的三角形共有4个，在图（2）中，互不重叠的三角形共有7个，在图（3）中，互不重叠的三角形共有10个，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有_个（用含n的代数式表示）19、如上图，A+B+C+D+E_三、 解答题20、如图，若A70，ACD40，ABE30，求BDC、BFC的度数21、如图，ABCD，D65，B36，求E的度数22、如图所示,在ABC中,A=,ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且P=,试探求下列各图中与的关系,并选择一个加以说明. 23、如图，ACB=90，AC=BC，D为AB上一点，AECD于E，BFDC交CD的延长线于F求证：BF=CE