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1、精品word学习资料可编辑资料- - - - - - - - - - - - - - - -人教版九年级数学上册一二单元学问点总结21.1 一元二次方程学问点一一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元） ,并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程；留意一下几点：22 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程；学问点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax + bx + c = 0a 0. 其中, ax 是二次项, a 是二次项系数； bx是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项；学问点三一元二次方程的根22使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
2、叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的依据；平方根有两个,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；（ 4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： 移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程,求出原方程的根；学问点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；（ 1） 把常数项移到等号的右边；方程两边都除以二次项系数； 方程两边
3、都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式；如等号右边为非负数,直接开平方求出方程的解；21.2.2公式法学问点一公式法解一元二次方程- - -细心整理 - - - 欢迎下载 - - -第 7 页,共 4 页21.2 降次解一元二次方程（ 1） 一般地,对于一元二次方程 ax+bx+c=0a 0 ,假如 b -4ac 0,那么方程21.2.1 配方法学问点始终接开平方法解一元二次方程b的两个根为 x=2b4ac2a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利222（1） ） 假如方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数, 可以直接开平方； 一般地, 对于形如 x =aa0 的
4、方程, 依据平方根的定义可解得 x1=a ,x 2=a .（2） ） 直接开平方法适用于解形如 x =p 或mx+a =pm 0 形式的方程,假如 p 0,用求根公式,我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法；2（2） ） 一元二次方程求根公式的推导过程, 就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax +bx+c=0a 0 的过程；就可以利用直接开平方法；（3） ） 用直接开平方法求一元二次方程的根, 要正确运用平方根的性质, 即正数的（ 3） 公式法解一元二次方程的具体步骤：2 方程化为一般形式： ax +bx+c=0a 0 ,一般 a 化为正值确定
5、公式中 a,b,c的值,留意符号；求出 b-4ac 的值；如 b2-4ac 0,就把 a,b,c和 b-4ac 的值代入公式即可求公式法配方法全部一元二次方程22解,如 b-4ac 0,就方程无实数根；因式分解当 ab=0,就 a=0一边为 0,另一边易于分解学问点二一元二次方程根的判别式法或 b=0成两个一次因式的积的一22式子 b-4ac 叫做方程 ax +bx+c=0a 0 根的判别式,通常用希腊字母表示它,元二次方程；2即 =b -4ac. 0,方程 ax2+bx+c=0a 0 有两个不相等的实数根一元二次方2程 =0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个相等的实数根根的判别式0,
6、方程2ax +bx+c=0a 0 无实数根21.2.4一元二次方程的根与系数的关系21如一元二次方程 x +px+q=0的两个根为 x ,x2, 就有 x12+x =-p,x12x =q.21.2 3 因式分解法如一元二次方程 a x+bx+c=0a 0 有两个实数根 x ,x , 就有 x +x =, b ,x x = c2121212aa学问点一因式分解法解一元二次方程（1） ） 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转二次函数学问点归纳及相关典型题第一部分基础学问化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法；（2） ） 因式分解法的具体步骤：1
7、. 定义：一般地,假如数.yax 2bxca,b,c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函 移项,将全部的项都移到左边,右边化为0； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完2. 二次函数 y（ 1）抛物线 yax 2 的性质ax 2 的顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴.全平方公式；（ 2）函数 yax 2 的图像与 a 的符号关系 . 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程；当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；2 解一元一次方程即可得到原方程的解；当 a0时抛物线开口向下顶点为其最高点 .学问点二用合适的方法解一元一次方程（ 3）顶点是坐标原点,对
8、称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为yax （ a0）.22方法名称理论依据适用范畴3. 二次函数 yax 2bxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 .直接开平平方根的意形如 x =p 或（ mx+n） =pp4. 二 次 函 数 yax 2bxc用 配 方 法可 化 成 ： ya xh 2k 的 形 式 , 其 中方法义0bh, k2a4 acb 2.4a配方法完全平方公式全部一元二次方程5. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax 2 ； yax 2k ；2ya xh； y2a xhk ； yax 2bxc .当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc 与
9、y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）：6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. c0 ,抛物线经过原点 ; c0, 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与y 轴交于负半轴 . a 的符号打算抛物线的开口方向： 当a0 时,开口向上； 当a0 时,开口向下；以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,就a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 .b0 .a平行于 y 轴（或重合）的直线记作 xh . 特殊地, y 轴记作直线 x0.10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛函数解析式
10、开口方向对称轴顶点坐标物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法yax 2yax 2kx0 （ y 轴）（0,0 ）2x0 （ y 轴）0, k （1） ）公式法 ： yax 2bxc2a xb 2a4acb 24a,顶点是（b 4ac,2a4ab ）,对称2ya xh2ya xhkxh当a0 时xh h ,0 h , k 轴是直线 xb .2 ayax 2bxc开口向上xbb4acb 2（2） ）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得当a0时2 a,2a4a到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .开口向下（
11、3） ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴, 对称轴与抛物线的交点是顶点 .11. 用待定系数法求二次函数的解析式用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.（1） ）一般式： yax 2bxc. 已知图像上三点或三对 x 、y 的值, 通常挑选一般式 .9. 抛物线 yax 2bxc 中,a, b, c 的作用（2） ）顶点式： ya xh 2k . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.（1） ） a 打算开口方向及开口大小, 这与yax 2 中的a 完全一样 .（ 3 ） 交 点式： 已 知 图像
12、与 x 轴的 交点 坐标x1 、x2 , 通 常选 用交 点式 ：（2） ） b 和a 共同打算抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直ya xx1xx2 .12. 直线与抛物线的交点线xb ,故： b0 时,对称轴为 y 轴； b0 （即 a 、 b 同号）时,对称（ 1） y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 0, c .2aa轴在 y 轴左侧； b0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在 y 轴右侧.（ 2 ）与 y 轴平行的直线xh 与抛物线yax2bxc有且只有一个交点 h ,a（3） ） c 的大小打算抛物线 yax 2bxc与 y 轴交点的位置 .
13、ah 2bhc .（3） ）抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、 x2 ,是对应一元二次方程 ax 2bxc0 的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离.（4） ）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点. 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .（5） ）一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像 G 的交y点,由方程组kxn2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解yaxbxc时l 与G 有两个交点 ;方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点； 方程组无解时l 与G 没有交点 .（ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为A x ,0 ,B x ,0,由于x 、 x 是方程ax 2bxc0 的两个根,故1x1x2ABx121bc, x1x2aa2x2x1x222x1x24x1 x22b4caab 24acaa