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1、学习必备欢迎下载21.1 二次根式人教版九年级数学上册学问点总结概念： 我们把形如a a 0的式子叫做二次根式；二次根式a 的实质是一个非负数a 的算术平方根；其中“”叫做二次根注： 二次根式是在形式上定义的,必需含有二次根号“”；如4 是二次根式,虽然4 =2,但 2 不是二次根式； 被开方数 a 必需是非负数,即 a 0. 如3 就不是二次根式,但式子 3 2 是二次根式；提示：判定是不是二次根式,一看形式,二看数值,即形式上要有二次根号,被开方数要是非负数；二次根式的性质 （ 1）a 0（a0）,（非负性）；（ 2）（a ） 2 = a（a 0）,（3）a 2 = a a0 ,（4）代数
2、式定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式；21.2 二次根式的乘除二次根式的乘法法就 ：a b =ab a 0,b 0 ,积的算术平方根的性质 ：ab =a b （a 0,b0）,二次根式的除法法就 ：a a=（a 0, b0）,商的算术平方根的性质b ba a=（ a0,b 0）,b b最简二次根式 必需满意以下两个条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；22.1 一元二次方程学问点一 一元二次方程的定义等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次）的方程,叫做一元二次方
3、程；留意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程；学问点二 一元二次方程的一般形式22一般形式： ax + bx + c = 0a 0 . 其中, ax 是二次项, a 是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项；学问点三 一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根；方程的解的定义是解方程过程中验根的依据；22.2 降次解一元二次方程22.2.1 配方法直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程；解一
4、元一次方程,求出原方程的根；配方法概念 ：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；22.2.2 公式法2bb4 ac22公式法概念： 对于一元二次方程 ax+bx+c=0a0 ,假如 b -4ac 0,那么方程的两个根为x=2 a,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法；222一元二次方程根的判别概念：式子 b -4ac 叫做方程 ax +bx+c=0a 0 根的判别式,通
5、常用希腊字母表示它,即=b -4ac.2 0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个不相等的实数根2一元二次方程 =0,方程 ax +bx+c=0a 0 有两个相等的实数根2根的判别式 0,方程 ax +bx+c=0a 0 无实数根22.2 3 因式分解法概念： 把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个求一元一次方程的解,这种解方程的方法叫做因式分解法；因式分解法的具体步骤： 移项, 将全部的项都移到左边, 右边化为 0； 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程； 解一元一次
6、方程即可得到原方程的解；22.2.4一元二次方程的根与系数的关系2如一元二次方程x +px+q=0 的两个根为 x 1,x 2, 就有 x1+x 2=-p,x 1x 2 =q.2如一元二次方程a x+bx+c=0a 0 有两个实数根 x 1 ,x 2, 就有 x1 +x2=,23.1 图形的旋转b ,x 1x2 = c aa韦达定理旋转的定义 ： 在平面内,把一个平面图形围着平面内某一点O转动一个角度,就叫做图形的旋转,点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角；我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素；旋转的性质： （ 1）对应点到旋转中心的距离相等； （ 2）对应点与旋转中心所连线段的
7、夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等；懂得以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等；（3）图形的大小和外形都没有发生转变,只转变了图形的位置；旋转有两条重要性质： （ 1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等；23.2 中心对称中心对称的定义： 把一个图形围着某一个点旋转180,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心；留意： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180 两个图形能
8、够完全重合；中心对称的性质：（1） 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分；（2） 关于中心对称的两个图形能够相互重合,是全等形；（3） 关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或共线）且相等；中心对称图形的定义： 把一个图形围着某一个点旋转180,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心；关于原点对称的点的坐标：在平面直角坐标系中,假如两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p（x,y ）关于原点对称点为（ -x,-y）；24.1.1 圆圆的定义：第一种 ：在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一
9、周,另一个端点A所形成的图形叫作圆；固定的端点O叫作圆心,线段 OA叫作半径； 其次种 ：圆心为 O,半径为 r 的圆可以看成是全部到定点O的距离等于定长 r 的点的集合；圆的相关概念： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（弦是线段 ）,经过圆心的弦叫作直径； 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧（弧是曲线 ）；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆； 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；24.1.2 垂直于弦的直径圆的对称性 ： 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴；垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分
10、弦所对的两条弧；如下列图,直径为CD,AB是弦,且 CD AB,C AM=BMBAM垂足为 MAC =BCAD=BD垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧D24.1.3 弧、弦、圆心角弦、弧、圆心角的关系：弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；在同圆或等圆中,假如两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等；留意不能忽视同圆或等圆这个前提条件,假如丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不肯定相等,比如两个同心圆中, 两个圆心角相同,但此时弧、弦不肯定相等；24.1.4 圆
11、周角（1）圆周角定理： 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2 圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90的圆周角所对弦是直径；圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系；“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否就就不成立了,由于一条弦所对的圆周角有两类；(3) 圆内接多边形： 假如一个多边形的全部顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆；(4) 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形的对角互补；24.2.1 点和圆的位置关系1 点与圆的位置关系有： 点在圆外,点在圆上,点在圆内三种；2
12、 用数量关系表示： 如设 O的半径是 r ,点 P 到 圆的距离 OP=d,就有： 点 P 在圆外d r ；点 p 在圆上d=r；点 p 在圆内d r ；24.2.2 直线和圆的位置关系1 直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种；2 用数量关系表示 : 如设 O 的半径是 r ,直线 l 与圆心 0 的距离为 d,就有： 直线 l 和 O相交d r ；直线 l 和 O相切d = r；直线 l 和 O 相离d r ；切线的判定和性质(1) 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2) 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；(3) 切线的其他性质：切线与圆只有
13、一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；切线 1 切线长的定义： 经过园外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长；(2) 切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；(3) 留意： 切线和切线长是两个完全不同的概念,必需弄清晰切线是直线,是不能度量的；切线长是一条线段的长,这条线段的两个端点一个是在圆外一点,另一个是切点；三角形的内切圆定义： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；这个三角形叫做圆的外切三角形；三角形的内心： 三角形内切圆的
14、圆心叫做三角形的内心；留意： 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心已知时, 过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角；24.2.3 圆和圆的位置关系（1） 圆与圆的位置关系有五种： 假如两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种； 假如两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种； 假如两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交；（2） 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：如设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是r 1 r 2, 且 r 1 r 2 ,就有两圆外离dr 1 +r 2两圆外切d=r1+r 2两圆相交r2-r 1 d r 1 +
15、r 2两圆内切d=r2 -r 1两圆内含d r 2 -r 124.3 正多边形和圆正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系特别亲密,把圆分成n（n 是大于 2 的自然数）等份,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆；正多边形的中心： 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的半径： 外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形的中心角： 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；正多边形的边心距： 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距；正多边形的性质（1） 正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成2n 个全等的
16、直角三角形；（2） 全部的正多边形都是轴对称图形,每个正n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都经过正n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时,这个正 n 边形也是中心对称图形,正n 边形的中心就是对称中心；（3） 正 n 边形的每一个内角等于224.4 弧长和扇形面积n2n180,中心角和外角相等,等于360；n弧长公式 l= n R180扇形面积公式： 在半径为 R的圆中, 360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=R ,所以圆心角为nn的扇形的面积为S 扇形 =22Rn R；比较扇形的弧长公式和面积公式发觉：S 扇形 =n R1 R1 lR,所以s扇形1 lR36036018022
17、2圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面,沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面绽开,简单得到圆锥的侧面绽开图是一个扇形；1设圆锥的母线长为 l ,底面圆的半径为r ,那么这个扇形的半径为l ,扇形的弧长为 2r ,因此圆锥的侧面积s圆锥侧2 rl2rl ；圆锥的全面积为s圆锥全s圆锥侧s底rlr 2 ；25.1.1 随机大事必定大事、不行能大事、随机大事：在肯定条件下,有些大事必定会发生,这样的大事称为必定大事；相反地,有些大事必定不会发生, 这样的大事称为不行能大事；在肯定条件下,可能发生也可能不会发生的大事称为随机大事；注：必定大事和不行能大事是否会发生,是可以事先确定的,所以它们统称为确定性大
18、事；大事发生的可能性的大小必定大事的可能性最大, 不行能大事的可能性最小, 随机大事发生的可能性有大有小；不同的随机大事发生的可能性的大小有可能不同；25.1.2 概率一般地,对于一个随机大事A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机大事A发生的概率,记作 P（A）；一般地,假如在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,大事A 包含其中的 m种结果,那么大事 A发生的概率 P（A） = mn；由 m和 n 的含义可知 0 mn,因此 0m 1,因此 0 P（A） 1.n当 A 为必定大事时, P（A） =1；当 A 为不行能大事时, P（A）=0.25.2 用列举法求概
19、率用列举法求概率一般地,假如在一次试验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,大事A 包含其中的 m种结果,那么大事 A 发生的m概率 P（A）=；n用列表发求概率当一次试验要涉及两个因素并且可能显现的结果数目较多时,为不重不漏地列出全部可能的结果,通常用列表法；列表法是用表格的形式反映大事发生的各种情形显现的次数和方式,以及某一大事发生的可能的次数和方式,并求出概率的方法；用树形图求概率当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时,列方形表就不便利了,为不重不漏地列出全部可能的结果,通常采纳树形图；树形图是反映大事发生的各种情形显现的次数和方式,并求出概率的方法；（ 1）树形图法同样适用于各种情形显现的总次数不是很大时求概率的方法；（ 2）在用列表法和树形图法求随机大事的概率时,应留意各种情形显现的可能性务必相同；25.3 用频率估量概率在随机大事中,一个随机大事发生与否事先无法猜测,表面上看似无规律可循,但当我们做大量重复试验时,这个大事发生的频率出现出稳固性,因此做了大量试验后,可以用一个大事发生的频率作为这个大事的概率的估量值；m一般地,在大量重复试验中,假如大事A 发生的频率稳固于某一个常数 P,那么大事 A 发生的频率 P（ A）=p ；n