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1、第五章 相交线与平行线平面内,点与直线之间的位置关系分为两种：点在线上 点在线外同一平面内,两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种：相交 平行一、相交线1、 两条直线相交,有且只有一个交点；（反之,如两条直线只有一个交点,就这两条直线相交；） 两条直线相交,产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边,另一边互为反向延长线；邻补角互补 ； 要留意区分互为邻补角与互为补角的异同；对顶角：两角共顶点,一角两边分别为另一角两边的反向延长线；对顶角相等 ；注：、同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；等角的对顶角相等；反过来亦成立；、表述邻补角、对顶角时,要留意相对性,即“互为”,要讲清谁是
2、谁的邻补角或对顶角；例如：判定对错：由于/+ Z = 180 ；,所以 / 是邻补角；（）相等的两个角互为对顶角；（）2、 垂直是两直线相交的特殊情形；留意：两直线垂直,是相互垂直,即：如线a 垂直线 b, 就线 b 垂直线 a ；垂足：两条相互垂直的直线的交点叫垂足；垂直时,肯定要用直角符号表示出来；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（注：这一点可以在已知直线上, 也可以在已知直线外）3、 点到直线的距离；垂线段：过线外一点 , 作已知线的垂线 , 这点到垂足之间的线段叫垂线段；垂线与垂线段：垂线是一条直线, 而垂线段是一条线段 , 是垂线的一部分；垂线段最短 ：连接直线外一点与直线上各
3、点的全部线段中,垂线段最短；（或说直角三角形中 ,斜边大于直角边；） 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度 , 叫这点到直线的距离；注：距离指的是垂线段的长度,而不是这条垂线段的本身；所以, 假如在判定时 , 如没有“长度”两字 , 就是错误的；4、 同位角、内错角、同旁内角三线六面八角 ：平面内 ,两条直线被第三条直线所截 ,将平面分成了六个部分 ,形成八个角 ,其中有： 4 对同位角 ,2 对内错角和 2 对同旁内角；留意：要娴熟地熟悉并找出这三种角：依据三种角的概念来区分 借助模型来区分,即：同位角F 型,内错角Z 型,同旁内角U 型；特殊留意：三角形的三个内角均互为同旁内
4、角； 同位角、内错角、同旁内角的称呼并不肯定要建立在两条平行的直线被第三条直线所截的前提上才有的,这两条直线也可以不平行 , 也同样的有同位角、内错角、同旁内角；5、 几何计数： 平面内 n 条直线两两相交,共有n （ n -1）组对顶角；（或写成 nA2 -n 组） 平面内 n 条直线两两相交,最多有n（ n -1） /2 个交点；（或写成（ n 人 2 - n） /2 个） 平面内 n 条直线两两相交 , 最多把平面分割成n（ 1）/2+1 个面； 当平面内 n 个点中任意三点均不共线时,一共可以作n（ n -1）/2 条直线；回忆： i、一条直线上n 个点之间,一共有n（n -1）/2
5、条线段；ii、如从一个点引出n 条射线,就一共有n（ n -1） /2 个角；同一平面内,两条直线如没有公共点（即交点）,那么这两条直线平行；注： 平行线永不相交；1、 平行公理： 过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行；（注：这一点是在直线外）、 平行线推论： 假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行；（或叫平行线的传递性）2 、平 行 线 的 画 法 ： 借 助 三 角 板 和 直 尺 ； 具 体 略；（ 此 基本 作 图 方 法 一 定 要 掌 握, 多 练习；）3、 平行线的判定：同位角相等,两直线平行；内错角相等,两直线平行；同旁内角互补,两直线平行；留意：是先
6、看角如何,再判定两直线是否平行,前提是“角相等/ 互补”；一个重要结论：同一平面内,垂直于同始终线的两条直线相互平行；4、 平行线的性质：两直线平行,同位角相等；两直线平行,内错角相等；两直线平行,同旁内角互补；留意：是先有两直线平行,才有以上的性质,前提是“线平行”；一个结论： 平行线间的距离到处相等；例如：应用于 说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等,仍有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形,或以下底为底的两等面积的三角形；（由于梯形的上底与下底平行,平行线间的高相等,所以,就有等底等高的三角形；） 此章难度最大就在如何利用平行线的判定或性质来进行解析几何的初步推理,
7、要在娴熟把握好基本学问点的基础上,学会规律推理,既要条理清楚,又要简洁明白；5、 命题判定一件事情的语句叫命题；命题包括“题设”和“结论”两部分,可写成“假如那么”的形式；例如：“明天可能下雨；”这句语句命题,而“今日很热,明天可能下雨；”这句语句命题；（ 填“是”或“不是”）命题分为 真命题 与 假命题 ,真命题指题设成立,结论也成立的命题（或说正确的命题）；假命题指题设成立,但结论不肯定或根本不成立的命题（或说错误的命题）；逆命题 ：将一个命题的题设与结论互换位置之后,形成新的命题,就叫原命题的逆命题；注：原命题是真命题,其逆命题不肯定仍为真命题,同理,原命题为假命题,其逆命题也不肯定为假
8、命题；例如：“对顶角相等”是个真命题,但其逆命题“”却是个假命题；再例：把“三角形的内角和等于180 度；”写成包含题设与结论的形式：不论是真命题仍是假命题,都要学会能特别娴熟地把一个命题写成“假如那么”的形式；例：把“等角的补角相等”写成“假如那么”的形式为；三、 平移1、 概念：把图形的整体沿着某一方向 移动 肯定的距离 ,得到一个新的图形,这种图形的移动,叫平移；确定平移,关键是要弄清平移的方向（并不肯定是水平移动或垂直移动哦）与平移的距离；假如是斜着平移的,就需把由起始位置至最终位置拆分为先水平移动,再上下移动,或拆分为先上下移动,再水平移动；当然,假如是在 格点图 内平移,就可利用已
9、知点的平移距离是某一 矩形的对角线这一特点来对应完成其它顶点的平移；2、 特点：发生平移时,新图形与原图形的外形、大小完全相同（即：对应线段、对应角均相等）; 对应点之间的线段相互平行（或在同始终线上）且相等,均等于平移距离；3、 画法：把握平移方向与平移距离,利用对应点（一般指图形的顶点）之间连线段平行、连线段相等性质描出原图形顶点的对应点,再依次连接,就形成平移后的新图形；第六章 平面直角坐标系一、坐标1、 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴；数轴上的点可以用一个数来表示,这个数叫这个点在数轴上的坐标；数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应,数轴上的每一个点都有唯独的一
10、个数与之对应；2、 平面直角坐标系由相互垂直、且原点重合的两条数轴组成；横向（水平）方向的为横轴（x 轴）,纵向（竖直）方向的为纵轴（y 轴）, 平面直角坐标系上的任一点,都可用一对有序实数对来表示位置,这对有序实数对就叫这点的坐标；（即是用有次序的两个数来表示,注：x 在前, y 在后,不能随便更换）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的,每一个点,都有唯独的一对有序实数对与之对应；二、象限及坐标平面内点的特点1、 四个象限平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限,从右上部分开头,按逆时针 方向分别叫第一象限（ 或第I 象限）、其次象限（或第 n 象限）、第三象限（第川象限）和第四象限（或第w
11、象限） ；注： i、坐标轴（ x 轴、 y 轴）上的点不属于任何一个象限；例点 A （ 3,0）和点 B （0,-5 ）ii 、平面直角坐标系的原点发生转变,就点的坐标相应发生转变；坐标轴的单位长度发生转变,点的坐标也相应发生转变；2、 坐标平面内点的位置特点、坐标原点的坐标为（ 0,0）;、第一象限内的点, x、y 同号,均为正；、其次象限内的点, x、y 异号, x 为负, y 为正；、第三象限内的点, x、y 同号,均为负；、第四象限内的点, x、y 异号, x为正, y 为负； 、横轴（ x 轴）上的点,纵坐标为0,即（ x,0）, 所以,横轴也可写作： 0 （表示一条直线） 、纵轴（
12、 y 轴）上的点,横坐标为0,即（ 0,y）,所以,纵横也可写作： 0 （表示一条直线） 例：如 P （） ,已知 0, 就 P 点在第象限,已知 0, 贝 U P 点在第象限；3、 点到坐标轴的距离坐标平面内的点的横坐标的肯定值表示这点到纵轴（y 轴）的距离 ,而纵坐标的肯定值表示这点到横轴（x 轴）的距离； 例：点 A（ -3,7）表示到横轴的距离为 , 到纵轴的距离为；点B（-9 ,0）表示再例：把“三角形的内角和等于180 度；”写成包含题设与结论的形式：到横轴的距离为, 到纵轴的距离为；注：、已知点的坐标求距离,只有一个结果,但已知距离求坐标,就由于点的坐标有正有负,可能有多个解的情
13、况,应留意不要丢解；例：点 P 至 U x 轴的距离是 3, 到 y 轴的距离是 7, 求点 P 的坐标为；再例：已知 A 3,2, 平行 x 轴,且 =4 ,求 B 点的坐标为；、坐标平面内任意两点A x11 、Bx22 之间的距离公式为 :d = 根号下 x12 A2 + y12 A24、坐标平面内对称点坐标的特点、一个点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为A, 特点为：x 不变, y 相反；例：A -3 , 5关于 x 轴对称的点的坐标为A、一个点 A 关于 y 轴对称的点的坐标为A, 特点为：y 不变, x 相反；例：A -3 , 5关于 y 轴对称的点的坐标为A、一个点 A 关于原点对
14、称的点的坐标为Az ,特点为 :x、 y 均相反； 例：A -3 , 5 关于原点对称的点的坐标为 A 5、平行于坐标轴的直线的表示、平行于横轴 x 轴 的直线上的任意一点,其横坐标不同,纵坐标均相等,所以,可表示为:的形式, a 的肯定值表示这条直线到 x 轴的距离,直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的肯定值; 、平行于纵轴 y 轴 的直线上的任意一点,其纵坐标不同,横坐标均相等,所以,可表示为:的形式, b 的肯定值表示这条直线到 y 轴的距离,直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的肯定值；例如：直线 5 上与点 A -3 ,-5 距离为 8 的点 P 坐标为：；直线 6 上与点
15、 B 6,7 距离为 9 的点 K 坐标为： ；6、象限角平分线的特点a 为纵坐标 b 为横坐标 、 第一、 三象限的角平分线可表示为的形式,即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等同号 ；例： A3,和 B-5 , 均在第一、三象限的角平分线上；、其次、四象限的角平分线可表示为的形式,即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数 异号 ； 例 A-3 ,和 B5, 均在其次、四象限的角平分线上；三、坐标方法的简洁应用1 、求面积、已知三角形的顶点坐标求三角形的面积将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合 相加 或分解 相减,即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形 例如矩形或梯形 与一个
16、或几个较小的三角形面积之差；例： i、已知平面直角坐标系中,点A 2,4, 点 B 6,2, 求的面积 .ii 、已知 A -4 ,3,B 0 ,0,C -2 ,-1 ,求的面积 .、已知多边形各顶点坐标求多边形的面积将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规章的图形组合的面积之和,或转化为一个更大的多边形 例如矩形或梯形 与一个或几个较小的三角形面积之差；例：顺次连接坐标平面上四点A 2,2 、B -2 ,2 、C -3 ,-2 、D 3 ,-2 , 求这个四边形的面积？2、平移、点的平移一个点左、右（水平）平移,横坐标转变,纵坐标不变；详细为：向左平移几个单位,就横坐标削减几个单位；向右平移几
17、个单位,就横坐标增加几个单位；左减右加一个点上、下（竖直）平移,纵坐标转变,横坐标不变；详细为：向下平移几个单位,就纵坐标削减几个单位；向上平移几个单位,就纵坐标增加几个单位； 下减上加”、图形的平移图形是由很多个点组成的,所以,图形的平移实质上就是点的平移；关键是把图形的各个顶点按要求横向或纵向平移,描出平移后的对应顶点,再连接全部对应顶点即可；注：图形平移后的新图形与原图形在外形、大小方面是完全相同的,唯独转变的是原图形的位置；3、中点坐标公式对于平面直角坐标系内任意两点M（ all ）、N（a22 ） ,它们的中点的坐标为：（ a12 ） /2 ,（ b12 ）/2） 例：已知点 A（
18、5, -8 ）和点 B（-3 , 2）,线段的中点的坐标为： （） ；第七章 三角形一、 概念由三条不在同始终线上的线段首尾顺次相连而构成的平面图形叫 三角形；留意其中：不在同始终线上（或说不共线）：是三条线段；首尾顺次相连这三个条件缺一不行；二、 分类（1） ） 按角分类：分为 斜三角形（包括锐角三角形和 钝角三角形）直三角形（即直角三角形）（2） ）按边分类：分为不等边三角形等腰三角形（包括只有两边相等/或说是底腰不等的三角形和 三边相等 /即等边的三角形） 注：、等边三角形是特殊的等腰三角形；、一个三角形中最多只有一个钝角,最少有二个锐角；三、 三角形的三边关系1、 三角形的三边关系定理
19、：三角形的任意两边之和大于第三边；（即c , 或b , 或a ）2、 推论：三角形的任意两边之差小于第三边；特殊留意：（ 1）、以上两点就是判定任意给定的三条线段能否组成三角形的条件,但在实际做题时,并不需要去分析全部三组边的大小关系,可简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条较短线段之和时,或当三条线段中最短的线段大于另两条较长线段之差的肯定值时,即可组成三角形；（2） 、已知三角形的两边a,b（ ab ）,就第三边 c 的取值范畴为： a -b c 0、 a2 + 32 + 42 + 7 a 丰 0、 3a , 4a , 2a + 1 a1/5例 iii：已知 M 是内一点,试说明：+ +
20、 （ 图自画 ）四、有关三角形边长的综合问题1、 等腰三角形：等腰三角形有两相等的腰和一底边,题目中往往并不直接说明腰和底边,因此,解题时要分类讨论,以免丢解；例 i：等腰三角形的周长为24 , 其中两条边长的比为3 :2, 求该等腰三角形的三边长；例 ii：已知等腰三角形的周长是16 ,（ 1 ）如其中一边长为6, 求另外两边长；（ 2）如其中一边长为4, 求另外两边长；例 iii：在等腰中,一腰上的中线将三角形周长分为21 和 12 两部分,求这个三角形的腰长和底边长；注：依据三角形三边关系,如等腰三角形的腰长为a,就底边长 x 的取值范畴是： 0 x 22、 其它例：已知和三角形内的一点
21、P, 试说明： + + （ 图略）外形线段线段线段数量3条3条3条五、三角形的中线、角平分线和高（图表区分）名称中线角平分线高定义三角形一边上的中点与这边所对的顶点的连线段三角形一个角的平分线与对边相交,顶点与交点的连线段从三角形的顶点向对边或对边的延长线作垂线 , 垂足与顶点的连线段锐角三角形的高均在三角形内；直角三角形斜边上的高在三角形内 , 另两条高与两条直角边重位置三角形内部三角形内部合；钝角三角形最长边上的高在三角形内, 另两条高在三角形外；交点交于同一点 , 位于三角角形的重心形内, 叫三交于同一点 , 叫三角形的垂心：锐角三角形高的交点位于三角形内部；直角三角形高的情形交于同一点
22、 , 位于三角 形内, 叫三角形的内心交点与直角顶点重合；钝角三角形高的交点在三角形的外部；例：判定对错：（ 1）三角形的三条高在三角形的内部；（）（ 2） 以三角形的顶点为端点 , 且平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；（）（ 3） 三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形；（）（ 4）三角形的三条角平分线和三条中线在三角形内部或外部；（ ）注： 1、画任意一个三角形的三条高,对于初学者来讲,有时会不太娴熟,记住,要把握好三角形的高的定义及位置情形,依据定义正确画出三角形的高,口诀：“一靠二过三画线”；2、要区分角的平分线和三角形角的平分线,前者是射线,后者是线段； 3 、三角形的
23、一条中线把三角形的面积一分为二（ 由于“等底等高的三角形面积相等”） ,三角形的任意一条边与该边上的高的乘积的一半都等于这个三角形的面积,所以,有时,题目中显现了中线,或显现了高时,肯定要有从面积入手来解题的意识； 4 、三角形的三条中线相交于一点（这点叫三角形的重心）,且把原三角形分成面积相等的六个部分（即六个小三角形）；六、三角形的稳固性三角形的三条边固定,那么三角形的外形和大小就完全确定了,这个性质叫三角形的稳固性；除了三角形外,其它的多边形不具有稳固性,但可以通过连接对角线,把多边形转化为如干个三角形,这个多边形也就具有稳固性了；多边形要具有稳固性,四边形要添一条对角线,五边形要添二条
24、对角线,n 边形要添（ 3）条对角线；七、三角形的内角和定理三角形的内角和等于180 度； 要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关学问推出三角形内角和定理；注：、已知三角形的两个内角度数,可求出第三个角的度数；、等边三角形的每一个内角都等于60 度;、假如已知等腰三角形的一个内角等于60 度,那么这个等腰三角形就是等边三角形；、三角形中,有“大角对大边,大边对大角”性质,即度数较大的角,所对的边就较长,或较长的边,所对的角的度数较大； 例：（ 1）已知等腰三角形的一个内角等于70 度,就另外两个内角的度数分别是多少度.（ 2）等腰三角形的一个外角是100 ,求这个三角形的三个内角度数；八、三角
25、形的外角及其性质三角形的每一个内角都有相邻的两个外角,且这两个外角相等（对顶角相等）；一共有六个外角；其中,从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加）依据邻补角、三角形的内角和等相关学问,可知：三角形的外角和 = 360度；,叫三角形的外角和；性质 1、 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；性质 2、 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；（常用于解决角的不等关系问题） 例 i： 等腰三角形的一个外角等于100 度,就这个等腰三角形的三个内角分别是多少度？例 ii ： 试用合适的方法说明五角星的五个顶角和等于180 ；（图自画）注：（ 1 ）、内
26、有一点 0, 连接、,就有 /= /A + Z + /图略 2 、内有一点 M 连接、,分别是 /和/ 的平分线,就有 /= /A + Z /2(3) 、一个五角星,五个顶角的和等于180 度； 可利用性质 1 和三角形的内角和来加以证明(4) 、分别是的内角平分线,、相交于点0, 就/= 90 + /2(5) 、分别是的外角平分线,、相交于点0,就/= 90 - /2(6) 、是的内角平分线,是的外角平分线,、相交于点0,就 Z = Z 2(7) 、锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等；钝角三角形一条钝角边上的高与
27、钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等,但如是两条钝角边上的高相交所成的夹角,就与第三边所对的角互补； 请自行用合适的方法说明以上各点！ 九、多边形及其内角和、外角和1、 概念：由 不在同始终线上的一些 线段首尾顺次相接组成的 平面图形 叫做多边形； 三角形是最简洁的多边形；注：、多边形分为凸多边形和 凹多边形,我们中学阶段只争论凸多边形；凸多边形：整个多边形都在任何一条边所在直线的同一侧 , 这样的多边形叫凸多边形； 、正多边形：各个内角都相等,各条边都相等的多边形叫正多边形； 注：边、角均相等两条件缺一不行 、各边都相等的多边形不肯定是正多边形,例如菱形；各内角都相等的
28、多边形不肯定是正多边形,例如矩形；2、 多边形的内角和定理：n 边形内角和等于： 2X 180 推导方法 1 ：由 n 边形的一个顶点动身 , 作 n 边形的对角线 , 一共可以作 3 条对角线 , 这些对角线把原先的n 边形分成了 2 个三角形, 由三角形的内角和等于180 , 可得出该 n 边形的内角和为： 2x 180 推导方法 2 ：在 n 边形的一边上任取一点 , 由这一点动身 , 连接 n 边形的各个顶点 与所取点相邻的两个顶点除外 , 一共可以作 2 条连接线段, 这些线段把原先的n 边形分成了 1 个三角形 , 但却多出了一个平角 ,所以,该 n 边形的内角和为： 1x 180
29、 - 180 = 2x 180 推导方法 3 ：在 n 边形内任取一点 ,由这一点动身 ,连接 n 边形的各个顶点 ,一共可以作 n 条连接线段 ,这些线 段把原先的 n 边形分成了 n 个三角形,但中间却多出了一个周角,所以,该n 边形的内角和为： n x 180 - 360 =2x 180注：、正 n 边形的每一个内角都等于 2x 180 、多边形的内角和是180 的整倍数；、如多边形的边数增加n 条,就它的内角和增加nx 180 、如多边形的边数扩大2 倍,就它的内角和增加 nx 180 、如多边形的边数扩大m 倍,就它的内角和增加 1 x nx 180 例：一个多边形的全部内角和其中一
30、个外角的度数和是1335 , 这是个边形 , 这个外角为度；一个多边形除了一个内角外, 其余内角之和为1680 ,就这个多边形是边形 , 这个内角为度；3、 多边形的外角和：多边形的外角和是一个定值,恒等于 360 ； 指的是取多边形每一个顶点处的一个外角相加的和, 故 n 边形的外角和指的是n 个外角相加的和；多边形的外角和与边数无关；注：、 n 边形有 n x 3/2 条对角线；例：十边形有 10 x 10-3/2 = 35条对角线、在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节运算的 常用方法；、在解决握手次数、通电话次数以及单循环赛竞赛场数问题时
31、,可以建立多边形模型,此类问题即为多边形的边数 +对角线的条数例：、已知多边形的每一个内角都等于150 ,就这个多边形的外角和是；,内角和为 、一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350 ,就此多边形为边形； 、一个多边形除了一个内角外,其余内角之和为1680 , 就这个多边形是边形； 、已知 / 的两边分别与 / 的两边垂直,就 / 和/ 的大小关系是互补 或 相等；试画图说明； 、六个人去参与会议 ,要求每两人之间要握一次手,那么这六个人共要握多少次手？（把六个人看作六个点） 十、镶嵌当环绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时,就能拼成一个平面图形；1、 用同一
32、种多边形镶嵌：这种多边形可以不是正多边形（例如三角形、长方形、平行四边形、菱形、梯形等）,也可以是正多边形（例如正三角形、正方形、正六边形）；三角形,四边形均可单独镶嵌；2、用多种多边形镶嵌：就每种多边形必需是正多边形；例如：3 个正三角 + 2 个正方形, 4 个正三角形+ 1 个正 六边形, 2 个正三角形 + 2 个正六边形, 1 个正方形 + 2 个正八边形, 2 个正五边形 + 1 个正十边形, 1 个正六 边形+ 2 个正十二边形, 1 个正三角形 + 1 个正八边形 + 1 个正二十四边形, 1 个正方形 + 1 个正六边形 + 1 个正十二边形, 1 个正三角形 + 2 个正方
33、形 + 1 个正六边形,如此等等；例：小明家需要购买地板砖铺房间地面,现有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正十二边形这五种地板砖,就能有哪几种挑选？第八章二元一次方程组、二元一次方程组1、 概念：二元一次方程：含有两个未知数,且未知数的指数（即次数）都是1 的方程,叫二元一次方程；二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程,另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起,就组成了二元一次方程组；2、 二元一次方程的解和二元一次方程组的解：使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值,叫二元一次方程的解； 使二元一次方程组的两个方
34、程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫二元一次方程组的解；注：、由于二元一次方程含有两个未知数,所以,二元一次方程的解是一组（对）数,用大括号联立；、一个二元一次方程的解往往不是唯独的,而是有很多组；、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解,一般地,只有唯独的一组,但也可能有很多组或无解（即无公共解）；二元一次方程组的解的争论：已知二元一次方程组a1x + b1y = c1、当 a12 丰 b12 时,有唯独解；、当 a12 = b12丰 c12 时,a2x + b2y = c2无解；、当 a12 =b12 = c12时,有很多解；例如： 对应方程组： 、 x + y = 4、
35、x+ y = 3、 x + y = 43x - 5y = 92x + 2y = 52x + 2y = 8例：判定以下方程组是否为二元一次方程组：、 a + b = 2 、 x = 4 、 3t + 2s = 5 b + c = 3 y = 5 + 6 = 03、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：、x = 112x + 3y = 0用含 X 的代数式表示 Y, 就是先把 X 看成已知数,把Y 看成未知数；用含Y 的代数式表示 X, 就相当于把 Y 看成 已知数,把 X 看成未知数；例：在方程 2x + 3y = 18中,用含 x 的代数式表示 y 为： ,用含 y 的代数式表示 x 为；4
36、、依据二元一次方程的定义求字母系数的值：要抓住两个方面：、未知数的指数为1, 、未知数前的系数不能为0例：已知方程 2“人1-5y A bA2-24 = 3是关于 x、y 的二元一次方程,求a、b 的值；5、求二元一次方程的整数解例：求二元一次方程3x + 4y = 18的正整数解；解：用含 x 的代数式表示 y: y = 9/2- 3/4x用含 y 的代数式表示x: x = 6 4/3y由于是求正整数解,就：9/2 - 3/4x 0, 6- 4/3y 0所以,0 x 6,0 y 9/26- 8/3 = 10/3,舍去 ;6- 16/3 = 2/3,舍去；所以,3x + 4y = 18的正整数
37、解为：x = 2y= 3再例：、假如x = 3y = - 1是 方 程组- 2y =2x +5= 3的解, 求的值； 、甲、乙两人共解方程组+ 5y =15,由于甲看错了方程中的a,得到的方程组的解4x - = -2,思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法,可以求出方程有正整数解时x、y 的取值范畴,然后再进一步确定解；所以, 当y = 1时, x = 6- 4/3 =14/3 ,舍去；当 y = 2时,x =当 y = 3时, x = 6-12/3 := 2 ,符合；当 y = 4时,x =为 x = - 3,乙看错了方程中的b, 得到的方程组的解为x = 5, 试运算 aA2
38、022 + 10 人 2022 的值；y = - 1 ,y = 4 ,二、二元一次方程组的解法消元 整体思想就是：消去未知数 , 化“二元”为“一元” 1、 代入消元法 ：由二元一次方程组中的一个方程, 将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来, 再代入另一方程, 实现消元 , 进而求得这个二元一次方程组的解, 这种方法叫做代入消元法 , 简称 代入法；注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： 、从方程组中选一个系数比较简洁的方程,将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； 、将变形后的关系式代入另一个方程 不能代入原先的方程哦！ ,消去一个未知数,得到一个一元一次方程； 、解这
39、个一元一次方程,求出一个未知数的值； 、将求得的未知数的值代入变形后的关系式 或原先的方程组中任一个方程 中,求出另一个未知数的值； 、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解；2、加减消元法 ：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等 或利用等式的性质可变为相反或相等时,将两个方程的左右两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,进而求得这个二元一次方程组的解,这种方法叫加减消元法 ,简称加减法 ；注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： 、方程组的两个方程中,假如同一个未知数前的系数既不相反又不相等时,就依据等式的性质,用适当的数乘以方程的两边 留意,
40、左右两边每一项都要乘以这个数 ,使同一未知数前的系数相反或相等； 、把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程； 、解这个一元一次方程,求得一个未知数的值； 、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解；例：解方程组：、 4y - 2y + x + 16/2 = -6x、2 + 3 = 13/2 2y + 3x = 7-2x - y3 -4 = 3/23、用换元法解方程组：依据题目的特点,利用换元法简化求解,同时应留意换元法求出的解要代回关系式中,求出方程组中未知数的解； 例： i、解方程组：5/1 + 4/2 = 27/1 -3/2 = 13/202a-3b3a+5b13= 30.9a8.31.222-31 =13ii、已知方程组的解是b,就方程组32+51=30.9x = 8.3A、 y = 1.2 Bx = 10.3、y2.2 Cx =、 y =6.32.2 Dx = 10.3、 y = 0.2的解是： 4、用整体代入法解方程组： =例：解方程组