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1、其次十二单元二次函数y=ax 2向上k 0 【或向下 k0 【或左 h0【或左 h0 【或下 k0【或下 k0 【或左 h0 】平移 |k|个单位y=a x-h2+k一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地,形如yax2bxc （ a ,b,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移 ”概括成八个字“左加右减,上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax 2bxc 变成次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0 ,而 b ,c 可以为yax 2bxcm （
2、或 yax 2bxcm ）零二次函数的定义域是全体实数 yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax 2bxc 变成2. 二次函数 yax2bxc 的结构特点：yaxm 2b xmc （或 ya xm2bxmc ） 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项二、二次函数的基本形式四、二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较二次函数的基本形式2ya xhk 的性质：从解析式上看,2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式, 后者通过配方可a 的肯定值
3、越大,抛物线的开口越小；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质以得到前者,即2yaxb 2a4acb2 4a,其中三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：a0向上h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 随h x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k b4 acb2,k22a4a方法一：将抛物线解析式转化成顶点式五、二次函数yaxbxc 图象的画法2ya xhk ,确定其顶点坐标h,k；a0向下h ,kxh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, y 随X=hx 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 五 点 绘 图 法 ： 利 用 配 方 法 将
4、二 次 函 数 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点yax2bxc 化为顶点式 yaxh 2k , 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选平移到 h,k处,详细平移方法如下：取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0,c、以及 0,c关于对称轴对称的点2 h ,c、与 x轴的交点x1 ,0,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .2六、二次函数 yaxbxc 的性质bb4acb 2析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,
5、有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为2 a,2a4a3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式当 xb 2a时, y 随 x 的增大而减小； 当 x24acbb时, y 随 x 的增大而增大； 当 xb 时,2a2a九、二次函数与一元二次方程：21. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：y 有最小值4a一元二次方程 axbxc0 是二次函数yax2bxc 当函数值
6、 y0 时的特别情形 .2bb4 acbb图象与 x 轴的交点个数：22. 当 a0 时,抛物线开口向下, 对称轴为 x,顶点坐标为2a,当 x2a4a2a 当b4ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x1 ,0,B x2 ,0 x1x2 ,其中的x1 ,x2 是时, y 随 x 的增大而增大；当x2b时, y 随 x 的增大而减小；当x 2ab时, y 有最大值2 a一元二次方程ax2bxc0 a0的两根这两点间的距离ABx2x1b24ac a. 当4acb4a0 时,图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时,图象与 x 轴没有交点 . 1当a0 时,七、二次函数解析式的表示方法图象落在 x
7、轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y0 ； 2 当a0 时,图象落在 x 轴1. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；的下方,无论 x 为任何实数,都有 y0 2. 顶点式：ya xh 2k （ a , h , k 为常数, a0 ）；23. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0, x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .2. 抛物线yaxbxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成3. 二次函数常用解题方法总结：交点式,只有抛物线与x 轴有交点
8、,即b4ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；2表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 依据图象的位置判定二次函数yaxbxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b ,1. 二次项系数 ac 的符号判定图象的位置,要数形结合；二次函数2yaxbxc中, a 作为二次项系数,明显a0 a 打算了抛物线开口的大小 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交
9、点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.和方向, a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴第一单元 二次根式ab 的符号的判定：对称轴xb 在 y 轴左边就 ab0 ,在 y 轴的右侧就 ab0 ,概1、二次根式2 a括的说就是“左同右异”式子 a a0 叫做二次根式,二次根式必需满意：含有二次根号“”；被开3. 常数项 cc 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的 二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次
10、函数的解方数 a 必需是非负数；2、最简二次根式如二次根式满意：被开方数的因数是整数,因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式；化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：（1） ）假如被开方数是分数（包括小数）或分式,先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式,然后利用分母有理化进行化简；（2） ）假如被开方数是整数或整式, 先将他们分解因数或因式, 然后把能开得尽二、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；方的因数或因式开出来；3、同类二次根式直接开平方法适用于解形如 xa2b 的一元二次方程
11、；依据平方根的定义可知,几个二次根式化成最简二次根式以后,假如被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式；xa 是 b 的平方根,当 b0 时, xab , xab ,当 b0 时,一元二次方程有 2 个不相等的实数根；当 =0 时,一元二次方程有 2 个相同的实数根；式,等式右边是零,其中ax 2 叫做二次项, a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项, b 叫做一次项系数； c 叫做常数项；当 r点 P在 O外；八、过三点的圆1、过三点的圆不在同始终线上的三个点确定一个圆；过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧直径四、圆的对称性1、圆的轴对称性知二推三2、三角形的外接圆经过三
12、角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心；4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2 、圆的中心对称性圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角；2、弦心距从圆心到弦的距离叫做弦心距；3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等；推论：在同圆或等圆中,假如两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等
13、,那么它们所对应的其余各组量都分别相等；六、圆周角定理及其推论1、圆周角顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角；2、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等；推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；推论 3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形；七、点和圆的位置关系设 O的半径是 r ,点 P到圆心 O的距离为 d,就有： dr点 P 在 O内；圆内接四边形对角互补；九、反证法先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出冲突,判
14、定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法；十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,详细如下：（1） 相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点；（2） 相切：直线和圆有唯独公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,（3） 相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离；假如 O的半径为 r ,圆心 O到直线 l 的距离为 d, 那么： 直线 l 与 O相交dr ；十一、切线的判定和性质1、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径；十二、切线长定理1、
15、切线长在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长；2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角；十三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；2、三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心；十四、圆和圆的位置关系1、圆和圆的位置关系假如两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种；假如两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两十七、正多边形的对称性1、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形；一个正n
16、 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正 n 边形的中心；2、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心；3、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形；十八、弧长和扇形面积1、弧长公式种；n的圆心角所对的弧长 l 的运算公式为 ln r假如两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交；2、圆心距2、扇形面积公式180两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距；3、圆和圆位置关系的性质与判定n2S扇R3601 lR2设两圆的半径分别为 R和 r ,圆心距为 d,那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要
17、性质假如两圆相切,那么切点肯定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；十五、正多边形和圆1、正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形；2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆；十六、与正多边形有关的概念1、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；2、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；3、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角；其中 n 是扇形的圆心角度数, R是扇形的半径, l 是扇形的弧长；3、圆锥的侧面积1Sl . 2 rrl 2其中 l 是圆锥的母线长, r 是圆锥的地面半径；