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1、第四章：圆一、学问回忆圆的周长 ： C=2r或 C= d、圆的面积 ： S= r2师名圆环面积运算方法： S=R2 -r2或 S= （ R2 - r 2） R 是大圆半径, r 是小圆半径）归纳结总三、学问要点|大一、圆的概念肚有,容集合形式的概念：1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；容学习2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；困难事之3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合, 学业轨迹形式的概念：有成更,1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；上一层固定的端点O 为圆心；连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心
2、的弦叫直径；圆上任意楼两点之间的部分叫做圆弧,简称弧；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系Ad1、点在圆内dr点 C 在圆内；rOBd2、点在圆上dr点 B 在圆上；C3、点在圆外dr点 A 在圆外；第 7 页,共 7 页rdd=rrd四、圆与圆的位置关系dddRrRrRr图 1图2图3ddRrrR三、直线与
3、圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；名师归纳总结| 大肚有容, 容学习困难之事外离（图外切（图相交（图1）2）3）无交点有一个交点有两个交点dd RR Rrrr d；Rr ；内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；, 学业有成, 更上一层楼图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1 ：（1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（ 2 ）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；名（ 3 ）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另
4、一条弧师归总纳以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即结|可推出其它 3 个结论,即：大肚容有 AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD, 容学中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；习困之难推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等；事,学即：在 O 中, AB CD业有,成弧AC弧 BD更上一层楼六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角；ACDOOEABCD B圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对EF的弧相等,弦心距相等；此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论OD中,ACB只要知道其中的 1 个相
5、等,就可以推出其它的3 个结论, 即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ； 弧 BA弧 BD七、圆周角定理C顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角；BOA1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角名 AOB师归2ACB总纳2、圆周角定理的推论：C结D|推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的大肚有容圆周角所对的弧是等弧；BO,容A学即：在 O 中, C 、D 都是所对的圆周角习困之难 CD事,学推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧C业有成是半圆,所对的弦是直径；,
6、BA更O上一即：在 O 中, AB 是直径或 C90层楼 C90AB 是直径推论 3 ：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是C直角三角形；BAO即：在 ABC 中, OCOAOBABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,DC四边形 ABCD 是内接四边形BAE CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理名师归纳（1 ）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；总结|两个条件：过半径外
7、端且垂直半径,二者缺一不行|大有肚即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端容,容MN 是 O 的切线O学习困难（2 ）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）之MAN事,推论 1 ：过圆心垂直于切线的直线必过切点；学业成有推论 2 ：过切点垂直于切线的直线必过圆心；, 更上以上三个定理及推论也称二推肯定理：一层楼即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；B即：PA 、 PB 是的两条切线OPPAPBAPO 平分BPA十一、圆幂定理DBO（1 ）相交弦
8、定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；PA即：在 O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,CPA PBPCPD（ 2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的C名两条线段的比例中项；师归总纳即：在 O 中,直径 ABCD ,结|BOEAD|CE 2大肚AE BE容有（ 3 ） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切A,容DE学线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；习O困P之难即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线CB事,学 PA2业有PCPB,成（4 ） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长更上一
9、的积相等（如上图） ；层楼即：在 O 中, PB 、 PE 是割线PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆A的O1O2的公共弦；B如图：O1O2 垂直平分 AB ；即O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点 O1O2 垂直平 ABAB十三、圆的公切线CO1O2两圆公切线长的运算公式：（1） ）公切线长：RtO O C 中,AB2CO 2O O 2CO 2 ；121122（2） ）外公切线长：CO2 是半径之差；内公切线长：CO2 是半径之和；十四、 圆内正多边形的运算C（1 ）正三角形O名在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在RtBOD 中进行：
10、BA师归总纳OD : BD : OB结|1:3 : 2 ；BDCO|（2 ）正四边形大肚容有同理,四边形的有关运算在RtOAE 中进行, 容学（3 ）正六边形习困之难同理,六边形的有关运算在RtOAB 中进行,事,学十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式业有nROE : AE : OAAB : OB : OA1:1:2 ：1:3 : 2 .AEDOBAA,成1、扇形：（ 1 ）弧长公式：更上一l；1802nR1OSl层（2 ）扇形面积公式：楼SlRB3602n ： 圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S ：扇形面积2、圆柱：（1） ） A 圆柱侧面绽开图DAD1母线长S表S侧 2S底 = 2rh2r 2底面圆周长BC1CB 圆柱的体积：（2） ） A 圆锥侧面绽开图Vr 2hB1SSS =Rrr 2O表侧底12B 圆锥的体积：Vr hR3CArB