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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次十四章： 圆一、学问回忆圆的周长 ： C=2 r 或 C= d、圆的面积 ：S= r 2圆环面积运算方法：S= R2- r 2或 S= （R2-r 2）R 是大圆半径, r 是小圆半径）二、学问要点一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O为圆心； 连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦
2、叫直径；圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；ABrddO2、点在圆上dr点 B 在圆上；3、点在圆外dr点 A 在圆外；C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；rd2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；
3、rdd=r四、圆与圆的位置关系名师归纳总结 外离（图1）无交点dRr ；Rr ；第 1 页,共 6 页外切（图2）有一个交点dRr ；相交（图3）有两个交点Rrd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 内切（图4）有一个交点dRr ；内含（图5）无交点dRr ；dddR图 1rdRrR图 2rdrRr图 3R图4 图 5五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分
4、弦所对的另一条弧以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理： 此定理中共5 个结论中, 只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 ACA弧 AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中, AB CDCAOBDCBODE弧 AC弧 BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角；圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称1 推3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,BOACOBEFD第 2 页,共 6
5、 页即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ； 弧 BA弧 BDC七、圆周角定理名师归纳总结 A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角；1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：AOB 和2ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOBACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆DC周 角 所 对 的 弧 是 等弧；即：在 O 中,C 、D 都是所对的圆周角BOA是半圆, 所对的弦CD推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的
6、弧C是直径；即：在 O 中, AB 是直径或C90BBOOCAA直角三角形；C90 AB 是直径推论3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是即：在ABC 中, OCOAOB的中线等于斜边 ABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,D180BCDE四边形 ABCD 是内接四边形ACBAD180BDAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一
7、不行即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端O MN 是 O 的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）名师归纳总结 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；MAN第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： PA 、 PB 是的两条切线 PAPBBPAPBOPO 平
8、分A十一、圆幂定理BCAOECD两 条 线 段 的 比（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；PA即：在 O 中,弦 AB 、 CD 相交于点 P , PA PBPC PD（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的例中项；BODA线 长 是 这 点 到 割即：在 O 中,直径ABCD ,CE2AE BE（ 3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切线与圆交点的两条线段长的比例中项；DE；即：在 O 中, PA 是切线, PB 是割线POPA2PC PBCB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
9、（如上图）即：在 O 中, PB 、 PE 是割线 PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆O1AO2的的公共弦；B名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图：O O 垂直平分 AB ；即：O 、O 相交于 A 、 B 两点2 CO 1O O 222 CO 2；CACBO O 垂直平分 AB十三、圆的公切线两圆公切线长的运算公式：O2O1（1）公切线长：Rt O O C 中,AB2（2）外公切线长：CO 是半径之差；2内公切线长：CO 是半径之和 2；十四、圆内正多边形的
10、运算（1）正三角形在 O 中ABC 是正三角形,有关运算在Rt BOD 中进行：BBOAOD:BD OB1:3 : 2；DC（2）正四边形同理,四边形的有关运算在Rt OAE 中进行,OE:AE OA1:1:2：AODE（3）正六边形同理,六边形的有关运算在Rt OAB 中进行,AB OB OA1:3 : 2.OAOAlD1B十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式1、扇形：（1）弧长公式：ln R；S ：扇形面积SB180（2）扇形面积公式：Sn R21lR3602n ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长D2、圆柱：（1）A 圆柱侧面绽开图A母线长名师归纳总结 BC底面圆周长C1第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S 表S 侧2S 底=2rh2r2B圆柱的体积：V2 r hB1（2）A 圆锥侧面绽开图名师归纳总结 S 表S 侧S 底=Rrr2AOCrRB第 6 页,共 6 页B圆锥的体积：V12 r h3- - - - - - -