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1、第一节第一节 时间序列的外推、平滑和季节调整时间序列的外推、平滑和季节调整一、时间序列的成分 趋势成分（Trend）、循环成分（Cyclical）、季节成分（Season）、不规则成分（Irregular）二、简单外推模型二、简单外推模型由时间序列过去行为进行预测的简单模型（适用于yt有一个长期增长的模式）1、线性趋势模型 yt =c1+ c2 t2、指数增长趋势模型 rttAey rtAyt loglog两边取对数3、自回归趋势模型4、二次曲线趋势模型 121ttyccy121loglogttyccy对数自回归趋势模型2321tctccyt美国商业部：1986年1月至1995年12月百货公司
2、的月零售额（亿元）例1 百货公司销售预测三、平滑技术三、平滑技术（目的是“消除”时间序列中的不规则成分引起的随机波动，适用于稳定的时间序列）1、移动平均模型 移动平均数=最近n期数据之和/n例如3期移动平均)(31321ttttyyyy中心移动平均3期中心移动平均)(3111ttttyyyy2、指数加权移动平均模型 221)1 ()1 (ttttyyyy即（EWMAExponentially Weighted Moving Averages） 1)1 (tttyyy越小，时间序列的平滑程度越高。例2 美国月度新建住房数（1986年1月至1995年10月）四、季节调整四、季节调整（目的是“消除”
3、时间序列中的季节成分引起的随机波动）Census (美国普查局开发的标准方法)ICSLyt移动平均比值法(Ratio to Moving Averages)ICSLytRatio to Moving AveragesMultiplicativeRatio to Moving AveragesMultiplicative第一步 用中心移动平均平滑序列yt 对于月度资料 )5 . 05 . 0(1216556ttttttyyyyyy对于季度资料 )5 . 05 . 0(412112ttttttyyyyyy此时可大致认为 已无季节和不规则波动，可看作 的估计tyCL第二步 估计SI 令 tttyyz
4、)(ISCLICSLzt即为即为SI的估计的估计第三步 消除不规则变动，得到S的估计 对SI中同一季节的数据进行平均，从而消除掉I。例如，对于月度数据，假定 y1是1月份的数据， y2是1月份的数据， y3是1月份的数据， y4是1月份的数据，总共4年数据。则)(4137251311zzzzz)(41)(41483624121238261422zzzzzzzzzz第四步 调整S的估计，使其连乘积等于1或和等于12。12immzzsimmzzs12第二节第二节 随机时间序列模型随机时间序列模型基本假定：时间序列是由某个基本假定：时间序列是由某个随机过程随机过程生成的。生成的。 在一定条件下，我们
5、可以从样本观察值中估计在一定条件下，我们可以从样本观察值中估计随机过程的概率结构，这样我们就能够建立序列的随机过程的概率结构，这样我们就能够建立序列的模型并用过去的信息确定序列未来数值的概率。模型并用过去的信息确定序列未来数值的概率。常用模型：常用模型：ARAR模型、模型、MAMA模型、模型、ARMAARMA模型、模型、ARIMAARIMA模模型、型、VARVAR模型模型、ECMECM等。等。统计特征不随时间变化而变化的过程是统计特征不随时间变化而变化的过程是平稳过程平稳过程（Stable Process） 如果过程是如果过程是严平稳的严平稳的（ Strictly Stationary），），
6、那么对任那么对任意的意的t和和k，时刻时刻t的联合概率密度函数等于时刻的联合概率密度函数等于时刻t+k的联合概的联合概率密度函数。也就是说，对于具有严平稳性质的随机过程，率密度函数。也就是说，对于具有严平稳性质的随机过程，其全部概率结构只依赖于时间之差。其全部概率结构只依赖于时间之差。 严平稳性的条件很严格，我们希望稍微放松限制条件。严平稳性的条件很严格，我们希望稍微放松限制条件。于是从实际角度考虑，我们可以用联合分布的矩的平稳性来于是从实际角度考虑，我们可以用联合分布的矩的平稳性来定义随机过程的平稳性。定义随机过程的平稳性。 一、平稳过程一、平稳过程m阶弱平稳过程阶弱平稳过程（Weakly
7、Stationary）是指随机过程的联合是指随机过程的联合概率分布的矩直到概率分布的矩直到m阶都是相等的。阶都是相等的。 若一个过程若一个过程 r(t) 是是2阶弱平稳过程阶弱平稳过程，那么它会满足下列条件：，那么它会满足下列条件： （1 1）随机过程的均值保持不变；）随机过程的均值保持不变； （2 2）随机过程的方差不随时间变化；）随机过程的方差不随时间变化； （3 3）r(i)和和r(j)之间的相关性只取决于时间之差之间的相关性只取决于时间之差 j- i。注注：弱平稳过程不一定是严平稳过程；弱平稳过程不一定是严平稳过程； 而严平稳过程若存在二阶矩，则必是而严平稳过程若存在二阶矩，则必是2阶
8、弱平稳过程。阶弱平稳过程。 例例 白噪声过程白噪声过程ttr 其中随机变量其中随机变量 满足满足 t 0)E( t 0,00,)E(2jjjtt 显然白噪声过程是一个显然白噪声过程是一个2阶弱平稳过程。阶弱平稳过程。 例例 随机游走模型随机游走模型 tttPP 1其中其中 是服从正态分布的白噪声是服从正态分布的白噪声 t 0)E( tP显然显然22)E( tPt 因此因此Pt 是非平稳过程。是非平稳过程。用用X(t)表示一随机过程，表示一随机过程，滞后期为滞后期为k的自相关系数的自相关系数定义为定义为 二、自相关函数二、自相关函数 kttkttXXCk ),ov()(如果如果X(t)是一个平稳
9、过程，则有是一个平稳过程，则有 ktt 因此因此 )0()(),ov()(2 kXXCktktt 其中其中 ),Cov()(kttXXk 2),Cov()0(tttXX 协方差函数协方差函数 自相关函数揭示了自相关函数揭示了X(t)的相邻数据点之间的相邻数据点之间存在多大程度的相关。存在多大程度的相关。 如果对所有的如果对所有的k0，序列的自相关函数等于序列的自相关函数等于0或近或近似等于似等于0，则说明序列的当前值与过去时期的观测值，则说明序列的当前值与过去时期的观测值无关，这时该序列没有可预测性。无关，这时该序列没有可预测性。 相反，如果金融序列间是自相关的，就意味着当相反，如果金融序列间
10、是自相关的，就意味着当前回报依赖历史回报，因此可以通过回报的历史值预前回报依赖历史回报，因此可以通过回报的历史值预测未来回报。测未来回报。 例例 白噪声过程的自相关函数白噪声过程的自相关函数 0,00,1)0()()(kkkk )()0)(0(),Cov()(kttkttkttEEk 0)E( t 0,00,)E(2jjjtt 协方差函数协方差函数自相关函数自相关函数样本自相关函数样本自相关函数 n样本自相关函数可以用来检验序列的所有k0的自相关函数的真实值是否为0的假设。 TttTktkttrrTrrrrkTk121)(11)(11)( Box和Pierce的Q统计量)()( 212KkTQ
11、Kk 如果检验通过，则随机过程是白噪声。如果检验通过，则随机过程是白噪声。自相关函数还可被用于检验一个序列是否平稳。自相关函数还可被用于检验一个序列是否平稳。 平稳时间序列的自相关函数随着滞后期平稳时间序列的自相关函数随着滞后期k的增加而快速下降为的增加而快速下降为0 0 )(k k平稳序列)(k k非平稳序列齐次非平稳过程齐次非平稳过程 yt非平稳，但非平稳，但yt yt-1平稳，称平稳，称yt为一阶齐次非平稳过程为一阶齐次非平稳过程 例例 随机游走过程是一阶齐次非平稳过程随机游走过程是一阶齐次非平稳过程tttPP 1tttPP 1例例 利率的模型利率的模型时间序列的当前值依赖于过去时期的观
12、察值。时间序列的当前值依赖于过去时期的观察值。 三、自回归（三、自回归（A Auto-uto-R Regressionegression）模型模型 tptptttyyyy 2211tttyy 11p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)：一一阶自回归模型阶自回归模型AR(1)：均值均值11 若若, 11 则过程平稳。则过程平稳。例例 带漂移项的随机游走过程带漂移项的随机游走过程tttPP 1过程是非平稳的过程是非平稳的不妨设常数项为不妨设常数项为0 0 平稳平稳AR(1)过程过程的自相关函数的自相关函数 )(E2110tty 方差方差协方差协方差21201 202112221112E ttyytt
13、01121111111E)(EE ttttttttyyyyyy02121122122)(EE ttttttyyyy01 kk 自相关函数自相关函数 10 11 k kkk10 这说明自回归过程具有无限记忆力。这说明自回归过程具有无限记忆力。 过程当前值与过去所有时期的值相关，且时期越早，过程当前值与过去所有时期的值相关，且时期越早，相关性越弱。相关性越弱。 四、移动平均（四、移动平均（Moving Averages）模型模型 qtqtttty 2211q阶移动平均模型阶移动平均模型MA (q)：一一阶移动平均模型阶移动平均模型MA (1)：均值均值 )(Ety11 ttty 若若,12 qii
14、 则过程平稳。则过程平稳。MA (1)过程过程的自相关函数的自相关函数 221212111221120)1(2E)(E)(E ttttttty协方差协方差2111)-)(E( ttyy0 k 0 )-)(E( )-)(E(3121122 ttttttyy 自相关函数自相关函数 10 1, 0 kk 21111 这说明这说明MA (1)过程过程仅有一期的记忆力。仅有一期的记忆力。 MA (q)过程过程有有q期的记忆力。期的记忆力。五、混合自回归五、混合自回归- -移动平均（移动平均（ARMA）模型模型 qtqttptpttyyy 1111ARMA (p , q)：ARMA(1 , 1)：1111
15、 ttttyy 均值均值11 ARMA (1,1)过程过程的自相关函数的自相关函数 22111210121 协方差协方差21011 112 211 kkk 112111111212)(1( 方差方差自相关函数自相关函数11 kk 六、六、ARIMA模型模型 ttdByB )()( ARIMA (p,d,q)：对原序列对原序列yt作作d阶差分后应用阶差分后应用ARMA (p,q)自回归算子：自回归算子：ppBBBB 2211)(qqBBBB 2211)(移动平均算子：移动平均算子：d 的确定的确定 ： 差分后检查自相关函数，确定序列是否平稳，差分后检查自相关函数，确定序列是否平稳，直到平稳为止。
16、直到平稳为止。p、q 的确定的确定：由自相关函数、偏自相关函数确定，或由：由自相关函数、偏自相关函数确定，或由AICAIC、SCSC准则确定。准则确定。ARIMA模型的确认模型的确认 若若自回归过程的阶数为自回归过程的阶数为p，则对于则对于jp应有应有偏自相关函数偏自相关函数j 0若若移动平均过程的阶数为移动平均过程的阶数为q，则对于则对于jq应有应有自相关函数自相关函数j 0AICAIC、SCSC准则准则: : 选择使准则值达到最小的模型阶数。选择使准则值达到最小的模型阶数。第第三节三节 VARVAR模型模型一、一、VARVAR（V Vector ector A AutoutoR Regre
17、ssionegression，向量自回归）向量自回归）二、格兰杰因果关系（二、格兰杰因果关系（Granger CausalityGranger Causality） 如果变量如果变量x的过去和现在信息能有助于改进变的过去和现在信息能有助于改进变量量y的预测，则称的预测，则称y是由是由x格兰杰原因引起的格兰杰原因引起的（ y is Granger-caused by x ）。）。 即若变量即若变量x的过去和现在信息被考虑进总体的的过去和现在信息被考虑进总体的所有其它信息中时，所有其它信息中时，y能被预测得更有效。能被预测得更有效。Granger, C. W. .J. (1969) Investi
18、gating Causal Relations by Econometric Models and Cross-Spectral Methods. Econometrica, 37, 424-438.Granger Causality TestGranger Causality Test假定假定(x , y)T 由由VAR(p)过程生成，即过程生成，即 ptptptpttptptptpttxxyyyxxyyy21212121201111111110 检验检验“x 不不是是y的的Granger Cause”:”:检验检验“y不不是是x的的Granger Cause”:”:0:H112110 p
19、0:H222210 p 三、脉冲响应函数三、脉冲响应函数( (Impulse Response Functions)脉冲响应函数脉冲响应函数 确定每个内生变量对他自己及所有其它内生变确定每个内生变量对他自己及所有其它内生变量的变化是如何反应的。量的变化是如何反应的。 四、方差分解四、方差分解( (Variance Decomposition)把每个变量预测误差的方差按其成因分解为与各个把每个变量预测误差的方差按其成因分解为与各个内生变量相关联的组成部分。内生变量相关联的组成部分。 第四节第四节 协整理论协整理论Engle, Robert F. and C.W.J. Granger (1987)
20、 Co-integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing. Econometrica 55, 251-76.两个或两个以上非平稳的时间序列进行特殊两个或两个以上非平稳的时间序列进行特殊组合后可能呈现平稳性。组合后可能呈现平稳性。若若xt 和和yt是随机游走，但变量是随机游走，但变量zt =xt yt是平是平稳的，则称稳的，则称xt 和和yt是协整的，协整向量为是协整的，协整向量为（1 , ）。）。例例 考虑模型考虑模型tttuyy121 tttuyy21,22 其中其中u1t和和u2t是不相关的白噪声。是不相关的白噪声。分析：分析：y2t是随机游走是随机游走ttuy22 )()(11121211 tttttttuyuyyyy 111212 tttttuuuuy