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1、第第5节数学归纳法节数学归纳法(选用选用)考试要求1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知知 识识 梳梳 理理1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取 时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.第一个值n0(n0N*)nk12.数学归纳法的框图表示常用结论与易错提醒1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.诊诊 断断 自自 测测1.判断下列说
2、法的正误.(1)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项.答案(1)(2)(3)(4)解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.答案C答案D5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n
3、2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真.解析由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1.答案2k16.用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成_.解析因为n为正偶数，故第一个值n2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n2k，故应假设成x2ky2k能被xy整除.答案2x2ky2k能被xy整除考点一用数学归纳法证明代数考点一用数学归纳法证明代数(或三角或三角)等式等式证明(1)当n1时，所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nN*等式都成立.规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，
4、弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.cos x等式左边，等式成立.(2)假设当nk时等式成立，那么，当nk1时，有cos xcos 2xcos 3xcos kxcos(k1)x这就是说，当nk1时等式也成立.根据(1)和(2)可知，对任何nN*等式都成立.考点二用数学归纳法证明不等式【例2】 (2019浙江卷)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*
5、，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列.(1)求数列an，bn的通项公式；从而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn).我们用数学归纳法证明.当n1时，c102，不等式成立；那么，当nk1时，即当nk1时不等式也成立.规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.所以an12与an2同号，考点三归纳猜想证明(2)证明由(1)知，当n1，2，3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上面的探求可知等式成立；则122232k(k1)2(k1)(k2)2所以当nk1时，等式也成立.综合(1)(2)，对nN*等式都成立.