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1、中考数学中的研究性问题分类研究性问题以其新颖、独特、前卫的特色闪亮登场，频频出现在全国各地的中考试题中，成为中考命题的热点之一这类题型从“ 学生已有的知识出发” ，以新情景、新概念、新知识、新方法为载体，提供相关数学知识、数学方法、数学规律、生活知识等方面的信息，旨在通过对所给定的信息的分析、整理、研究与归纳，然后加以运用此类型题寓研究性、抽象性、逻辑性和应用性于一体，考查学生知识、方法、能力、潜能等笔者以20XX 年各地中考题为例，分类说明一、研究规律型这类题型所提供的信息是问题的规律，但这些规律隐含在题目中，有待我们发现、挖掘，一般要求通过研究把规律归纳出来，才能解决相关的问题旨在考查观察
2、思维能力、归纳概括能力【案例 1】（20XX 年烟台市）下列图形中，图(a)是正方体木块， 把它切去一块， 得到如图 (b)(c)(d)(e)的木块（1）我们知道，图(a)的正方体木块有8 个顶点、 12 条棱、 6 个面，请你将图(b)、 (c)、(d)、(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：图号顶点数 x棱数 y面数 z(a) 8 12 6 (b) (c) (d) (e) （2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数 y、面数 z之间的数量关系式简解：填表如下：图号顶点数 x棱数 y面数 z(a) 8 12 6 (b) 6 9 5
3、 (c) 8 12 6 (d) 8 13 7 (e) 10 15 7 （2）规律： x+z-2=y二、研究方法型这类题型所提供的信息是解决问题的方法，一般要求通过阅读、研究和归纳，把握解题方法，并把这一方法加以运用、拓展、延伸解决问题的数学方法是类比，旨在考查知识的迁移能力【案例 2】 （20XX 年山东省青岛市）我国著名数学家华罗庚曾说过：“ 数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休” 数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌
4、问题的具体情形， 把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案例如，求1234n 的值，其中n 是正整数对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n 的奇偶性进行讨论如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观现利用图形的性质来求1234n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，n 个小圆圈排列组成的而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1234n 的值为求式子的值，现把左
5、边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 平行四边形此时，组成平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有（ n1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21 ）（nn，即 1234n21 ）（nn（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1 357（ 2n1）的值，其中 n 是正整数（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外
6、一种图形，求1357（2n 1）的值，其中n 是正整数（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）简解：（1）因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有 （2n 1） 1个，即 2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n 2n）个，即2n2个1357（ 2n1）2112）（nnn2（2）因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n 个，所以共有（n n）个，即 n2个1357（ 2n1） n nn2【案例3】 （2006 江苏省淮安市）阅读材料：如图1，ABC 的周长为 l，内切圆 O 的半径为r，连结 OA、OB、OC，ABC 被划分为三个小三角形，用l，r 表示 ABC 的面积S
7、ABC= SOABSOBCSOCA, 又 SABC =21AB r，SOBC=21BC r，SOCA=21CA r，SABC=21AB r21BC r21CA r=21l r（可作为三角形内切圆半径公式）图 1 A B C O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - （1）理解与应用： 利用公式计算边长分别为5、12、13 的三角形内切圆半径；（2）类比与推理： 若四边形ABCD 存在内切圆 （与各边都相切的圆，如图 2）且面积为S，各边
8、长分别为a、b、c、d，试推倒四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n 边形（ n 为不小于3 的正整数）存在内切圆，且面积为 S，各边长分别为a1、a2、a3、an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）简解：（1）三角形的三边长分别为5、12、13，又由 52122=169=132，这个三角形是直角三角形这个直角三角形的面积为21 5 12=30由公式 S=21l r，得 r=lS2=13125302=2（2）如图 3，设四边形ABCD 内切圆的圆心为O，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d连结 OA、OB、OC、OD四边形ABCD 的面积 S= SOABSOBCSOCDSO
9、DA, 又 SABC =21AB r=21a r， SOBC=21BC r=21b r， SOCA=21CA r=21c r ， SODA =21DA r=21d r，S =21a r21b r21c r21d r =21（abcd） rr=dcbaS2（3）r=naaaaS3212三、研究性质型这类题型所提供的信息是问题的性质，有的直接给出，有的隐含在题目中，需要学生自己去探索、发现、研究性质，并运用性质解题它对学生综合能力的要求较高，思维跨度大，旨在考查思维的广阔性【案例4】 （ 20XX 年浙江省绍兴市）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，
10、它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略 ) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已 知 ： ABC 、 111A B C均 为锐 角 三 角 形， AB=11A B， BC=11B C， C=1C， 证 明 ：ABC111A B C(请你将下列证明过程补充完整) 证明：分别过点B、1B，作 BDCA 于 D，1111B DC A于1D，则 BDC=111B D C=90o，BC=11B C，C=1C，BCD111B C DBD=11B D（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，
11、请你写出这个结论简解：（1）又 AB=11BA， BDA=111ADB=90o，BDA111ADB A=1A又 C=1C，BC=11B C，A B C D 图 2 A B C D 图 3 O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - ABC111A B C（2）若 ABC、111A B C均为锐角三角形或钝角三角形或直角三角形，AB=11A B，BC=11B C，C=1C，则 ABC111A BC【案例5】 （20XX 年佛山市）在数学学习
12、过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征比如 “ 同底数幂的乘法法则” 的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“ 特殊 ” 到“ 一般” 进行抽象概括的：22 23=25，23 24=27，22 26=28， 2m 2n=2m+n， am an=am+n（m，n 都是正整数）我们亦知：321312，322322，323332，32b0，c0）之间的一个数学关系式；（2）试用（ 1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“ 若 m 克糖水里含有n克糖，再加入k 克糖（仍不饱和） ，则糖水更甜了” ；
13、（3）如图，在RtABC 中， C=90o，CB=a，CA=b，AD=BE=c（ab） ，能否根据这个图形提炼出与（1）中同样的关系式？并给予证明简解：（1）a，b，c 之间的数学关系式为：abcacb；（2）因为mnkmkn，说明原来糖水中糖的质量分数mn小于加入k 克糖后糖水中糖的质量分数kmkn，所以糖水更甜了（3）过点 A 作 AFCE，交 ED 于 F 点，则 DAF DCE ECDC=FADA DC=DAACEBBC=EC，DAEB过点 A 作 AGED，交 EB 的延长线于G 点 DEC=AGCABC tanDEC tanABCtanDEC =ECDC=cacb，tanABC=B
14、CAC=ab，cacbab四、研究方案型这类题型所提供的信息是给定方案或设计方案通过对给定方案的研究，评价其优劣，并进行方案改进，或通过研究、设计出符合某种问题要求的方案它对学生的阅读、比较、理解能力要求较高，旨在考查思维的批判性【案例6】 （ 20XX 年常德市）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进 8 台空调和20 台电风扇，需要资金17400 元，若购进 10 台空调和 30 台电风扇， 需要资金 22500元（1）求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？（5 分）（2）该经营业主计划购进这两种电器共70 台，而可用于购买这两种电器的资金不超过30000元，根据
15、市场行情，销售一台这样的空调可获利200 元，销售一台这样的电风扇可获利30 元该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3500 元试问该经营业主有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？解： （1）设挂式空调和电风扇每台的采购价格分别为x元和y元依题意，得82017400103022500 xyxy，解得1800150 xyA B C D E F G 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 即挂式空调和电风扇每台的采
16、购价分别为1800元和150元（2）设该业主计划购进空调t台，则购进电风扇(70) t台则1800150(70)3000020030(70)3500tttt解得：498111711t t为整数，t为 9，10，11故有三种进货方案，分别是：方案一：购进空调9 台，电风扇61 台；方案二：购进空调10 台，电风扇60 台；方案三：购进空调11 台，电风扇59 台设这两种电器销售完后，所获得的利润为W，则20030(70)Wtt1702100t由于W随t的增大而增大故当11t时，W有最大值，1701121003970W最大，即选择第3 种进货方案获利最大，最大利润为3970元五、研究规则型这类题型
17、所提供的信息是解决问题的规则，要求对其分析、研究，熟练解决相关问题，或运用其规律解题旨在考查思维的灵活性【案例 7】 （20XX 年贵阳市）两条平行线上各有n 个点，用这n 对点按如下规则连接线段：平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其他交点；符合要求的线段必须全部画出；图（ 1）展示了当n=1 时的情况，此时图中三角形的个数为0；图（ 2）展示了当n=2 时的情况，此时图中三角形的个数为2；（ 1）当n=3 时，请在图（3）中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为；（2）试猜想当n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？（3）当 n=2006 时，按
18、上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？简解：（1）画图如下，此时图中三角形的个数为4；（2）当 n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有2（n1）个三角形；（3）由（ 2）知， 2（n1）=2（20061）=4010（个） 六、研究新概念型这类题型所提供的信息是一种新概念，通常把特殊情形的结论推广为一般情形来研究，体现了特殊到一般的数学思想方法新概念提供了广阔的思维空间，问题的解决既要套用所给定的解决特殊情形的方法，又要运用创新方法旨在考查思维的开放性和创新性【案例8】 （ 20XX 年浙江省）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为 “ 神秘数 ” 如： 4=22
19、-02，12=42-22，20=62-42，因此 4，12，20 这三个数都是神秘数（1）28 和 2 012 这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2 和 2k（其中 k 取非负整数） ，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？解： （1）根据规则探索：4=41=22-02，12=4 3=42-22，20=4 5=62-42，图 （1）图（2）图 （3）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页
20、- - - - - - - - - - 28=4 7=82-62，2 012=4 503=5042-5022，所以 28 和 2 012 都是神秘数；（ 2）(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1)，因此由这两个连续偶数2k+2 和 2k 构造的神秘数是4 的倍数（ 3）由 (2)知，神秘数可以表示成4(2k+1)，因为 2k+1 是奇数，因此神秘数是4 的倍数，但一定不是 8 的倍数另一方面，设两个连续奇数为2n+1 和 2n-1，则 (2n+1)2-(2n-1)2=8n，即两个连续奇数的平方差是8 的倍数因此，两个连续奇数的平方差不是神秘数【温馨感悟】随着基础教育课程改革的不断深入，研究性数学问题将引领命题的新潮流，将成为今后中考命题的方向，这就要求我们广大数学教师在平时的教学中，朝着促进学生综合素质全面提高的方向持续发展精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -