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1、专题突破 (十 )新定义问题新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现其内部逻辑构造呈现出比较严谨、整体性强的特点其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条件、需要完成认识 而规律探究、 方法运用、 学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”这种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规律新定义题型是北京中考最后一题的热点题型“该类题从题型上看，有展示全貌，留空补缺的； 有说明解题理由的；有要求归纳规律再解决问题的；有理解新概念再解决新问题的，等等这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特北京第 25 题分析北京第 29 题分析年份2014
2、2015 考点新定义问题 先学习后判断，函数综合给出新定义，学习，应用12015 北京 在平面直角坐标系xOy 中， C 的半径为r，P 是与圆心 C 不重合的点，点 P 关于 O 的反称点的定义如下：若在射线 CP 上存在一点P，满足 CPCP2r，则称P 为点 P 关于 C 的反称点，如图Z101 为点 P 及其关于 C 的反称点 P的示意图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (1)当O 的半径为 1 时分别判断点M(2，1)，
3、N(32， 0)，T(1，3)关于 O 的反称点是否存在，若存在，求其坐标；点 P 在直线 yx2 上，若点 P 关于 O 的反称点P 存在，且点P不在 x 轴上，求点 P 的横坐标的取值范围(2)当C 的圆心在 x 轴上，且半径为 1，直线 y33x 2 3与 x 轴、y 轴分别交于点A，B.若线段 AB 上存在点 P，使得点P 关于 C 的反称点P 在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围图 Z101 22014 北京 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y，都满足 MyM，则称这个函数是有界函数在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值例如，图Z102
4、中的函数是有界函数，其边界值是1. (1)分别判断函数y1x(x0)和 yx1(4a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求 b 的取值范围；(3)将函数 yx2(1xm，m0)的图象向下平移m 个单位长度， 得到的函数的边界值是 t，当 m 在什么范围时，满足34t1? 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 图 Z102 32013 北京 对于平面直角坐标系xOy 中的点 P 和 C，给出如下定义： 若 C 上存在两个点 A，B
5、，使得 APB60，则称 P 为 C 的关联点已知点 D(12，12)，E(0，2)，F(23，0)(1)当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中， O 的关联点是 _；过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点G， 使 GFO30， 若直线 l 上的点 P(m， n)是 O的关联点，求m 的取值范围；(2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 图 Z103
6、42012 北京 在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1x2|y1y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1y2|. 例如：点 P1(1，2)，点 P2(3，5)，因为 |13|25|，所以点 P1与点 P2的“非常距离”为|25|3，也就是图 Z104(a)中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值 (点 Q 为垂直于y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 的交点 )(1)已知点 A(12，0)，B 为 y 轴上的
7、一个动点若点 A 与点 B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标；直接写出点A 与点 B 的“非常距离”的最小值(2)已知 C 是直线 y34x3 上的一个动点，如图 (b)，点 D 的坐标是 (0，1)，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标如图 (c)，E 是以原点 O 为圆心， 1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点 E 的“非常距离”的最小值及相应的点E 和点 C 的坐标图 Z104 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - -
8、- - - - - - - - 12015 平谷一模 b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式axb 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y满足：当 mxn 时，有 myn，我们就称此函数是闭区间m， n上的“闭函数”如函数 yx4，当 x1 时，y3；当 x3 时，y1，即当 1x3 时，有 1y3，所以说函数 y x4 是闭区间 1，3上的“闭函数”(1)反比例函数y2015x是闭区间 1，2015上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；(2)若二次函数yx22xk 是闭区间 1，2上的“闭函数”，求k 的值；(3)若一次函数ykx
9、b(k0)是闭区间 m，n上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n 的代数式表示 )22015 东城一模 定义符号mina，b 的含义为：当ab 时， mina，b b；当 ab 时， mina，ba.如： min1， 22，min1，2 1. (1)求 minx21，2；(2)已知 min x22xk， 3 3，求实数 k 的取值范围；(3)已知当 2x3 时，min x22x15，m(x1) x22x 15.直接写出实数m 的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22
10、 页 - - - - - - - - - - 32015 海淀二模 如图 Z10 5(a)，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(1，0)，B(1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段AB 为 T1，线段 CD 为 T2，点 P 是坐标系内一点给出如下定义：若存在过点P 的直线 l 与 T1，T2都有公共点，则称点P 是 T1T2联络点例如，点P(0，12)是 T1T2联络点(1)以下各点中， _是 T1T2联络点 (填出所有正确的序号)；(0，2)； (4，2)；(3，2)(2)直接在图 (a)中画出所有T1T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示(3)已知点 M 在 y 轴上，以M 为
11、圆心， r 为半径画圆，M 上只有一个点为T1T2联络点，若 r1，求点 M 的纵坐标；求 r 的取值范围图 Z105 42015 门头沟一模 如图 Z106，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2bxc(a0)的顶点为 M，直线 ym 与 x 轴平行，且与抛物线交于点A 和点 B，如果 AMB 为等腰直角三角形， 我们把抛物线上A、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M 称为碟顶，线段AB 的长称为碟宽精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22
12、页 - - - - - - - - - - 图 Z106 (1)抛物线 y12x2的碟宽为 _，抛物线 yax2(a0)的碟宽为 _(2)如果抛物线ya(x1)26a(a0)的碟宽为 6，那么 a _(3)将抛物线 ynanx2bnxcn(an0)的准蝶形记为Fn(n1， 2，3， )，我们定义F1，F2，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比如果Fn与 Fn1的相似比为12，且 Fn的碟顶是 Fn1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1. 求抛物线y2的函数解析式请判断 F1，F2， Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的函数解析式
13、；如果不是，说明理由图 Z107 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 52015 朝阳一模 定义：对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点 M，在 MPQ 中，当 PQ 边上的高为2 时，称 M 为 PQ 的“等高点”， 称此时 MPMQ 为 PQ 的“等高距离”(1)若 P(1，2)，Q(4，2)在点 A(1，0)，B(52，4)，C(0，3)中，PQ 的“等高点”是_；若 M(t，0)为 PQ 的“等高点”，求PQ 的“等高
14、距离”的最小值及此时t 的值(2)若 P(0，0)，PQ2，当 PQ 的“等高点”在y 轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点 Q 的坐标图 Z108 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 62015 通州一模 如图 Z109，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(6，3)，连接 AB.若对于平面内一点P， 线段 AB 上都存在点Q， 使得 PQ1， 则称点 P 是线段 AB 的“邻近点”(1)判断点 D(75，195)是否
15、是线段AB 的“邻近点”_(填“是”或“否”)；(2)若点 H(m，n)在一次函数yx1 的图象上，且是线段AB 的“邻近点”，求m 的取值范围；(3)若一次函数yxb 的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b 的取值范围图 Z109 72015 海淀一模 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(a，b)和点 Q(a，b)，给出如下定义：若b b，a1，b，a2)的图象上，其限变点Q 的纵坐标b 的取值范围是 5b 2，求 k 的取值范围(3)若点 P 在关于 x 的二次函数yx22txt2t 的图象上， 其限变点Q 的纵坐标b 的取值范围是 b m 或 b n，其中 mn.令 smn，求 s 关
16、于 t 的函数解析式及s 的取值范围精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 图 Z1010 82015 西城一模 给出如下规定：两个图形G1和 G2，点 P 为 G1上任一点，点Q 为G2上任一点，如果线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和 G2之间的距离在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点(1)点 A 的坐标为A(1，0)，则点 B(2，3)和射线 OA 之间的距离为 _，点 C(2，3)和射线 OA 之间的距
17、离为 _(2)如果直线 yx 和双曲线 ykx之间的距离为2， 那么 k_ (可在图 Z1011(a)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 中进行研究 ) (3)点 E 的坐标为 (1，3)，将射线OE 绕原点 O 逆时针旋转60，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M. 请在图 (b)中画出图形M，并描述图形M 的组成部分； (若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示 ) 将射线OE，
18、OF 组成的图形记为图形W，抛物线yx22 与图形 M 的公共部分记为图形 N，请直接写出图形W 和图形 N 之间的距离图 Z1011 参考答案精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 北京真题体验1.解： (1)点 M(2，1)关于 O 的反称点不存在点 N(32，0)关于 O 的反称点存在，反称点N (12，0)点 T(1，3)关于 O 的反称点存在，反称点T (0， 0)如图，直线yx2 与 x 轴、 y 轴分别交于点E(2，0)
19、，点 F(0， 2)设点 P 的横坐标为x. (i)当点 P 在线段 EF 上，即 0 x2 时， 0OP2，在射线 OP 上一定存在一点P ，使得 OPOP 2，点 P 关于 O 的反称点存在，其中点P 与点 E 或点 F 重合时， OP2，点 P 关于 O的反称点为O，不符合题意，0 x2. (ii)当点 P 不在线段 EF 上，即 x0 或 x2 时， OP2，对于射线OP 上任意一点P ，总有 OPOP2，点 P 关于 O 的反称点不存在综上所述，点P 的横坐标 x 的取值范围是0 x2. (2)若线段 AB 上存在点 P，使得点 P关于 C 的反称点P在 C 的内部，则1CP2. 依
20、题意可知点A 的坐标为 (6，0)，点 B 的坐标为 (0，23)， BAO30. 设圆心 C 的坐标为 (x，0)当 x6时，过点 C 作 CHAB 于点 H，如图，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 0CHCP2， 0CA4，06x4， 2x6，并且，当2x6 时， CB2，CH2，在线段 AB 上一定存在点P，使得 CP2，此时点 P 关于 C 的反称点为C，且点 C 在 C 的内部， 2x6. 当 x6时，如图 . 0CA
21、CP2，0 x62， 6x8. 并且，当6x8 时， CB2，CA2，在线段 AB 上一定存在一点P，使得 CP2，此时点 P 关于 C 的反称点为C，且点 C 在 C 的内部， 6x8. 综上所述，圆心C 的横坐标x 的取值范围是2x8. 2解： (1)y1x(x0)不是有界函数yx1(4x2)是有界函数，边界值为3. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - (2)对于 y x1，y 随 x 的增大而减小，当 xa 时， y a12
22、， a1，当 xb 时， y b1. 2b12，ba， 1b3. (3)由题意，函数平移后的表达式为yx2m(1xm，m0)当 x 1时， y1m；当 x0 时，y m；当 xm 时， ym2m. 根据二次函数的对称性，当 0m1 时， 1mm2m. 当 m1 时， 1mm2m. 当 0m12时，1mm. 由题意，边界值t1m. 当34t1 时，0m14，0m14. 当12m1 时，1mm. 由题意，边界值tm. 当34t1 时，34m1，34m1. 当 m1 时，由题意，边界值tm，不存在满足34t1 的 m 值综上所述，当0m14或34 m1 时，满足34t1. 3解： (1)如图 (a)
23、所示，过点E 作 O 的切线，设切点为R. O 的半径为 1， RO1. EO2， OER30，根据切线长定理得出O 的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30，E 点是 O 的关联点D(12，12)，E(0， 2)，F(23，0)，OFEO，DOEO，D 点一定是 O 的关联点，而在 O 上不可能找到两点与点F 的连线的夹角等于60，故在点 D，E，F 中， O 的关联点是D，E. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 由题意可知，
24、若P 刚好是 C 的关联点，则点 P 到C 的两条切线PA 和 PB 之间所夹的角为60，由图 (b)可知 APB60，则 CPB30. 连接 BC，则 PCBCsinCPB2BC2r，若点 P 为 C 的关联点，则需点P 到圆心的距离d 满足 0d2r. 由上述证明可知，考虑临界点位置的P 点，则点 P 到原点的距离OP212，如图 (c)，过点 O 作 l 轴的垂线OH，垂足为 H， GFO 30， OGF60， OG2，可得点 P1与点 G 重合过点 P2作 P2Mx 轴于点 M，可得 P2OM30，OMOP2cos303，从而若点 P 为O 的关联点，则P 点必在线段P1P2上，0m3
25、. (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应是线段EF 的中点考虑临界情况，如图(d)，即恰好点 E，F 为 K 的关联点时，则KF2KN12EF2，此时， r1，故若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，则这个圆的半径r 的取值范围为r1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 4解： (1)点 B 的坐标是 (0，2)或(0，2)点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为12.
26、 (2)C 是直线 y34x3 上的一个动点，设点 C 的坐标为 (x0，34x03)， x034x02，此时， x087，点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为87，此时 C(87，157)E(35，45)35x034x0345，解得 x085，则点 C 的坐标为 (85，95)，点 C 与点 E 的“非常距离”的最小值为1. 北京专题训练1.解： (1)反比例函数y2015x是闭区间 1，2015上的“闭函数”理由如下：反比例函数y2015x在第一象限， y 随 x 的增大而减小，当 x1 时， y2015；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
27、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 当 x2015 时， y1，即图象过点 (1，2015)和(2015，1)，当 1x2015 时，有 1y2015，符合闭函数的定义，反比例函数y2015x是闭区间 1，2015上的“闭函数”(2)由于二次函数yx22xk 的图象开口向上，对称轴为直线x 1，二次函数yx22xk 在闭区间 1，2内，y 随 x 的增大而增大当 x1 时， y1，k 2. 当 x2 时， y2，k 2. 即图象过点 (1，1)和(2，2)，当 1x2 时，有 1y2，符合闭函数的定义，k
28、2. (3)因为一次函数ykxb()k0 是闭区间m， n 上的“闭函数”，根据一次函数的图象与性质，有：()当 k0 时，图象过点 (m，m)和(n，n)，mkbm，nkbn，解得k1，b0，yx. ()当 kr，F(0，12)在 RtAOF 中， AOF90， AO1，OF12，AFAO2OF252，sinAFOAOAF255. 在 RtFEM 中， FEM 90， FM FOOMr12，sinEFM sinAFO2 55，MEFM sinEFM5（2r1）5. 5（2r1）5r.又 r0，0r52. 4解： (1)42a(2)13(3)F1的碟宽 F2的碟宽 21，2a12a221. a
29、113， a223. 又由题意得F2的碟顶坐标为 (1，1)，y223()x121. F1，F2， Fn的碟宽的右端点在一条直线上；其解析式为y x5. 5解： (1)A、B(2)如图，作点 P 关于 x 轴的对称点P ， 连接 P Q，PQ 与 x 轴的交点即为“等高点”M，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 此时“等高距离”最小，最小值为线段P Q 的长P(1，2)， P(1， 2)设直线 P Q 的函数解析式为ykxb，根据
30、题意，有kb 2，4kb2，解得k43，b103.直线 P Q 的函数解析式为y43x103. 当 y0 时，解得 x52，即 t52. 根据题意，可知PP 4，PQ3，PQPP，PQPP2PQ25. “等高距离”最小值为5. (3)Q(4 55，2 55)或 Q(455，255)6解： (1)是(2)点 H(m，n)是线段 AB 的“邻近点”，点H(m，n)在直线 yx1 上， nm1. 直线 yx1 与线段 AB 交于 (4，3)当 m4 时，有 nm13. 又 ABx 轴，此时点H(m，n)到线段 AB 的距离是n3，0n31， 4m5. 当 m4 时，有 nm1，n3. 又 ABx 轴
31、，此时点H(m，n)到线段 AB 的距离是3n，03n1， 3m4，综上所述， 3m5. (3)如图，32b12. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 7解： (1)( 3，1)点 B(2)依题意，y x3(x2)的图象上的点P 的限变点必在函数yx3，x1，x3， 2x1的图象上b 2，即当 x1 时， b取最大值2. 当 b 2 时， 2 x3.x5. 当 b 5 时， 5x3或 5 x3. x 2 或 x8. 5b 2，由图
32、象可知， k 的取值范围是5k8. (3)yx22txt2t(xt)2t，顶点坐标为 (t，t)若 t1，b的取值范围是b m 或 b n，与题意不符若 t1，当 x1 时， y 的最小值为t，即 mt；当 x1 时， y 的值小于 (1 t)2t，即 n (1t)2t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - smnt(1t)2tt21. s 关于 t 的函数解析式为st21(t1)当 t1 时， s 取最小值 2. s 的取值范围是s2. 8解： (1)313 (2)1 (3)如图，过点O 分别作射线OE，OF 的垂线 OG，OH，则图形M 为： y 轴正半轴，GOH 的边及其内部的所有点(图中的阴影部分)说明： (图形 M 也可描述为： y 轴正半轴，直线y33x 下方与直线y33x 下方重叠的部分 (含边界 ) 43. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -