概率论抽样分布.pptx

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1、下下回回停停第三节第三节 抽样分布抽样分布一、问题的提出一、问题的提出二、抽样分布定理二、抽样分布定理一、问题的提出一、问题的提出 由于统计量依赖于样本由于统计量依赖于样本, ,而后者又是随机变量而后者又是随机变量抽样分布抽样分布 渐渐近近分分布布精精确确抽抽样样分分布布(小样本问题中使用小样本问题中使用)(大样本问题中使用大样本问题中使用)这一节这一节, 我们来讨论我们来讨论正态总体正态总体的抽样分布的抽样分布.分布就是统计量的分布分布就是统计量的分布.概率分布概率分布.称这个分布为称这个分布为“抽样分布抽样分布”. 也即抽样也即抽样 故统计量也是随机变量故统计量也是随机变量,因而统计量就有

2、一定的因而统计量就有一定的12,nXXX设设随随机机变变量量列列相相互互独独立立 且且二、抽样分布定理二、抽样分布定理性性函函数数则则它它们们的的任任一一确确定定的的线线.,).,(2112211为不全为零的常数为不全为零的常数其中其中nniiiiniiiniiCCCCCNXC 引理引理), 2 , 1(),(2niNXiii 所以所以iniiniiiiniiCXECXCE 111)()(212121iniiniiiiniiCXDCXCD )()().,(12211 niiiiniiiniiCCNXC ,21独独立立且且均均为为正正态态变变量量由由于于nXXX证证又又仍为正态变量仍为正态变量故

3、他们的线性函数故他们的线性函数,1iniiXC 1. 样本来自单个正态总体样本来自单个正态总体定理定理5.3而而是是来来自自总总体体设设样样本本,),(21XXXXn),(2 NX样样本本均均值值则则)1(),/,(121nNXnXnii 或或).1, 0( NnXU 标准化样本均值标准化样本均值. 数学期望数学期望估计总体估计总体目的：目的：22*2222)1(2) nnnSnnSnSV ) 1(2 n .2是是样样本本方方差差其其中中nS212)(1XXnii .(3)2独立独立与与nSX.:2 估计估计目的目的的平均偏离程度的平均偏离程度样本关于样本关于X期望的偏离程度期望的偏离程度关于

4、总体关于总体均值均值样本样本XnXD:)(2 注注自由度减少一个自由度减少一个!),1(2 n 212)(11XXVnii 减少一个自由度的原因：减少一个自由度的原因：.),2 , 1(不相互独立不相互独立niXXi 事实上，它们受到一个条件的约束：事实上，它们受到一个条件的约束： niiXX1 niiXnX1)(1 niiXnX1. 001 2时，时，一般一般当当)30(1 nn，近近似似)1, 0( NnXU ).()(2XDXE ，其中其中3代代替替，用用中中的的若若将将标标准准样样本本均均值值*nSU 常常是未知的，常常是未知的，差差在实际问题中，总体方在实际问题中，总体方2 心极限定

5、理知，心极限定理知，不服从正态分布，由中不服从正态分布，由中若若X则则有有如如下下推推论论：,),(),(221的样本的样本是总体是总体设设 NXXXn证证),1 , 0(/NnXU ),1()1(222* nSnVn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知1 nVU).1( nt推论推论11/* nSXnSXTnn ).1( nt)1()1(/22* nSnnXn T则有则有样本方差样本方差分别是样本均值和修正分别是样本均值和修正,2*nSX例例1 )250,2250(2NX命命某厂生产的灯泡使用寿某厂生产的灯泡使用寿记样本均值，记样本均值，以以X)250,2250(2n

6、NX则则现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过2000h，就，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使通过检验的概率超过验的概率超过0.997，问至少检查多少只灯泡，问至少检查多少只灯泡.解解)250)22502200(250)2250()2200( nXnPXP所所以以997. 0)5(1250)22502200(1 nn所以，要是检查能通过的概率超过所以，要是检查能通过的概率超过0.997，至，至灯泡的寿命灯泡的寿命即即少应该检查少应该检查190只灯

7、泡只灯泡.1 0.997()0.99719055nnun 定理定理5.42. . 样本来自两个正态总体样本来自两个正态总体.相相互互独独立立与与YX),(121nXXX样样本本总体总体X和和Y，则，则分分别别来来自自与与),(221nYYY),()1(22212121nnNYX );1 , 0(/)()(22212121NnnYX 或或221122(,),(,),XNY N 若若),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 时，时，当当22221)2( .,2)1()1(2212*222*112wwwSSnnSnSnS 其中其中本本的的修修正正分分别别是是来来自自两两个个总总体体样样

8、和和2221 SS).1, 1(/(3)21222*2212*1 nnFSSF ;样本方差样本方差),(221221nnNYX 212111)()( nnYXU ),1 , 0( N),1() 1( 1222*11 nSn 由由),1()1(2222*22 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 证证(2) 由引理及定理由引理及定理5.3，知，知(1)、略、略22111 *)(SnV22221 *)(Sn ),2(212 nn 分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU,)2/(21 nnVUT212111)()(nnSYXw ).2(21

9、 nnt(3),()(*111221211nSn ),1() 1(22222*22 nSn 22*12 S , S , 由由假假设设独独立立 分布的定义知分布的定义知则由则由F22*112212221122(1)(1)(1,1),(1)(1)nSnSF nnnn . )1, 1(/21222*2212*1 nnFSSF 即即例例2)9 , 2(),4 , 0(,NYNXYX相互独立，相互独立，设设).13, 2(,NbYaXba 使得使得试求正实数试求正实数bbYaEXbYaXE2)( 解解因为相互独立正态随机变量的线性和仍为因为相互独立正态随机变量的线性和仍为 1394220,22babba

10、，且，且由由所以所以. 1,1 ba得得222294)(baDYbDXabYaXD 正态，且正态，且例例3的样本的样本是来自正态总体是来自正态总体设设),(,221 NXXXn).2( tZ试证明：试证明：)3,(),6,(2221 NYNY因为因为解解记记 97261131,61iiiiXYXY相相互互独独立立且且21,YY 97222)(21iiYXSSYYZ)(221 )2, 0(221 NYY ）（）（从从而而有有1 ,0221NYY 独独立立）（与与且且又又因因为为 212222222),2(2YYSS ).2()2/(2/ )(2)(2222121tSYYSYYZ 所以所以所以所以

11、例例4nXXX,212nXS和和),(2 N设设是来自正态总体是来自正态总体分别为样本均值与方差分别为样本均值与方差,又设又设),(21 NXn 且与且与nXXX,21相互独立，相互独立，试求常数试求常数C 使得使得221() /nnFC XXS 服从服从F(1,n-1).解解因为因为),(),(212 NXnNXn 所以，由正态分布的线性性得所以，由正态分布的线性性得)1, 0()(21 nnNXXn 因此因此)1 , 0(1)(1NnnXXn )1(222 nnSn )1, 1(11)()1/(1/1)(2212221 nFnnSXXnnSnnXXnnnn 另一方面，有样本方差的性质知另一

12、方面，有样本方差的性质知且且22211)( nnnSnnXX与与 相互独立相互独立 所以，由所以，由F 分布的性质知分布的性质知所以所以)1(1)(221 nnXXn从而有从而有C=(n-1)/(n+1).内容小结内容小结抽样分布定理抽样分布定理1 1 单正态总体的抽样分布定理单正态总体的抽样分布定理（定理（定理5.35.3）2 2 两正态总体的抽样分布定理两正态总体的抽样分布定理（定理（定理5.45.4）备用题备用题例例1-1),(,221 NXXXn为来自正态总体为来自正态总体设设X则样本均值则样本均值的一个简单随机样本，的一个简单随机样本，为常数，则为常数，则ia服从，又若服从，又若 n

13、iiiXa1服从服从.因为相互独立的正态随机变量的线性和服从因为相互独立的正态随机变量的线性和服从正态分布正态分布因而因而nXDXE2, ),(2nNX 得得同样同样 niiiniiniiiniiaXaDaXaE122111, 所以所以),(12211 niiniiniiiaaNXa 解解例例1-2nN中抽取容量为中抽取容量为从正态总体从正态总体)36,4 .3(）内的）内的，值位于区间（值位于区间（的样本，若要求样本均的样本，若要求样本均4 . 54 . 1少？少？，则样本容量至少为多，则样本容量至少为多概率不小于概率不小于 95. 0解解 (3.4)(0,1)6n XN 因此因此, 样本容

14、量样本容量n至少取至少取35.以以X表示样本均值，则表示样本均值，则)2()4 . 54 . 1(_ XPXP所以所以)6264 . 3(nXnP 95. 01)3(2 n57.34 n例例1-3),(,2121NXXXn为来自正态总体为来自正态总体设设 则则),1,2, 1(1111 niXnXVnjjii服服从从iV).1, 0(2 nnN解解且且服从正态分布服从正态分布由于由于,iV11101nijE Vn 21122221)1(11 nnnnnDVnijji. 1, 1),1, 0(2 ninnNVi 所以所以例例1-4且独立且独立是同一正态总体是同一正态总体与与设设),(221 NX

15、X两个样本均值，试两个样本均值，试取得的样本容量相同的取得的样本容量相同的离离，使得两样本均值的距，使得两样本均值的距确定样本容量确定样本容量n.01. 0的概率不超过的概率不超过超过超过 解解)2, 0(221nNXX )/2/2()(222121nnXXPXXP 于于是是且独立，故且独立，故由于由于, 2 , 1),(2 inNX 01. 0)2(1 2 n1 0.995()0.9952.57513.2622nnun 时满足条件！时满足条件！故当样本容量故当样本容量14 n此时样本距离超过标准差的可能性不大于此时样本距离超过标准差的可能性不大于0.01.等价于等价于例例1-5个样本个样本从

16、中抽取从中抽取设总体设总体100),20,80(2NX所所以以因因为为),20,80(2NX)1 , 0(280NX 概率概率.解解 )23280()380( XPXP因因而而.1336.0)203(2 3之之差差的的绝绝对对值值大大于于求求样样本本均均值值与与总总体体均均值值例例1-6的样本，那么的样本，那么是来自是来自设设)25,(,21 NXXXn.95. 0)1( XPn取多少时，才能使取多少时，才能使因此因此样本均值样本均值),25,(nNX 解解95. 01)5/(2)/251/25()1( nnnXPXP 04.96975. 0)5( nn所所以以因此，当因此，当n至少取至少取9

17、7时，满足上述条件时，满足上述条件.例例2-1的两个独立的样本，求的两个独立的样本，求)3 ,20(N是来自总体是来自总体和和设设),(),(15211021YYYXXX解解),103,20(101101NXXii ),153,20(151151NYYii YX ),21, 0()153103, 0(NN .3 . 0 YXP)1 , 0(21NYX 故故3 . 013 . 0 YXPYXP从而从而 213 . 0211YXP)23 . 0(1 2 .6744. 0)6628. 01(2 例例2-2), 0(,24321NXXXX来来自自总总体体设设122234?XXTXX 的的分分布布为为)

18、1 , 0(2),2 , 0(221221NXXNXX 于是于是于于是是独独立立同同分分布布于于与与),1 , 0(2423NXX 解解)2(2224223 XX 则则统统计计量量分分布布的的定定义义由由t).2(242321tXXXX 即即)2(2/222423221tXXXX 的的是来自正态是来自正态设设), 0(,221 NXXXn试试求求为为样样本本均均值值和和标标准准差差，和和样样本本，nSX./的的概概率率分分布布统统计计量量nSXU 解解)1(11/ ntnSXnSXnn)(uSXPuUPuFn 1由由定定理理的的推推论论 知知:)(UFU的分布函数的分布函数先求先求)1(11)

19、1(unFunnSXPntn 例例3-11)1()()()1( nunFuFupnt的的分分布布密密度度为为所所以以， U1)1()1( nunpnt11)1(1)21()1()2(22 nnunnnnnn.)1()21()2(22nunn 例例3-2 是修正是修正是样本均值，是样本均值，设总体设总体2*2),(nSXNX 量量样本容量，则常用统计样本容量，则常用统计样本方差，样本方差，n).1(2 n U=_ 服从服从 N(0,1), T=_服从服从t(n-1), M=_ 服从服从解解)1 , 0(/NnX )1()1(222* nSnn 由抽样分布的性质知由抽样分布的性质知所以所以).1(

20、)1/()1(/)(22*2* ntnSnnXSXnTnn 22*)1(/ nSnnX 与与同时同时相互独立相互独立常见三大分布常见三大分布卡方分布卡方分布t 分布分布F分布分布此类问题的关键在于熟练掌此类问题的关键在于熟练掌握常见分布的构造性质握常见分布的构造性质例例4-1)2 , 0(, )2 , 0(221221 NXXNXX 由条件由条件)1(2),1(222212221 XXXX故故且且又又, 0VarVar),(Cov212121 XXXXXX解解，于是，于是服从正态分布，故独立服从正态分布，故独立2121,XXXX .)(), 0(,22121221的分布的分布试求试求设设XXX

21、XYNXX ).1 , 1()2/ )()2/ )()(22122122121FXXXXXXXXY 例例4-2. 5 . 0)1(),1 , 1( XPFX证明证明设随机变量设随机变量则则分分布布的的性性质质知知，若若由由),1 , 1( FXF)1 , 1(/1FXY )1()1( YPXP从从而而, 1)1()1( XPXP又因为又因为. 5 . 0)1( XP所以所以解解注注 本题分布换成具有相同自由度的本题分布换成具有相同自由度的F(n,n)亦亦有相同的结论！有相同的结论！)1()1/1( XPXP例例4-3)4 , 0(,),1 , 0(321NYYYNX.,23222122221Y

22、YYSSXTSXT )1(22 X设设且相且相解解因为因为3 , 2 , 1),4 , 0(),1 , 0( iNYNXi所以所以3 ,2 , 1),1 ,0(2 iNYi)3(422 S进而有进而有互独立，试求下列统计量的期望及互独立，试求下列统计量的期望及1T方差方差.)3(3/ )4(322tSXSX )3 , 1(3/41/122222FSXSX 所以，由所以，由T 分布的性质知分布的性质知0323211 SXEET由抽样分布的性质可知由抽样分布的性质可知3321211 SXDDT. 31212122 SXEET由由F 分布的性质知分布的性质知例例4-4的样本，的样本，中取一组容量为中取一组容量为设在总体设在总体nN),(2 .22DSES 和和)1()1(222 nSn 其中参数未知，求其中参数未知，求解解故有故有) 1( 2) 1(, 1) 1(2222 nSnDnSnE 于是于是22222222)1(1)1(1( SnEnSnnEES.12)1(1)1(1(42222222 nSnDnSnnDDS 因为因为