《第12讲 隐零点问题（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第12讲 隐零点问题（解析版）.docx（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第12讲 隐零点问题 参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1（2021赣州期末）命题：关于的不等式为自然对数的底数）的一切恒成立；命题，；那么命题是命题的A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解答】解：关于的不等式为自然对数的底数）的一切恒成立，即为，可令，则，由在递增，且，则存在，满足，且在递减，递增，记，则，即有，则命题是命题的必要不充分条件，故选：二解答题（共22小题）2已知函数，求证：【解答】证明：，则函数在上单调递增，由，存在唯一零点，满足，3（2021鼓楼区校级月考）设函数，（1）若（e）；求实数的值；若，证明为的极值点（2）求实数的取值范围，使得对任
2、意的，恒有成立（注为自然对数的底数）【解答】解：（1）求导得，是的极值点，解得或；证明：因为，所以，所以，令，则，故在上单调递增，而（1），（e），故存在唯一，使得，时，即时，单调递增，时，此时，单调递减，为函数的极小值点；（2）当，对于任意的实数，恒有成立；时，由题意，首先有，解得，由（1）知，令，则（1），（a），且，又在内单调递增，所以函数在上有唯一零点，记此零点为，则，从而，当时，当，时，当时，即函数在单调递增，在，单调递减，在单调递增，所以要使对任意，恒成立，只需，由知，将代入得，又，注意到函数在，上单调递增，故，由解得，综上，实数的取值范围为4（2021全国四模）已知函数，（1）求
3、证：，；（2）记，若有两个零点，求实数的取值范围【解答】解：（1）证明：令，当时，在递减；当时，在递增，即令，当时，在递增；当时，在递减，（1），即（2），当时，则在上单调递增，至多一个零点舍去；当时，即设，在上单调递增，又，（a），所以在存在唯一的零点，记为，即当，即，在上单调递减；当，即，在，上单调递增，又，若有两个零点，则，即，又，又在上单调递减，所以在存在唯一的零点；由及（1）可知，又在，上单调递减，所以在，存在唯一的零点，故有两个零点综上，取值范围是5设为实数，已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设为实数，若不等式对任意的及任意的恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个相异的
4、零点，求的取值范围【解答】解：（1）当时，因为，当时，当时，所以函数单调递减区间为，单调递增区间为（2）由，得：，由于，所以对任意的及任意的恒成立，由于，所以，所以对任意的恒成立设，则，所以函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以所以（3）由，得，其中，若时，则，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意若时，令，得，由第（2）小题知，当时，所以，所以，所以当时，函数的值域为，所以存在，使得，即，当时，所以函数在单调递增，在，单调递减因为函数有两个零点，所以，设，则，所以在上单调递增，由于（1），所以当时，所以式中的，由式得，由第（1）小题可知，当时，函数在上单调递减，所以，即，当
5、，时，（1）由于，所以，因为，且函数在上单调递减，函数在上图象不间断，所以函数，上恰有一个零点（2）由于，令，设，由于时，所以设，即，由式得当时，且，同理可得函数在，上恰有一个零点，综上，6（2021眉山模拟）已知函数（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）设有两个极值点，若过两点，的直线与轴的交点在曲线上，求的值【解答】解：（1）当时，则；令得，或； 1 00 增 9 减 增当时，的极大值为9，当时，的极小值为（2）；当时，是上的增函数，当时，有两个根，；当，时，；故的单调增区间为，；当时，；故的单调减区间为，；（3）由题设知，是的两个根，且，；，同理，则直线的解析式为；设直线与轴的
6、交点为，则，解得，；代入得，；，在轴上，解得，或或7（2021重庆模拟）已知函数（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围【解答】解：（1）设切点的横坐标为，则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为（1），所以；（2）令，则原命题等价于恒成立，又，设，则在上单减，在，上单增，故只需，令，所以在上单调递增，在上单调递减，又，即8（2021广州二模）已知函数（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：当时，参考数据：，【解答】解：（1）解法，函数在递增，得，设，则，令，解得：，当时，当时，故函数在递减，在递增，故时，取得最小值，故，故的范围是；解法
7、2：由，设，则，令，解得：，当时，当时，故函数在递减，在递增，故时，取得最小值，函数在递增，故，由于，则，解得：，故的范围是；（2）证明：若，则，得，由（1）知函数在递减，在递增，又，（1），则存在，使得，即，当时，当，时，则函数在递减，在，递增，则当时，函数取最小值，故当时，由，得，则，由于，则，故时，9（2021石家庄一模）已知函数，其中，（1）当时，若直线是曲线的切线，求的最大值；（2）设，函数，有两个不同的零点，求的最大整数值（参考数据【解答】解：（1）设直线与相切于点， ，又点在切线上，因此，设（a），（a），令（a）得，；令（a）得，（a）在上单调递增，在，上单调递减，（a）的最大
8、值为，的最大值为；（2）函数，有两个不同的零点，等价于方程有两个不相等的实根，设，则等价于方程 有两个不同的解，即关于的方程 有两个不同的解，设，则，设，由可知，在上单调递减，又（1），存在使得，即，当时，函数单调递增；当，时，函数单调递减，函数的极大值为，要使得关于的方程 有两个不同的解，则，当时，设，则，可知在上单调递增，在，上单调递减，又（1），（e），有两个不同的零点，符合题意，的最大整数值为10（2021汇川区校级月考）已知函数为常数，是自然对数的底数），（1）曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求的值及函数的单调区间；（2）证明：当时，对，都有成立【解答】解：（1），即在上是单调递减
9、，又（1），所以函数在上单增，上单减（2）证明：，即在上是单调递减，所以（1），当时，恒成立，即在上单调递减，则（1），当时，必然存在一个，使得，则，单调递增，时，单调递减则法二：即，令，则，显然是增函数，故（1），所以是增函数，（1），故，所以当时，对，都有成立11（2021龙凤区校级二模）已知函数，（1）当，时，求在点，（1）处的切线方程；（2）若恒成立，求的最小值【解答】解：（1）的导数为，可得切线的斜率为9，切点为，则切线方程为，即；（2），令，则在上单调递增，又时，当时，存在唯一一个，使得，即当时，当时，在上单调递减，在，上单调递增恒成立，即，设，则，当时，当时，在上单调递减，在上单
10、调递增，（1）当时，即，时，取得最小值12已知函数，且（）求（）证明：存在唯一的极大值点，且【解答】解：，化为：，令时，函数在上单调递减，而（1），时，不满足题意，舍去时，可得时，函数取得极小值，令（a），（a），可得时，（a）取得极大值即最大值，因此只有时满足题意故证明：由可得：，可得时，取得极小值，时，；时，（1），时，函数存在唯一的极大值点，且满足，可得令，令，可得时，函数取得极大值，且存在唯一的极大值点，且13（2021广州模拟）已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为（1）求，的值；（2）证明函数存在唯一的极大值点，且【解答】解：（1）函数的定义域为，则（1），（1），故曲线在点，（
11、1）处的切线方程为，又曲线在点，（1）处的切线方程为，；（2）证明：由（1）知，则，令，则，易知在单调递减，又，（1），故存在，使得，且当时，单调递增，当，时，单调递减，由于，（1），（2），故存在，使得，且当时，单调递增，当，时，单调递减，故函数存在唯一的极大值点，且，即，则，令，则，故在上单调递增，由于，故（2），即，14（2021春济宁期末）已知函数，其中为自然对数的底数（1）若，求的最小值；（2）若，证明：【解答】解：（1）若时，设，则，函数在上为增函数，又，当时，单调递减；当时，单调递增的最小值为（2）证明：由题意知，当时，显然成立当时，由（1）知：，在上为增函数，（1），存在唯一的
12、使得，即，当时，单调递减；，时，单调递增的最小值为当且仅当，即，时取等号把代入，得，矛盾，等号不能成立，因此15（2021春日照期中）设函数（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，【解答】解：（1）函数的定义域，当，恒成立，没有零点，当时，在上单调递增，又因为时，时，故只有1个零点；（2）令，则，由（1）知，当时，只有1个零点，设为，则，故，当，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数取得最小值，16（2021九江校级月考）已知函数（1）若是的极值点，求，并讨论的单调性；（2）当时，证明【解答】解：（1），是的极值点，得；当在时，递减，当在时，递增；（2）当时，故在上有唯一实数根，且当时
13、，当，时，从而当时，取得最小值，另解：当时，令，当时，单调递减，当，时，单调递增，所以，即，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，故，取等条件不一致，故，即17（2021春福建期末）已知函数（）设是的极值点，求的值，并讨论的单调性；（）证明：【解答】解：，由题意可得，解可得，令，则，故在上单调递增且，当时，即，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，（）证明：（2）令，则在上单调递增，因为，所以在存在唯一实数根，且，当时，时，当时，函数取得最小值，因为，即，故，所以18（2021道里区校级二模）已知函数（1）设是的极值点，求函数在，上的最值；（2）若对任意，且，都有，求的取值范围（3）当时，
14、证明【解答】解：（1），是的极值点，解得：，定义域是，设，则，在递增，又，时，即，时，即，在递减，在递增，在，递增，的最小值是（1），的最大值是（2）；（2）因为对任意，且，都有，即都有，故函数在，上单调递增；在，上恒成立，又因为在，上单调递增，所以只要即；（3）证明：当，时，故只需证明当时，当时，函数在上为增函数，且，故在上有唯一实数根，且，当时，当，时，从而当时，取得最小值由，得，故，综上，当时，法二：，故，令，易证时“”成立），故时“”成立），故， “ “不同时成立），故，成立19（2021东湖区校级期末）设函数（1）当时，求函数的极值点；（2）当时，证明：在上恒成立【解答】解：（1）由
15、题意得，当时，在上为增函数；当时，在上为减函数；所以是的极大值点，无极小值点（2）证明：令，则，令，则因为，所以函数在上单调递增，在上最多有一个零点，又因为，（1），所以存在唯一的使得（c），且当时，；当时，即当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，从而（c），由（c）得即，两边取对数得：，所以（c），（c），从而证得20（2021锡山区校级三模）已知函数，（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）设，若，求的取值范围【解答】解：（1）时，则，又，故切点为，故曲线在点，处的切线方程为：；（2），定义域是，令（a），求导（a），故（a）在上单调递增，且（1），故，则当时，恒成立，即（a）（
16、1），故，时，令，则，故在上单调递增，且，故存在，使得，即，当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，故，综上，所求的取值范围是，21（2021玉溪月考）已知函数（1）若，求函数的最小值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（1）当，令得，当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增，所以（1）（2）解：因为，即，问题转化为恒成立，因为，设，因为，故存在，有，且在时，在，时，则在上单调递减，在，上单调递增故要满足题意，有，由可得代入上式，即，由，所以函数在上单调递减，而（1），当，时，函数（1）符合要求又所以，即，当时，函数（1）不符合要求综上：，22（2021龙岩月考）已知函数且
17、为常数）（）讨论函数的极值点个数；（）若对任意的恒成立，求实数的取值范围【解答】解：（）由题设知：的定义域为，令，在上恒成立，函数在上单调递增，且值域为，当时，在上恒成立，即，故在上单调递增，无极值点；当时，方程有唯一解为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，是函数的极小值点，没有极大值点综上，当时，无极值点，当时，函数只有1个极值点；（）不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，对任意的恒成立记，则，记，则，易知在上恒成立，在上单调递增，且，（1），存在，使得，且当时，即，函数在上单调递减；当，时，即，故在，上单调递增，即，又，故，即，即，由（）知函数在上单调递增，综上，实数的取值范围是，23（2021江西月考）已知函数，（1）若，讨论函数在定义域内的极值点个数；（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值【解答】解：（1）的定义域为，且，方程，当，即时，在上单调递增，故极值点个数为0；当，即时，当时，在，上单调递增，在上单调递减，故极值点个数为2，综上可知，当时，极值点个数为0，当时，极值点个数为2；（2）当，令，则，所以在上单调递增，而（3），（4），所以存在，使得，即，故，且时，即在上单调递减，在，上单调递增，所以的最小值为，所以，因为，即的最大值为3所以，的最大值为3