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1、 数 学 E单元不等式 E1不等式的概念与性质5，2014山东卷 已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A. B. ln(x21)ln(y21) C. sin xsin y D. x3y35D解析 因为axay(0a1)，所以xy，所以sin xsin y，ln(x21)ln(y21)，都不一定正确，故选D.42014四川卷 若ab0，cd B. D.4D解析 因为cd0，所以0，与ab0对应相乘得，0，所以.故选D.E2 绝对值不等式的解法9、2014安徽卷 若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或89D解析
2、当a2时，f(x)由图可知，当x时，fmin(x)f13，可得a8.当a2时，f(x)由图可知，当x时，fmin(x)f13，可得a4.综上可知，a的值为4或8.E3一元二次不等式的解法 2、2014全国卷 设集合Mx|x23x40，Nx|0x5，则MN()A(0，4 B0，4) C1，0) D(1，02B解析 因为Mx|x23x40x|1x4，Nx|0x5，所以MNx|1x40x5x|0x412、2014新课标全国卷 设函数f(x)sin，若存在f(x)的极值点x0满足xf(x0)2m2，则m的取值范围是()A(，6)(6，)B(，4)(4，)C(，2)(2，)D(，1)(1，)12C解析
3、函数f(x)的极值点满足k，即xm，kZ，且极值为，问题等价于存在k0使之满足不等式m23m2.因为的最小值为，所以只要m234，解得m2或mzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2.方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，zyax可变为yaxz，令l0：yax，则由题意知l0AB或l0AC，故a1或a2.62014北京卷 若x，y满足且zyx的最小值为4，则k的值为()A2 B2 C. D6D解析 可行域如图所示，当k0时，知zyx无最小值，当ka0)，利用二次函数求最值，显然函数m(a)5a28a20的最小值是4，即a2b2的最小值为4.故选B.18，2014陕西卷 在直角坐标系x
4、Oy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值18解：(1)方法一：0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，解得即(2，2)，故|2.方法二：0，则()()()0，()(2，2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n，2mn)，两式相减得，mnyx，令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.5，2014四川卷 执行如图11所示的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为()图11
5、A0 B1 C2 D35C解析 题中程序输出的是在的条件下S2xy 的最大值与1中较大的数结合图像可得，当x1，y0时，S2xy取得最大值2，21，故选C.22014天津卷 设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D52B解析 画出可行域，如图所示解方程组得即点A(1，1)当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin11213.132014浙江卷 当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_13.解析 实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C.当a0时，0y，1x2，所以1axy4不可能恒成立；
6、当a0时，借助图像得，当直线zaxy过点A时z取得最小值，当直线zaxy过点B或C时z取得最大值，故解得1a.故a.E6基本不等式16、2014辽宁卷 对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_162解析 由题知2c(2ab)23(4a23b2)(4a23b2)(2ab)24a23b2(2ab)2，即2c(2ab)2，当且仅当，即2a3b6(同号)时，|2ab|取得最大值，此时c402.22，当且仅当a，b，c时，取最小值2.14，2014山东卷 若的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_142解析 Tr1C(ax2)6rCa6rbrx1
7、23r，令123r3，得r3，所以Ca63b320，即a3b31，所以ab1，所以a2b22ab2，当且仅当ab，且ab1时，等号成立故a2b2的最小值是2.10，2014四川卷 已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C. D.10B解析 由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，y1y2yy2，解得y1y21或y1y22.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y20，即y1y22.当yy时，AB所在直线方程为yy1(xy) (xy)，令y0，得xy1y22，即直线AB过定点C(2，0
8、)于是SABOSAFOSACOSBCOSAFO2|y1|2|y2|y1|(9|y1|8|y2|)23，当且仅当9|y1|8|y2|且y1y22时，等号成立当yy时，取y1，y2，则AB所在直线的方程为x2，此时求得SABOSAFO22，而3，故选B.14，2014四川卷 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_145解析 由题意可知，定点A(0，0)，B(1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P(x，y)落在以AB为直径的圆周上，所以|PA|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|5，当且仅当|PA|PB|时等号成立E7
9、不等式的证明方法202014北京卷 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，(an，bn)，记T1(P)a1b1，Tk(P)bkmaxTk1(P)，a1a2ak(2kn)，其中maxTk1(P)，a1a2ak表示Tk1(P)和a1a2ak两个数中最大的数(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P：(c，d)，(a，b)，试分别对ma和md两种情况比较T2(P)和T2(P)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，
10、11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值(只需写出结论)20解：(1)T1(P)257，T2(P)1maxT1(P)，241max7，68.(2)T2(P)maxabd，acd，T2(P)maxcdb，cab当ma时，T2(P)maxcdb，cabcdb.因为abdcbd，且acdcbd，所以T2(P)T2(P)当md时，T2(P)maxcdb，cabcab.因为abdcab，且acdcab，所以T2(P)T2(P)所以无论ma还是md，T2(P)T2(P)都成立(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)
11、，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)10，T2(P)26，T3(P)42，T4(P)50，T5(P)52.19、2014天津卷 已知q和n均为给定的大于1的自然数设集合M0，1，2，q1，集合Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当q2，n3时，用列举法表示集合A.(2)设s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中ai，biM，i1，2，n.证明：若anbn，则st.19解：(1)当q2，n3时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明：由s，tA，sa1a2qanqn1
12、，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1qn110，所以st.E8不等式的综合应用9、2014安徽卷 若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A5或8 B1或5C1或4 D4或89D解析 当a2时，f(x)由图可知，当x时，fmin(x)f13，可得a8.当a1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1)证明如下：方法一：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.下面用数学归
13、纳法证明当n1时，ln 2，结论成立假设当nk时结论成立，即ln(k1)那么，当nk1时，ln(k1)ln(k1)lnln(k2)，即结论成立由可知，结论对nN成立方法二：上述不等式等价于，x0.令x，nN，则ln.故有ln 2ln 1，ln 3ln 2，ln(n1)ln n，上述各式相加可得ln(n1)，结论得证方法三：如图，dx是由曲线y，xn及x轴所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，dxdxnln(n1)，结论得证 E9 单元综合16、2014辽宁卷 对于c0，当非零实数a，b满足4a22ab4b2c0且使|2ab|最大时，的最小值为_162解析 由题知2c(2ab)23
14、(4a23b2)(4a23b2)(2ab)24a23b2(2ab)2，即2c(2ab)2，当且仅当，即2a3b6(同号)时，|2ab|取得最大值，此时c402.22，当且仅当a，b，c时，取最小值2.12、2014辽宁卷 已知定义在0，1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0，1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0，1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A. B. C. D.12B解析 不妨设0yx1.当xy时，|f(x)f(y)|时，|f(x)f(y)|f(x)f(1)(f(y)f(0)|f(x)f(1)|f(y)f(0)|x1|y0|(x
15、y).故kmin.32014天津卷 设变量x，y满足约束条件则目标函数zx2y的最小值为()A2 B3 C4 D53B解析 画出可行域，如图所示解方程组得即点A(1，1)当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin11213.162014广州七校联考 不等式|x2|x1|5的解集为_163，2解析 根据绝对值的几何意义，得不等式的解集为3x2.42014安徽六校联考 若正实数x，y满足xy2，且M恒成立，则M的最大值为()A1 B2 C3 D44A解析 xy2，且xy2，22，当且仅当xy1时，等号成立，xy1，1，1M，Mmax1.72014福建宁德期末 已知关于x的不等式x2
16、4ax3a20)的解集为(x1，x2)，则x1x2的最小值是()A. B. C. D. 7C解析 由题知x1x24a，x1x23a2，x1x24a2 ，当且仅当a时，等号成立62014长沙模拟 若f(x)为奇函数，且在区间(0，)上单调递增，f(2)0，则0的解集是()A(2，0)(0，2) B(，2)(0，2)C(2，0)(2，) D(，2)(2，)6D解析 因为f(x)为奇函数，且在区间(0，)上单调递增，所以f(x)在区间(，0)上单调递增又f(x)f(x)，所以0等价于0.根据题设作出f(x)的大致图像如图所示由图可知，0的解集是(，2)(2，)132014浙江六市六校联考 已知正数x，y满足xy10，则xy的最大值为_138解析 10(xy)，(xy)10(xy)(xy)2.又(xy)1010616，10(xy)(xy)216，即(xy)210(xy)160，2xy8，xy的最大值为8.