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1、2. 7 对数与对数函数课时:2 课时主备课人：马富强导学目标1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数yax 与对数函数 ylogax 互为反函数 (a0，a1)，体会对数函数是一类重要的函数模型1.对数的概念(1)对数的定义如果 axN(a0 且 a1)，那么数x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作_，其中 _叫做对数的底数， _叫做真数 . (2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a(a0 且 a1)常用对数底数为 _自然对数底
2、数为 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)_； logaMN_；logaMn_ (nR)； logamMn_. (2)对数的性质logaNa_； logaaN_(a0 且 a1). (3)对数的重要公式换底公式： _ (a，b 均大于零且不等于1)；logab1logba，推广 logab logbc logcd_. 3.对数函数的图
3、象与性质a10a1 时，_ 当 0 x1 时， _ 当 0 x0 且 a1)，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，即blogaN.它是知道底数和幂求指数的过程.底数 a 从定义中已知其大于0 且不等于 1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0 的. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0 的，所以对数函数ylogax 的定义域应为 x|x0. 对数函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1 进行分类讨论. 3.关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量 (0 或 1)
4、；(4)化同真数后利用图象比较. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 1.写出下列各式的值：(1)log26log23_；(2)lg 5lg 20_；(3)log53log513_；(4)log35log315_. 2.(2011江苏 )函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是_. 3.已知函数 f(x)loga(xb) (a0 且 a1)的图象过两点 (1,0)和(0,1)， 则 a_， b_. 4.函数 yloga(x3)
5、1 (a0 且 a1)的图象恒过定点A， 若点 A在直线 mx ny10上(其中 mn0)，则1m2n的最小值为 _. 5.(2011安徽 )若点 (a，b)在 ylg x 图象上， a1，则下列点也在此图象上的是() A.1a，bB.(10 a,1b) C.10a，b1D.(a2,2b) ?题型一对数式的化简与求值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 例 1计算下列各式 . (1)lg 25 lg 2 lg 50(lg 2)2；(2
6、)lg 32lg 91 lg27lg 8lg1 000lg 0.3lg 1.2；(3)(log32log92) (log43log83). 探究提高(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. (1)化简 lg 37lg 70lg 3lg23lg 91；(2)已知 f(3x)4xlog23233，求 f(2)f(4)f(8) f(28)的值 . ?题型二对数函数的图象与性质精品资料
7、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 例 2作出函数y log2|x1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数ylog2x的图象经过怎样的变换而得到. 探究提高作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象. (2010 课 标全国) 已 知函数f(x)|lg x|，010，若 a， b，c 互不相等，且f(a) f(b) f(c
8、)，则abc 的取值范围是() A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24) ?题型三对数函数的综合应用精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 例 3已知函数 f(x)loga(82x) (a0 且 a1). (1)若 f(2)2，求 a的值；(2)当 a1 时，求函数yf(x)f(x)的最大值 . 探究提高本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其
9、他知识的结合(如不等式、指数函数等). 已知函数f(x)loga(x1) (a1)， 若函数 yg(x)图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f(x)的图象 . (1)写出函数 g(x)的解析式；(2)当 x0,1)时总有 f(x)g(x)m 成立，求 m 的取值范围 . 4.数形结合思想在对数函数中的应用试题： (12 分)已知函数f(x)loga(ax1) (a0 且 a1). 求证： (1)函数 f(x)的图象总在y 轴的一侧；(2)函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0. 审题视角(1)要证明 f(x)的图象总在y 轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0， )
10、或(， 0)内取值 .(2)可以在 f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明 ky2y1x2x10 即可 . 规范解答证明(1)由 ax10，得 ax1，1 分 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 当 a1 时， x0，即函数 f(x)的定义域为 (0，)，此时函数f(x)的图象在y 轴的右侧；3 分 当 0a1 时， x0，即函数 f(x)的定义域为 (， 0)，此时函数f(x)的图象总在y 轴的左侧 . 5 分
11、 函数 f(x)的图象总在y 轴的一侧 . 6 分 (2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数 f(x)图象上的任意两点，且x11 时，由 (1)知 0 x1x2，1ax1ax2，0ax11ax21.01211xxaa1，y1y20. 又 x1x20. 9 分 当 0a1 时，由 (1)知 x1x2ax21，ax11ax210. 10 分 1211xxaa1，y1y20.又 x1x20. 函数 f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0. 12 分 批阅笔记说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题.事实上， 本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想.
12、本题的易错点是：找不到证明问题的切入口 .如第 (1)问，很多考生不知道求其定义域.不能正确进行分类讨论.若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论. 方法与技巧1.指数式 abN 与对数式 logaNb 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积. 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambnnm logab， logab1logba在解题中的灵活应用. 失误与防范精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
13、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 1.在运算性质logaMn nlogaM 时，要特别注意条件，在无M 0 的条件下应为logaMnnloga|M|(n N*，且 n 为偶数 ). 2.指数函数 yax (a0，且 a 1)与对数函数ylogax(a0，且 a1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别. 3. 明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象. 因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.
14、 A 组专项基础训练题组一、选择题1.(2011天津 )已知 alog23.6，b log43.2，clog43.6，则() A.abc B.acb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - C.bac D.cab2.(2010天津 )设函数 f(x)log2x， x0，log x ，xf(a)，则实数a 的取值范围是() A.(1,0)(0,1) B.(， 1)(1， ) C.(1,0)(1， ) D.(， 1)(0,1) 3.设函数 f
15、(x)定义在实数集上，f(2x)f(x)，且当 x1 时， f(x)ln x，则有() A.f(13)f(2)f(12) B.f(12)f(2)f(13) C.f(12)f(13)f(2) D.f(2)f(12)0 且 a1)满足对任意的x1、x2，当 x10，则实数 a 的取值范围为 _. 6.函数 f(x)12log(x22x3)的单调递增区间是_. 三、解答题7.已知函数 f(x)loga(x1)loga(1x)，a0 且 a1. (1)求 f(x)的定义域；(2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明；(3)若 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的解集 . 8.已知函数 f(x)12log
16、(a23a3)x. (1)判断函数的奇偶性；(2)若 yf(x)在(， )上为减函数，求a 的取值范围 . B 组专项能力提升题组一、选择题1.已知函数 f(x)axlogax(a0，a 1)在1,2上的最大值与最小值之和为loga26，则 a 的值为() A.12B.14C.2 D.4 2.已知函数 f(x)|lg x，若 ab，且 f(a)f(b)，则 ab 的取值范围是() 12精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - A.(1 ，
17、 ) B.)1，C.(2， ) D.)2，3.设函数 f(x)log2x 的反函数为yg(x)，若 g1a114，则 a 等于 () A.2 B.12C.12D.2 二、填空题4.设函数的集合Pf(x)log2(x a)b|a12，0，12， 1；b 1,0,1 ，平面上点的集合Q( x，y)|x12，0，12，1；y1,0,1 ，则在同一直角坐标系中，P 中函数 f(x)的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是_. 5.若 log2a1a21a0，且 a1)，若 f(x1x2x2 013)8，则 f(x21)f(x22) f(x22 013)_. 7.(2011山东 )已知函数f(x)log
18、axxb (a0，且 a1).当 2a3b1b0). (1)求 yf(x)的定义域；(2)在函数 yf(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当 a，b 满足什么条件时，f(x)在(1， )上恒取正值 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -