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1、复变函数教 案周 次课题课时课型教具2 4.1 傅里叶变换2 新授教材教学目的1、理解傅里叶变换的概念2、掌握复数的代数运算教学重点复数的代数运算教学方法例证法、启发诱导法、讲授法教学过程一、 引入傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。2二、讲授新课1、
2、傅里叶级数如果我们将基本三角函数中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。例如图1（ a）是两个函数的组合411( )(sinsin 3sin5 )35f xttt；图1（b）是三个函数的组合4111( )(sinsin 3sin5sin7 )357f xtttt。如果我们取更多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。现在我们讨论上述问题的逆问题。即如果给定一个周期为T的任意周期函数(t)Tf我们能否将它表示成简单的三角函数（有限个或无限个）之和呢？即能否将(t)Tf分解成如下形式：0001(t)(cossin)2Tnnnafanw tbnw t其中
3、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 020220222(t)cosd0,1,2,2(t)sind1,2,TnTTTnTTwTafnw t t nTbfnw t t nT如果能实现这种分解，那么对许多复杂的函数就可以通过简单的三角函数来研究其性质了。上述问题的回答是肯定的，由于正弦函数与余弦函数可以统一地由指数函数表示出来，因此我们可以得到另外一种更为简洁的形式0022(t)=(i1(t)d0, 1, 2,)jnw tTnnTjnw t
4、nTTfc ejcfetnT， 其中， 是工程中常用的习惯），（称为傅里叶级数的指数形式。傅里叶级数有着非常明确的物理含义。在傅里叶级数的三角形式中，基频为0w，频率为基频的倍数0nw。n称为相位。在傅里叶级数的指数形式中，nc为周期函数(t)Tf的离散频谱，nc为离散振幅谱，argnc为离散相位谱。为了进一步明确nc与频率0nw的对应关系，常常记0=nF nwc例 1 求以 T 为周期的函数002(t)=2,02TTtfTt，-的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式。0020020220222220002,100(t)d111(t)d(t)d(t)d111(t)d2d21Tj w tTTTT
5、TTTTTTTTTwTnFfetTftftftTTTftttTTT解：令当时， c精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 00000002020202220022010(t)d11(t)d(t)d11(t)d2d2d101cossin12Tjnw tnTTTjnw tjnw tTTTTTjnw tjnw tTTTjnwjnw tjnnF nwfetTfetfetTTfetetTTjeteTnnjjenjnjnnn当时,c，当 为偶数021
6、,(t)2(t)121Tjnw tTnnfjfen当 为奇数的傅里叶级数的复指数形式为，振幅谱为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 00,0, 2, 4,arg,1,3,5,2,1, 3, 5,2nF nwnn相 位 谱为2、博氏积分与博氏变换（1）通过前面的讨论，我们知道了一个周期函数可以展开为傅里叶级数，那么，对非周期函数是否同样适合？令T时，由周期函数的傅里叶级数来推倒非周期函数的傅里叶积分公式。即limTTf tft，在按照积
7、分定义，在一定条件下，可整理成12jwjwtftfededw则式为傅里叶积分公式，简称博氏积分。（2）傅氏变换与傅氏积分从式出发，令jwtF wf t edt则有12jwtftFw edw其 中 式 为 傅 里 叶 变 换 （ 简 称傅 氏 变 换 ） ， 函 数F w称 为f t的 像 函 数 ， 记 为F xfxF；称为傅里叶逆函数（简称傅氏逆变换）即傅氏积分，其中，函数f t称为F w的像原函数，记为1fxFxF。与傅氏级数一样，傅氏变换也有明确的物理含义。F w为频谱密度函数（简称频谱或者连续频谱） ，称Fw为振幅，arg Fw为相位谱。由于傅氏变换这种特殊的物理含义，因而在工程实际中
8、得到广泛的应用。例 2 求矩阵脉冲函数1,00,tftt的傅氏变换以及傅氏积分表达式=d11sinsin22jwtjwtjwtjwjwfxF wf t edteteeejwjwwwww解：F振幅谱为sin2wF ww01,00,2, 4,2,1, 3,nF nwnnn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 相位谱为2120,arg0,1,2,2122,nnwFwnnnw再根据可得到傅氏逆变换，即f t的傅氏积分表达式为121sin=22=
9、cossin1sin=2cossin21sin1sin=2cos+2sin22sin1=2cos2jwtjwtjwtf tF w edwwedwwewtjwtwwtjwt dwwwwwt dwjwt dwwwwwt dww原式例3 已知f t的频谱为0,0 ,1,waFxawa求f t11211212sinsinjwtajwtajwtaaftFxFw edwedwejtataattat解：F例4 求单边指数衰减函数,000 ,0atetf tat的傅氏变换。000022110jwtajw tatjwtatjwtajw tFwfxf t edteedtedtedteajwajwajwajwajw
10、ajwajwaw解：F振幅谱：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 2222221awFwawaw相位谱：argtanwF warca三、小结1、傅里叶变换2、博氏积分2四、作业：1课后反思1、 教学方法：2、 教学效果：3、 问题：4、 解决措施：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -