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1、无穷级数无穷级数第十一章 习题课常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数三角级数三角级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式函函 数数数数任任意意项项级级数数傅氏展开式傅氏展开式傅氏级数傅氏级数泰勒级数泰勒级数0)(xRnnu 为为常常数数( )nnuux为为函函数数满足狄满足狄 氏条件氏条件0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 主要内容主要内容数或函数数或函数一 基本要求1.理解级数收敛理解级数收敛,发散的概念发散的概念.了解级数的基了解级数的基本性质本性质,熟悉级数收敛的必要条件熟悉级数收敛的必要条
2、件.2.掌握正项级数收敛的比较判别法掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌熟练掌握正项级数收敛的比值判别法握正项级数收敛的比值判别法.3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理理解绝对收敛和条件收敛的概念解绝对收敛和条件收敛的概念. 4.掌握幂级数的收敛半径掌握幂级数的收敛半径, 收敛区间和收敛收敛区间和收敛域的求法域的求法.了解幂级数的主要性质了解幂级数的主要性质.5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数会求较简单函数的幂级数展开式及和函数.6.理解傅里叶级数的收敛定理理解傅里叶级数的收敛定理.7.掌握函数展开成傅里叶级数的方法掌握函数展开成傅里叶级数的方法.(一
3、一)常数项级数常数项级数10lim.nnnnuu 10lim,nnnnuu 11nn 二 要点提示常用来判定级数是发散的常用来判定级数是发散的. .切不可用来判定切不可用来判定由此可得由此可得:若若 则级数则级数 必发散必发散.若若 收敛收敛,则则级数是收敛的级数是收敛的, ,例如调和级数例如调和级数 就是发散的就是发散的. .1.级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:2. .正项级数的审敛法正项级数的审敛法11pnn p-级数级数11nn 调和级数调和级数1nnaq 等比级数等比级数使用比较判别法时使用比较判别法时, ,必须熟记一些敛散性必须熟记一些敛散性已知的正项级数作为已知的正项级数作为
4、“参照参照”级数级数, ,如如判定一个正项级数的敛散性判定一个正项级数的敛散性, ,常按下列顺序常按下列顺序: :0lim,nnu (4)级数收敛的定义级数收敛的定义: (3)用比较判别法用比较判别法.(2)用比值或根值判别法用比值或根值判别法,若失效若失效. (1) 则发散则发散.同时考虑到级数的基本性质同时考虑到级数的基本性质. .部分和数列极限是否存在部分和数列极限是否存在.3.任意项级数任意项级数 莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛莱布尼兹判别法的条件是交错级数收敛的充分条件而不是必要条件的充分条件而不是必要条件.当不满足条件时当不满足条件时,不能判定级数必发散不能判定级数必发散.2.
5、若用正项级数的比值判别法判定若用正项级数的比值判别法判定 发散发散,1nnu 绝对收敛的级数必收敛绝对收敛的级数必收敛. .1nnu ，注意注意对于任意项级数对于任意项级数 若若 收敛收敛,则称则称 绝对收敛绝对收敛.1nnu 1nnu 1. 可先考查任意项级数是否绝对收敛；可先考查任意项级数是否绝对收敛；若若 发散而发散而 收敛收敛,则称则称 条件收敛条件收敛.1nnu 1nnu 1nnu 则级数则级数 也发散也发散. . 1nnu 000,(0,0,1,2,)nnnnnnna xaxxan对对于于或或1limnnnala 若若，1,0,00,llRll 1.收敛半径和收敛区间收敛半径和收敛
6、区间( (二二) )幂级数幂级数则则收收敛敛半半径径为为,)R R (,R R .,RR (,)R R 收敛域：收敛域：或或或或或或 ,RR 00,xR xR 或或收敛区间为收敛区间为 对于缺项的幂级数对于缺项的幂级数 可按下式可按下式 0,nnux 11201lim,nnnuxxx xux 12,x x从而得收敛区间为从而得收敛区间为求出求出 的范围的范围2.幂级数的重要性质幂级数的重要性质 (1)在收敛区间在收敛区间 内和函数内和函数 连续连续.(2)可逐项求导可逐项求导.(3)可逐项积分可逐项积分. ,R RS x 逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂逐项求导或逐项积分后的幂级数与原幂级数
7、有相同的收敛半径级数有相同的收敛半径, , 但在收敛域可能但在收敛域可能改变改变. .3.幂级数在其收敛区间内的和函数的求法幂级数在其收敛区间内的和函数的求法 在熟记几个常用的幂级数的和函数的在熟记几个常用的幂级数的和函数的基础上基础上, 对照已知级数的特点对照已知级数的特点,可通过可通过恒等恒等变形变形,变量代换变量代换及及逐项求导或积分逐项求导或积分的方法来的方法来求和函数求和函数.4.函数展开成幂级数函数展开成幂级数 0=!nnfxan lim0nnRx ， 00nnnfxaxx 按按公公式式，这通常是较困难的这通常是较困难的. .(1)(1)直接展开法直接展开法: :展开展开, ,但必
8、须证明余项的极限但必须证明余项的极限(2)间接展开法：间接展开法： 利用已知函数的展开式利用已知函数的展开式, 通过通过恒等变形恒等变形,变量代换变量代换, 级数的级数的代数运算代数运算及逐项求导或积分及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数把函数展开成幂级数. 注意两点注意两点:1.熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式.2.根据已知展开式写出所求展开式相应的根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间收敛区间.逐项求导或积分后逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变原级数的收敛半径不变,但收敛域可能会变但收敛域可能会变. 几个常用初等函数的马克劳林展开几个常用初等
9、函数的马克劳林展开 20202135023111111 ;11;!2!1sin;21 !3!5!ln 1111 .23nnnnnxnnnnnnnxxxxxxxxxexxnnxxxxxxnxxxxxxn 1.试判断下列命题是否正确试判断下列命题是否正确?(1,2,),nnucvn三 思考与分析11,nnnnuv则则 同敛散同敛散.11,nnnnuv(2)设设 是正项级数是正项级数, c为大于零的常数为大于零的常数,1lim0,nnnnuu (1)若若 则则 必定收敛必定收敛.答：均不正确答：均不正确.211,.nnuvnn(2)反例反例,考虑考虑0lim,nnu (1) 则则 发散发散.0nnu
10、 正项级数比较判别法的极限形式正项级数比较判别法的极限形式 11,nnnnuv 0lim,()nnnullv11,nnnnuv则则 同敛散同敛散. .设设 为正项级数为正项级数, , 若若有有 证明证明: 也收敛也收敛.若若 均收敛均收敛,且对一切自然数且对一切自然数 2.下列运算是否正确下列运算是否正确?,nnnacb1nnc 11(1,2,),nnnnnnnacb nab 且且1nnc 11,nnnnabn证明证明: 均收敛均收敛,由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛.答：不正确答：不正确. . 因为证明中使用了比较判别法因为证明中使用了比较判别法, , 而比较而比较判别法只适用于正项级
11、数判别法只适用于正项级数, , 题目中并未指题目中并未指出级数是正项级数出级数是正项级数. .正确方法如下正确方法如下: :(1,2,)nnnacb n证证明明：由由，可可得得 11nnnnnnbaca故故与与均均为为正正项项级级数数，111()nnnnnnnabba 与与收收敛敛，从从而而收收敛敛 1nnnca 也也收收敛敛， ,nnnnccaa而而11().nnnnnnccaa故故收收敛敛由正项级数的比较判别法由正项级数的比较判别法0,nnnnbaca3.若级数若级数 和和 都收敛都收敛, 则则 2211nnnnab 22222220nnnnnnnnnnabaabbaba b证证明明：，1
12、1.nnnnnna ba b收收敛敛，从从而而绝绝对对收收敛敛根据正项级数的比较判别法可知根据正项级数的比较判别法可知2211nnnnab由题意知由题意知, , 和和 收敛收敛, , 2212nnnna bab绝对收敛绝对收敛. .1nnna b 2211()2nnnab 故故 也收敛也收敛, ,4.当下列条件当下列条件( )成立时成立时, 111(0)nnnnu u 1( )(1,2,); ( ) lim0;nnnna uu nbu 111nnnu 当当(c)成立时成立时,由莱布尼兹定理可得由莱布尼兹定理可得.收敛收敛. .当当(d)成立时成立时, 绝对收敛绝对收敛,因此必定收敛因此必定收敛
13、.1( )nndu 1( )(1,2,)lim0;nnnnc uu nu ， 11234222112311341.12.tan;3356sin3.;4.;1234ln10111111ln5.; 6.1.310320330nnnnnnnaaaannn ； 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性, ,若收敛若收敛, ,是绝对是绝对收敛还是条件收敛收敛还是条件收敛?练习题练习题 解解 级数为级数为 1lim102nnnn 1112nnnn 由于一般项由于一般项所以发散所以发散. .1341.1356 ；112.tan;3nnn 21121tan11133limlim133tan33nnnnnnnn
14、unun 所以级数收敛所以级数收敛.由正项级数的比值判别法由正项级数的比值判别法 12121limlimnnnnnnanuaaun 1a 当当时时，发发散散，1a 当当时时，绝绝对对收收敛敛， 12211111,.nnnann 当当时时，级级数数绝绝对对收收敛敛 1211nnnan 2342223.;1234aaaa解解 原级数为原级数为由比值法由比值法 1111ln10ln10nnq 而而所以原级数绝对收敛所以原级数绝对收敛. . sin1,ln10ln10nnn 解解是收敛的等比级数是收敛的等比级数, , 1sin4.;ln10nnn 1111310nnnn与与的的一一般般项项之之和和11
15、3nn 收收敛敛，1110nn 而而发发散散，解解 原级数可看作原级数可看作由级数的基本性质由级数的基本性质, ,原级数发散原级数发散. .为为一一般般项项的的级级数数，231111115.;310320330 1lnln113 ,nnnnnnn 解解 11ln1nnnn 故故发发散散 2ln1lnln(1)03 ,xxnxxxn 又又单单调调减减少少，ln(2)lim0,nnn 由莱布尼兹定理知，由莱布尼兹定理知， 11ln6.1nnnn 11nn 而而发发散散，从而条件收敛从而条件收敛. .交错级数收敛交错级数收敛, ,( (二二) )幂级数幂级数11lim,2nnnaa 2,R 2,2
16、. 解解 由于由于 21112nnnx 求求 的收敛区间的收敛区间.收敛区间为收敛区间为故收敛半径为故收敛半径为1.1.下列运算是否正确下列运算是否正确? ? 上述运算是上述运算是错误错误的的. .原级数是仅含奇次幂原级数是仅含奇次幂的级数的级数, ,即为缺项情形即为缺项情形, ,应该用比值判别法应该用比值判别法来求收敛半径来求收敛半径. . 21211212limlim,22nnnnnnnnxuxxxux 2, 2 . 故原级数的收敛区间为故原级数的收敛区间为当当 即即 时时, ,原级数收敛原级数收敛. .21,22xx正确方法为正确方法为: :解解 2112(1);(2)nnnnxnxn
17、1limlim1,1.1nnnnanRan 1111nnnnttnn 当当时时，收收敛敛, ,1111.nnnttnn当当时时，发发散散1nntn 则原级数变为则原级数变为2,tx(1)令令2. .求求的收敛域的收敛域. .11,t 121,x 21.nnn t 11,t 故原级数的收敛区间为故原级数的收敛区间为 或或 11.xx 111,x 即即原级数化为原级数化为解解 所给级数不是幂级数所给级数不是幂级数, ,原级数的收敛域为原级数的收敛域为因此因此, ,收敛域为收敛域为 1,3 .即即21(2)nnnx 不难知收敛区间为不难知收敛区间为1,tx 引入变换引入变换3.求求 的和函数及的和函
18、数及 的和的和. 2221112121!1 !nnnnnnnS xxxxnnn 22211,xS xxe2121!nnnxn .,0212!nnnn 解解 收敛区间为收敛区间为法法1.拆成两个级数之和拆成两个级数之和,再分别求和再分别求和. 2120121!nnnnxxnn 0,!nxnxen 2220021!nnnnxxxnn ,x 法法2.记记 2121,!nnnS xxn 2211100211!xxnnnnnS x dxx dxxnn .,x则级数在收敛区间内可逐项积分则级数在收敛区间内可逐项积分: 222101111 ,!nnxnnxxxxx exnn 22201211,xxxS xS
19、 x dxx exe 由由 222121211!nxnnS xxxen 211121121!2!22nnnnnnSnn1202111121112!22nnnSen 0212!nnnn 求求令令12x 则则122.e 解解01(2)1nnnxn 0021nnnnxnxn 4.4. 求幂级数求幂级数01(2)1nnnxn 的和函数的和函数. .02nnnx 的收敛域为的收敛域为 1,1 . 01nnxn 的收敛域为的收敛域为 1,1). 的收敛域为的收敛域为 1,1 . 01( )(2)1nnS xnxn 设设(1)(2)10122,nnnnnxxnx 11( ),nnA xnx 设设1001(
20、)xxnnA x dxnxdx 1nnx,1xx 1| x( )1xA xx ,)1(12x 022( )nnnxxA x 22.(1)xx (1)01nnxn 1011nnxxn 001xnnx dxx 001xnnx dxx 0111xdxxx 1ln(1),xx 1| x0021nnnnxnxn 01( )(2)1nnS xnxn 22(1)xx 1ln(1),xx| 1,0 xx故故(2)5.求幂级数展开式求幂级数展开式 (1)将将 展开成展开成x的幂级数的幂级数 2ln43f xxx (2)将将 展开成展开成x-1的幂级数的幂级数. 12fxx (3)将将 展开成展开成x的幂级数的幂
21、级数. arctan2fxx ln 13ln 1ln 3f xxxxx 解解(1)1101ln31.31nnnxn 1111,3xx 其其中中且且故收敛区间为故收敛区间为 1,1). ln 1ln3ln 13xx 11001ln311131nnnnnnxxnn 其中其中 111121231313fxxxx 111,3x .4 , 2故收敛区间为故收敛区间为 10011111.333nnnnnnnxx 223arctan2,14xx 220002arctan221214xxnnnxdxxdxx 由逐项积分的性质可得由逐项积分的性质可得, ,2220111 1( 1) (2 ) ,142 21(2
22、 )nnnxxx 212121002121,2121nnnnnnnxxnn 11.22x011nnxx xyo 6.0,0( ),0 xf xxx 写出函数写出函数的傅里叶级数的和函数的傅里叶级数的和函数. 2 2 3 作周期延拓，作周期延拓， 由狄利克雷充分条件，由狄利克雷充分条件，解解和函数和函数( ),( )0,22f xxS xx 四四.自测题自测题1.选择题选择题 (1)若若 收敛收敛,则则 11lim().nnnnuu 11,lim0,nnnnnnaaaa ，则该级数则该级数( ). (a)条件收敛条件收敛 (b)绝对收敛绝对收敛 (c)发散发散 (d)可能收敛可能发散可能收敛可能
23、发散(a)1；(b)0；(c)不存在；不存在；(d)不能确定不能确定(2)对任意级数对任意级数 若若 且且ad(3)若正项级数若正项级数 及及 都收敛都收敛, ,则则( )( )收敛收敛. . 11nnnnvu 211nnnnnaubu v 11210limlimlimnnnnnnnuabucuduuu 存存在在部分和数列有界部分和数列有界1nnu(4)当下列条件当下列条件( )( )成立时成立时, , 收敛收敛. . 11min(,)max(,)nnnnnncu vdu vcba,da,(5)若若 在在 处收敛处收敛,则在则在 处处( ).13nnna xx 2311113!11.2.13.
24、2 sin,03.132nnnnnnnnnnnnnxnx 二二.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性(a)发散发散 (b)条件收敛条件收敛 (c )绝对收敛绝对收敛 (d)不能确定不能确定2x c三三.判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性,若收敛是绝对若收敛是绝对收敛收敛,还是条件收敛还是条件收敛? 311122111cos1.2.2112!3.,03.!nnnnnnnnxnnannann 21111211.2.22nnnnnnxnxn 四四.求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间七七.证明证明:若若 和和 绝对收敛绝对收敛,则则 五五.求求 的和函数的和函数,并求并求 的和的和
25、. 021nnnx 11nnnnuv112nnn 2132f xxx 2. 展开为展开为 的幂级数的幂级数. 211fxx 1. 展开为展开为x的幂级数的幂级数.六六.将函数展开为幂级数将函数展开为幂级数1nnnu v 也绝对收敛也绝对收敛. 4x 一一. 1.a; 2.d; 3.a,b,c; 4.a,d; 5.c.213.lim0,nnnnnnuuuu 收收敛敛有有（某某一一项项之之后后） 221;min,.2nnnnnnnu vuvu vun自测题参考答案自测题参考答案由正项级数的比较判别法可得由正项级数的比较判别法可得(b),(c).由正项级数的比较判别法可得由正项级数的比较判别法可得(
26、a).提提示示：类似地类似地,就是在就是在 内收敛内收敛, ,故在故在 处收敛处收敛. . 1326nnnaxxx 若若在在处处收收敛敛，则则二二. 1.发散发散,2.发散发散(比较比较),3.收敛收敛, 4.发散发散(必要条件必要条件)处绝对收敛处绝对收敛, ,为什么为什么?考虑考虑:5.由幂级数收敛域的特点由幂级数收敛域的特点,在在 处收敛处收敛,3x 3,3 2x 2(2)lim0,nann 22221111111( )anaaannnnnnn 由莱布尼兹判别法由莱布尼兹判别法, ,交错级数收敛交错级数收敛, ,从而从而原级数条件收敛原级数条件收敛. . 21/13.lim10,1/nn
27、annnn 而而发发散散由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛由比较判别法极限形式知原级数非绝对收敛.三三.1.条件收敛条件收敛,2.绝对收敛绝对收敛,3.条件收敛条件收敛,4.发散发散.提示提示:1lim1nnnuu 4.4.由由 1121111,1nnnnann均收敛均收敛, ,故收敛故收敛, ,因此原级数条件收敛因此原级数条件收敛. .故原级数非绝对收敛故原级数非绝对收敛. .而而11nn 3.也可由性质也可由性质,因因 发散发散, 收敛收敛,21nan 11.3,12.2, 2lim1nnnuxux 由由求求 101012102201102121111111212111114.222n
28、nnnnnnnnnnnnnnnnxxnxxnxxxxxS xnxxxxxnS 1 , 1五五. .收敛区间为收敛区间为四四. . 112011111111.nnnnnnxnxxx 11112123424. fxxxxx 1101146223,().nnnnfxxx ) 17(x六.111144231123xx014624212,(),nxxx 0144313nxx 七七. . 11,lim0,lim0,nnnnnnnnuvuv收收敛敛， 2222111,22nnnnnnnu vuvuv 11nnnnnnu vu v收敛收敛, ,故故 绝对收敛绝对收敛. . 由正项级数的比较判别法由正项级数的比较判别法, ,收敛收敛2211,nnnnuv 由正项级数的比较判别法知由正项级数的比较判别法知 收敛收敛. .2200,(),nnnnnuuvvnn有有使使证证明明作作 业业总习题总习题11自测题十一自测题十一