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1、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、函数的和、差、积、商的求导法则二、反函数的导数 三、基本初等函数的导数 四、复合函数的导数 3.3 导数的基本公式与运算法则五、隐函数的导数 六、对数求导法 八、综合举例 七、由参数方程所确定的函数的导数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 一、函数的和、差、积、商的求导法则 如果u(x)、v(x)都是x的可导函数 则它们的和、差、积、商(分母不为零时)也是x的可导函数 并且 u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) )()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu(v(x)
2、0) 特别地 cu(x)cu(x) 公式的推广 (u1u2 un) u1u2 un (u1u2 un)u1u2 unu1u2 un u1u2 un 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 二、反函数的导数 设函数yf(x)在点x处有不等于0的导数f (x) 并且其反函数xf 1(y)在相应点处连续 则f 1(y)存在 并且)( 1 )(1xfyf 或 简要证明 这是因为 )( 1lim11limlim )(0001xfxyxyyxyfxxy)( 1 )(1xfyf 或 )(1)( 1yfxf )( 1lim11limlim )(0001xfxyxyyxyfxxy)( 1lim11li
3、mlim )(0001xfxyxyyxyfxxy)( 1lim11limlim )(0001xfxyxyyxyfxxy 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 三、基本初等函数的导数 1 常数的导数 (c)0 这是因为 0limlim00 xccxyyxx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 1 (c)0 2 幂函数的导数 这是因为 0(1)1limuuxxxxx 0limuxxuxxx 1uux0()()limuuuxxxxxx 1()()uuxuxu为任意实数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 1 (c)0 3 指数函数的导数 (ax)axln a (
4、ex)ex 这是因为 001()limlimx hxhxxhhaaaaahh001()limlimx hxhxxhhaaaaahh 12.()()uuxuxu为任意实数0lnlimxhhaahlnxaa首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 4 对数函数的导数 axxaln1)(log xx1)(ln logyayxxa对数函数的直接函数为根据反函数的求导公式有1(log)()ayxa 1lnyaa1lnxa 1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex 12.()()uuxuxu为任意实数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 4axxaln1)(log xx1)
5、(ln 5 三角函数的导数 (sin x)cos x hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 2sin)2cos(21lim0hhxhh 这是因为 xhhhxhcos22sin)2cos(lim0 xhhhxhcos22sin)2cos(lim0 (cos )sinxx 1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex 12.()()uuxuxu为任意实数sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 和差化积公式：首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 5 三角函数的导数 这是因为 (sec )s
6、ectanxxx 2(cot )cscxx 2(tan )secxx sin(tan )()cosxxx2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx222sincoscosxxx221seccosxx(csc )csccotxxx 4axxaln1)(log xx1)(ln 1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex 12.()()uuxuxu为任意实数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 4axxaln1)(log xx1)(ln 1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex 6 反三角函数的导数 211)(arcsinxx 这是因为 函数 yar
7、csinx与xsin y互为反函数 所以由反函数的求导公式得 2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx2211sin11cos1)(sin1)(arcsinxyyyx 5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x (sec x)sec xtan x (csc x)csc xcot x 12.()()uuxuxu为任意实数首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 21(arctan )1x
8、x 21(arccot )1xx 6211)(arcsinxx 211)(arccosxx 5 (sinx)cosx (cosx)sinx (tanx)sec2x (cotx)csc2x (secx)secxtanx (cscx)cscxcotx 4axxaln1)(log xx1)(ln 1 (c)0 3 (ax)axln a (ex)ex 12.()()uuxuxu为任意实数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 课前复习1. 导数的几何意义？切线方程？2. 可导与连续的关系？0()kfx 切切000()()yyf xxx 可导可导连续连续反之不成立！反之不成立！首页上一页下一
9、页结束微积分 (第三版) 教学课件 例1.计算下列函数的导数.0 x210 21x 32x 3ln3x1_)( x1）4）_)3(sin 5）_)1( x6）_)1(2 x7）_)3( x8）2）_ x3）_)(2 xx2_)(2 e首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解：解： )(xf)sin(ln xx)(sin)(ln xxxxcos1 解：解： )()(arctan)( xexxxexx 21121)arctan( xexx )(xf( )lnsin( ).f xxxfx已知，求( )arctan( ).xf xxxefx已知，求例3. 例2.首页上一页下一页结束微积分
10、(第三版) 教学课件 解：解： )(lnln)()ln(222 xxxxxxyxxxx1ln22 xxx ln22ln.yxxy例4 已知，求. 解：解： )sin( xxex)(sinsin)(sin)( xxexexxexxxxxxexxexexxxcossinsin y sin.xyxexy例5. 已知，求首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解：解： xxysin1sin12)sin1()cos)(sin1()sin1(cosxxxxx 2)sin1(cos2xx ln.xyyx例6. 已知，求 解：解： 2xxxxxyln)()(ln2211xxxxxxlnln1sin.
11、1sinxyyx已知， 求例7.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解：解： )52(1212 xxx22352 xxx y解：解： )cottan)2( xxex yxxeex22cscsec2ln)2( 325.xxyyx已知，例求8. 22sincos2.sincosxxxxyeyxx已知，例求9. 四则运算的求导法则除了直接应用公式外，有时需要将表达式适当变形后再应用公式.注.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 引例引例1 1sin 2.yxy 已已 知知， 求求y (sin 2)x )sin(cos222xx )scosincosn(si2xxxx x2c
12、os2 y )13(2 x)169(2 xx618 x(2sincos )xx 引例引例2 22(31).yxy 已已 知知， 求求xy10sin 100)13( xy? ?首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 四、复合函数的导数 设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为 简要证明 d ( )( )dyfuxx 或写成d ( )( )dyfuxx 或写成 xuxyyu 0000dlimlimlimlimdxxxxyyyyuuxxuxux 00limlim ( )( )uxyuf uxux 0000dlimlimlimlimd
13、xxxxyyyyuuxxuxux 0000dlimlimlimlimdxxxxyyyyuuxxuxux 00limlim ( )( )uxyuf uxux 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 推广 设yf(u) u(v) v(x) 则复合函数y (x)对x的导数是 d ( )( )( )dyfuv v xx 或 xuvxyyu v 四、复合函数的导数 设u(x)在点x处可导 yf(u)在对应点u处可导 则复合函数yf(x)在点x处也可导，且其导数为 d ( )( )dyfuxx 或写成d ( )( )dyfuxx 或写成 xuxyyu 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学
14、课件 xuxuyy (sin)(10 )ux因此cos1010cos10uxxy10sin sin10.yuux由与复合而成xuxuyy 100() (31)ux99991003300(31)ux100)13( xy10031.yuux由与复合而成因此四、复合函数的导数 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 若yf(x) u(x) 则 或写成 xuxyyu 1cos(ln ) (sin )coscotsinuxxyuxxxux 解 设yln u usin x 则 例11 求函数ylnsin x的导数 1cos(ln ) (sin )costansinuxxyuxxxux1cos(l
15、n ) (sin )costansinuxxyuxxxux 解 例12 求函数yarcsin(3x2)的导数 解 )3 ()3 (11222xxy4916xx)3 ()3 (11222xxy4916xx 解 y(ax) 例10 求函数yax的导数 axln a axln a(x) 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 解 )12()12(1xxxxnyn 21) 12(212)12(xxxxxnn11) 12(nnxnx21) 12(212)12(xxxxxnn11) 12(nnxnx 解 解 )(212222 xaxxaxy )(2121222222xaxaxxa )2(22
16、12222xxaxxa222222xaxa)2(2212222xxaxxa222222xaxa ().3.211nxyx求函数的导数例22.214.xyax求函数的导数例首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 练 习.求下列函数的导数2221(1)arctan(2)(3)ln()axbx cyxyeyxxa211x 2(2)axbx caxb e221xa首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 五、隐函数的导数 2yx ( )yf x 形形如如lnsinyxx2arcsin()yx 显函数显函数0 xyeexy224xy( , )0F x y 形形如如隐函数隐函数( )?y
17、f xy 所所确确定定的的隐隐函函数数的的导导数数22ypx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 例15 求由方程y22px所确定的隐函数yf(x)的导数 将方程两边同时对x求导 得 2yy2p 解出y即得 ypy ( , )0.F x yxyyy在方程的两端对 求导，把其中的 看作中间变量，运用复合函数求导法，得到一个含 的方程，解出即可隐函数的求导法则首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 将方程两边同时对x求导 得 例16 求由方程yxln y所确定的隐函数yf(x)的导数 yyxyy1ln 解出y即得 xyyyyln 解 将方程两边同时对x求导 得解出y
18、 得 例17 求由方程e y xy所确定的隐函数y的导数 xe e yy yxy xexyeyyex 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 例18 由方程x2xyy24确定y是x的函数 求其曲线上点(2, 2)处的切线方程 将方程两边同时对x求导 得2xyxy2yy0 解出y即得 yxyxy22 所求切线的斜率为 ky|x2,y21 于是所求切线为 y(2)1(x2) 即yx4 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 sincos1xyy yexyy 11 yxy求下列隐函数的导数： yxy cossin1 1）0 exyey2 2）)ln(yxy 3 3）练练 习习
19、首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 六、取对数求导法 将函数yf(x)两边取对数 转化为隐函数求导 这种方法称之为 “取对数求导法取对数求导法” 解 例19 求函数yxx的导数 法一. yxxexln x xx(ln x1) exln x(ln x1) ln( ln )xxyexx将yxx两边取对数 ln yxln x 两边对x求导数 得 于是得 yy(ln x1)xx(ln x1) 法二. 1ln1ln1xxxxyy 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 先在两边取对数 得 )4ln() 3ln() 2ln() 1ln(21lnxxxxy 上式两边对x求导 得
20、)41312111(211xxxxyy 于是 )41312111() 4)(3() 2)(1(21xxxxxxxxy (1)(2)(3)(4)xxyxx求函数的导数.例20.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 思考：思考：具有什么特征的显函数用对数求导法较好？1. 幂指函数2. 多个因子相乘除的函数练练 习习求下列函数的导数：23(1)(1)(2)(4)xyx xtan(2)(sin )xyx23(1)213()(2)(4)124xyx xxxxtan2(sin )(seclnsin1)xyxxx首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 2. 对数求导法(1) 适用的函数
21、类型？(2) 方法？课前复习幂指函数，因子很多的函数1. 隐函数求导法 （1）方法？ （2）特别要注意的地方？x方程两边同时对 求导yx是 的函数，用复合函数求导法求导1.函数两边取对数 2转化为隐函数求导练练 习习求下列函数的导数：23(1)(1)(2)(4)xyx xtan(2)(sin )xyx(3) arcsinxyye21(4)1yx首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 七、由参数方程所确定的函数的导数 若参数方程( )( )xtyt确定 y 是 x 的函数 则称此函数关系 为由参数方程所确定的函数 设x(t)有连续反函数t1(x) 又(t)与(t)存在 且(t) 0 则
22、：( )( )dytdxt首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 若参数方程( )( )xtyt确定 y 是 x 的函数 则 ( )( ).dytdxtdd( sin )cosdcotdd( cos )sindyyatatttxxatattdd( sin )cosdcotdd( cos )sindyyatatttxxatattdd( sin )cosdcotdd( cos )sindyyatatttxxatatt dydx解：222d2dln(1)d12dd(arctan )1d1ytyttttxxttt222d2dln(1)d12dd(arctan )1d1ytyttttxxttt
23、222d2dln(1)d12dd(arctan )1d1ytyttttxxttt dydx解：cos.sinxatdyyatdx已知，求例21.2arctan.ln(1)xtdydxyt已知，求练 习首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 八、综合举例 例22 y3xx333xx 求y 解 3xln33x20exln x(xln x)3xln33x2xx(ln x1) y(3x)(x 3)(33)(xx) 证 证 )( )(2 )()()(2)(22xfxfexfexyxfxf)( )(2 )()()(2)(22xfxfexfexyxfxf )( )(2)()(2afafeayaf)
24、()(22)(21)(2afafeafafe)( )(2)()(2afafeayaf)()(22)(21)(2afafeafafe)( )(2)()(2afafeayaf)()(22)(21)(2afafeafafe )(2)(afeay 所以 y(a)y(a) 2( )1( )( )( ).2 ( )fxyefay ay af a已知，若，求证：例23.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 例24 已知f(u)可导 求f (ln x) f (xa)n及f (xa)nf (xa)nf (xa)nn(xa)n1(xa)n(xa)n1f (xa)n f (xa)n(xa)nf (xa)
25、nnf (xa)n1f (xa)nf (xa)n1f (xa)(xa)nf (xa)n1f (xa) 解 1 (ln ) (ln ) (ln ) (ln )fxfxxfxx1 (ln ) (ln ) (ln ) (ln )fxfxxfxx1 (ln ) (ln ) (ln ) (ln )fxfxxfxx 首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 221ln(arctan)2yxyx 222211(22)2()1 ( )yxyxyyyxyxx 2222xyyxyyxyxy 于是得 xyyxy 221ln()arctan2yxyx221ln()(arctan)2yxyx22lnarct
26、an.yxyyxyx确定 是 的函数，求例25.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 解 当x0时 当0 x1时 f (x)1f (x)2 在x0处f(x)不连续 故f (0) 不存在 在x1处 有 故 f (1)2 当x1时 f (x)2x 综上得 10( )20121xf xxxx 11( )(1)22 (1) limlim211xxf xfxfxx 211( )(1)(1) 2 (1) limlim211xxf xfxfxx11( )(1)22 (1) limlim211xxf xfxfxx 211( )(1)(1) 2 (1) limlim211xxf xfxfxx 210
27、( )201( ).11xxf xxxfxxx 已知，求例26.首页上一页下一页结束微积分 (第三版) 教学课件 10d800dRVt 解 已知球的体积 V 是半径 R 的函数 例27 设球半径R以2厘米/秒的速度等速增加 求当球半径R10厘米时 其体积V增加的速度 答 当R10厘米时 体积V的增加速度为800(厘米)3/秒 解 已知球的体积 V 是半径 R 的函数343VR R 是时间 t 的函数 其导数d2dRt 而 V 是时间 t 的复合函数 根据复合函数求导公式可得 22dddd48ddddVVRRRRtRtt 22dddd48ddddVVRRRRtRtt 22dddd48ddddVVRRRRtRtt