2022年完美版圆锥曲线知识点总结 .pdf-淘文阁

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1、名师总结优秀知识点圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F、2F的距离的和等于常数2a（大于21|F F）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有21| 2MFMFa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab）（焦点在x 轴上）或12222bxay（0ab）（焦点在 y 轴上）。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222bac；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦

2、点在x轴上的椭圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程22221xyab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点( ,)x y在曲线上时，点( ,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0 x，得

3、yb，则1(0,)Bb，2(0, )Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)Aa，2( ,0)A a是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21A A、21B B分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在2

5、线的一支；21|2PFPFa时为双曲线的另一支（含1F的一支）；当122|aF F时，12|2PFPFa表示两条射线；当122|aF F时，12|2PFPFa不表示任何图形；两定点12,FF叫做双曲线的焦点，12|F F叫做焦距。（2）双曲线的性质范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222byax的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的

6、顶点。在双曲线12222byax的方程里，对称轴是, x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0 x，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2 ,a

7、a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 ,b b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时

8、交点在x轴，当0时焦点在y轴上。注意191622yx与221916yx的区别：三个量, ,a b c中,a b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线l 上)。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F（2p,0 ），它的准线方程是2px；（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：p

9、xy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形焦点坐标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准线方程2px2px2py2py范围0 x0 x0y0y对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率1e1e1e1e说明：

10、（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是 f(x,y)=0，则点 P0(x

11、0,y0) 在曲线 C上f(x0,y 0)=0 ；点 P0(x0,y0) 不在曲线C上f(x0,y0) 0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y0) 是 C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义：点集 M OM =r ，其中定点O为圆心，定长r 为半径 . 2、方程： (1) 标准方程：圆心在c(a,b) ，半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2oFxyloxyFlxyoFl精品资料

12、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程：当D2+E2-4F 0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F0 时，方

13、程不表示任何图形. （ 3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0) ，则 MC r点 M在圆 C内，MC =r点 M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =2020b)-(ya)-(x。（ 4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法； (ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y) 到

14、一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0 e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .（0e1）1 到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2

15、a, F 1F2 2a. 点集： M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. 点集 M MF =点 M到直线 l 的距离 . 图形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围a x a， b y b |x| a

16、，yR x 0 中心原点 O （0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b) (a,0), (a,0) (0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a, 短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0) F1(c,0), F2( c,0) )0,2(pF准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外. x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 . x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 【

17、备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结

18、优秀知识点它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（ 1）抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是 (2p,0) ，准线方程x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是 (-2p,0) ，准线方程x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是 (0,2p) ，准线方程y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py （p0）的焦点坐标是（0,-2p），准线方程y=2p，开口向下 . （ 2）抛物线2y=2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0) 上的点 M(x0,y0)与焦点

19、F 的距离02xpMF（ 3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为p. （ 4）已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、 B两点，则线段 AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p 或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 ) ，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 五、坐标的变换：（ 1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状

20、、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（ 3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是（x,y) ，在新坐标系x O y中的坐标是),(yx. 设新坐标系的原点O在原坐标系xOy 中的坐标是 (h,k)，则kyyhxx或kyyhxx叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 . （ 4）中心或顶点在(h,k) 的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2+h x=h y=k 22

21、h)-(xb+22k)-(ya =1 (h, c+k) y=ca2+k x=h y=k 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ( c+h,k) x=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h, c+h) y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h)

22、 (-2p+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 六、椭圆的常用结论：1.点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 . 2.PT平分 PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3.以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy

23、 yab. 6.若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab (a b0)的左右焦点分别为F1，F2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc ,2( ,0)Fc00(,)Mxy). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 8

24、页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P、Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N两点，则 MF NF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po

25、所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab；【推论】：1、若000(,)P x y在椭圆22221xyab内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭圆22221xyab（ abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过椭圆22221xyab (a 0, b 0) 上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若 P为椭圆22221x

26、yab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4、设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5、若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6、P为椭圆22221xyab（ab0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为椭圆内一定点，则精品

27、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点2112| | 2|aAFPAPFaAF, 当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7、椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8、已知椭圆22221xyab（ab0），O为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ. （ 1）22221111|OPOQab; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值

28、为22224a bab; （3）OPQS的最小值是2222a bab. 9、过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、已知椭圆22221xyab（ a b0） ,A 、 B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11、设 P点是椭圆22221xyab（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12、设 A、B是椭圆22221

29、xyab（ a b0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知椭圆22221xyab（ a b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 , 点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点 . 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与

30、焦点的连线必与焦半径互相垂直. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点16、椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). （注 :在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17、椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切

31、线 PT平分 PF1F2在点 P处的内角 . 2、PT平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 . （内切： P在右支；外切：P在左支）5、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外，则过 Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x

32、 xy yab. 7、双曲线22221xyab（a0,b o）的左右焦点分别为F1， F2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 8、双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式：(1(,0)Fc , 2( ,0)F c）当00(,)Mxy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa；当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa。9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于M 、N两点，则 MF NF. 10、过双

33、曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11、 AB是双曲线22221xyab（a0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12、若000( , )P x y在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a 0,b 0）内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是

34、22002222x xy yxyabab. 【推论】：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点1、双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过双曲线22221xyab（a0,b o）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC有

35、定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若 P为双曲线22221xyab（a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 4、设双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5、若双曲线22221xyab（a0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P ，使得 PF1是

36、P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6、P为双曲线22221xyab（a0,b 0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7、双曲线22221xyab（a0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8、已知双曲线22221xyab（ba 0），O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （ 1）22221111|OPOQab; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba; （3）OPQS的最小值是2222a

37、 bba. 9、过双曲线22221xyab（a0,b 0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN 的垂直平分线交精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、已知双曲线22221xyab（a0,b 0） ,A、 B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11、设 P点是双曲线22221xyab

38、（a0,b 0）上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12、设 A、B是双曲线22221xyab（a0,b 0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知双曲线22221xyab（a0,b 0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，

39、则直线AC经过线段EF 的中点 . 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). ( 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18 双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：xc

40、byay2顶点)244(2ababac. )0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx）（t为参数） . pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF) 0,2(pF)2,0

41、(pF)2, 0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0, yRx对称轴x轴y 轴顶点（0,0 ）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF圆锥曲线的性质对比圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程(x2/a2)+(y2/b2)=1 ab0 (x2/a2)-(y2/b2)=1 a0,b0 y2=2px p0 范围x -a,a y -b,b x(- ,-a a,+ ) yRx0,+ ) y R对称性关于 x 轴,y 轴, 原点对称关于 x 轴 ,y 轴, 原点对称关于 x 轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,

42、0) (0,0) 焦点(c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2-b2 】(c,0),(-c,0) 【其中 c2=a2+b2 】(p/2,0) 准线x=(a2)/cx=(a2)/cx=-p/2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e (0,1)e=c/a,e (1,+ )e=1 焦半径PF1 =a+ex PF2 =a -ex PF1 =ex+aPF2 =ex-aPF =x

43、+p/2焦准距p=(b2)/c p=(b2)/c p 通径(2b2)/a (2b2)/a 2p 参数方程x=acosy=bsin ，为参数x=asec y=btan , 为参数x=2pt2 y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点(x0 x/a2)+(y0 y/b2)=1(x0,y0)的切线方程(x0 x/a2)-(y0 y/b 2)=1 y0y=p(x+x0)斜率为 k的切线方程y=kx(a2) (k2)+b2y=kx(a2) (k2)-b2 y=kx+p/2k 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载精美文档欢迎下载精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -

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