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1、华中科技大学2011 级微积分学第一学期期中考试试卷班级姓名学号分数一、 （每小题5 分，共 60 分）1. 计算极限?nlnn!2011lim. 2.设0 x时，无穷小量1arctan142xau与xvcosln等价，求常数a的值 . 3. 计算极限3sin0limxeelxxx. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 4. 计算极限xxxexl110)1(lim5. 设曲线)(xfy与xy2arctan在原点相切，求)1(limnn
2、fn. 6.设函数)(x在1x连续，且任给自然数n，有nnnn)1(。（1）求)1 (； （2）设)()1()(xxxf，求) 1(f。7. 设xxy，求)1(dy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 8. 设函数)(xyy由方程122yxyx确定，求y，y. 9. 设ttty? ? ? ?txcossin,cosln，求dxdy和422tdxyd. 10. 设2521)(2xxxxf，求)1()()(n? ? ?xfn. 精品资料
3、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 11. 确定自然数n的范围，使? ? ? ? ? x? ?x?xxxfn0,00,1sin)(的导函数)(xf在0 x处连续。12. 设函数11arctan)(21xxexfx，指出其间断点，并说明间断点类型. 二、 （每小题6 分，共 24 分）13. 设)(xf在2,0上连续，在)2,0(上可微，且0)1 ()0(,0)2()0(ffff，证明：存在)2,0(，使)()(ff。精品资料 - - - 欢迎
4、下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 14. 设函数)(xfy和它的反函数)(yx均存在三阶导数，且0y，请推导出反函数的求导公式22,dyxddydx和33dyxd用yyy,表示。15. 证明：当1x时，有212arccos214arctanxxx。16. 设函数)(xf在,a上连续，在),(a内可导，且1)(xf。若0)(af，证明：方程0)(xf在区间)(,(afaa内有唯一根。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
5、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 三、 （每小题8 分，共 16 分）17. 分别叙述数列nx有界和收敛（以axnnlim为例）的定义。并证明：收敛数列是有界数列。18. 如果记x，10， 则拉格朗日中值公式)()0()(fxfxf可以写作：10),()0()(? ?xf xfxf，的大小通常与x相关。 （ 1）若0)0(f，试证：21lim0 x；5 分（2）设)(xfxarctan，求0limx。3 分 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
6、 - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -