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1、北京市丰台区 2012 年高三二模2012.5数学（理科）第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共8 小题，每小题5分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1复数1 i2i的虚部是(A)i(B) 3i5(C) 1 (D)352一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为(A) 2(B)3(C) 2 (D) 4 3由曲线1yx与 y=x，x=4 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积是(A) 3132(B) 2316(C)1ln 42(D) ln414执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填(A) 7n(B) 7n(C)6
2、n(D) 6n5盒子中装有形状、大小完全相同的3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2 次时停止取球那么取球次数恰为 3 次的概率是(A) 18125(B ) 36125(C) 44125(D) 811256在 ABC 中， BAC=90o ，D 是 BC 中点， AB=4，AC=3，则AD BCuu u r uuu r= (A) 7(B) 72(C)72(D) 7 7已知函数sin(0)yaxb a的图象如图所示，则函数log ()ayxb的图象可能是开始结束0S，1n，3aSSa2aa1nn输出 S是否俯视图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -
3、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - (A) (B) (C) (D) 8已知平面上四个点1(0,0)A，2(2 3,2)A，3(2 34,2)A，4(4,0)A设D是四边形1234A A A A及其内部的点构成的点的集合，点0P是四边形对角线的交点，若集合0| |,1,2,3, 4iSPDPPPAi，则集合 S所表示的平面区域的面积为( A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9在极坐标系中，圆2
4、sin的圆心的极坐标是_10已知椭圆22221(7)7xymmm上一点 M 到两个焦点的距离分别是5和 3，则该椭圆的离心率为_ 11如图所示， AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B，C 的切线交于点P，AP 交圆于 D，若 AB=2，AC=1，则 PC=_，PD=_ 12 某 地区恩格尔系数(%)y与年份x的统计数据如下表：年份 x2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y(%) 47 45.5 43.5 41 PDCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页
5、- - - - - - - - - - 从散点图可以看出y 与 x 线性相关，且可得回归方程为?4055.25ybx，据此模型可预测 2012 年该地区的恩格尔系数(%)为_13从 5 名学生中任选4 名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有种14. 在平面直角坐标系中，若点A，B同时满足：点A，B都在函数( )yf x图象上；点A，B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数( )yf x的一个“姐妹点对” （规定 点 对 (A,B) 与 点 对 (B,A) 是 同 一 个 “ 姐 妹 点 对 ”） 那 么 函 数24,0,( )
6、2 ,0,xxf xxxx的“姐妹点对” 的个数为 _；当函数( )xg xaxa有“姐妹点对”时，a的取值范围是 _三、解答题共6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共13 分）已知函数( )cos ( 3 cossin )3f xxxx（）求()3f的值；（）求函数( )yf x在区间0,2上的最小值，并求使( )yf x取得最小值时的x的值16.（本小题共13 分）某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60， 0凡顾客当天在该商场消费每超过 1000 元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金 （单位：元）设
7、奖券上的数字为 ， 的分布列如下表所示，且 的数学期望E =22100 80 60 0 P 0.05 a b 0.7 （）求 a，b 的值；（）若某顾客当天在商场消费2500 元，求该顾客获得奖金数不少于160 元的概率精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 17.（本小题共14 分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF平面 ABCD， EF / AB，BAF=90o，AD= 2，AB=AF=2EF =1，点 P
8、在棱 DF 上（）若 P 是 DF 的中点，() 求证： BF / 平面 ACP；() 求异面直线BE 与 CP 所成角的余弦值；（）若二面角D-AP-C 的余弦值为63，求 PF 的长度PFEDCAB18.（本小题共13 分）已知数列 an满足14a，131nnnaap(nN，p 为常数 ) ，1a，26a，3a成等差数列（）求 p 的值及数列 an的通项公式；（）设数列 bn 满足2nnnban，证明：49nb19.（本小题共14 分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 C 的焦点在 y 轴上， 且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F 的距离为 5斜率为 2 的直线 l 与抛物线 C 交于
9、A，B 两点（）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；（） 若 AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M，N 两点（M，N 位于直线l 两侧） ，当四边形 AMBN 为菱形时，求直线l 的方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 20.（本小题共13 分）设函数( )ln()ln()fxxxaxax (0)a（）当1a时，求函数( )f x的最小值；（）证明：对x1，x2R+，都有11221212lnln() ln(
10、)ln 2xxxxxxxx；（）若211niix，证明：21lnln 2nniiixx*( ,)i nN（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 北京市丰台区 2012 年高三二模数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案D A C D B B C B 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9(1,)
11、21074113，3 771231.25 13 96 141，1a注：第 11 题第一个空答对得2 分，第二个空答对得3 分；第 14 题第一个空答对得3分，第二个空答对得2 分三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.解：因为( )cos ( 3 cossin )3f xxxx23 cossincos3xxx=1cos213()sin 2322xx313cos2sin 2222xx3cos(2)62x（）3()cos(2)3362f=33322 7 分（）因为0,2x，所以2666x当26x，即512x时，函数( )yf x有最小值是312当512x
12、时，函数( )yf x有最小值是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - OBACDEFPzyxPFEDCAB31213 分16 解：（）依题意，1000.05806000.722Eab，所以806017ab因为0.050.71ab，所以0.25ab由806017,0.25,abab可得0.1,0.15.ab7 分（）依题意，该顾客在商场消费2500 元，可以可以抽奖2 次奖金数不少于160 元的抽法只能是100 元和 100 元； 10
13、0 元和 80 元； 100 元和60 元； 80 元和 80 元四种情况设“该顾客获得奖金数不少于160 元”为事件A，则()0.050.0520.050.120.050.150.10.10.0375P A答：该顾客获得奖金数不少于160元的概率为0.037513 分17 （） ( ) 证明：连接BD，交 AC 于点 O，连接 OP因为 P 是 DF 中点， O 为矩形 ABCD 对角线的交点，所以 OP 为三角形 BDF 中位线，所以 BF / OP ，因为 BF平面 ACP，OP平面 ACP，所以 BF / 平面 ACP4 分( )因为 BAF=90o，所以 AFAB，因为平面 ABEF
14、平面 ABCD，且平面 ABEF 平面 ABCD= AB，所以 AF平面 ABCD，因为四边形ABCD 为矩形，所以以 A 为坐标原点， AB，AD，AF 分别为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz所以(1,0,0)B，1(,0,1)2E，1(0,1, )2P，(1,2,0)C所以1(,0,1)2BEu uu r，1( 1, 1, )2CPuu u r，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 所以4 5cos,15| |
15、BE CPBE CPBECPuu u r uuu ruuu r u uu ruu uu ruu u r，即异面直线BE 与 CP 所成角的余弦值为4 515 9 分（）解：因为AB平面 ADF，所以平面 APF 的法向量为1(1,0,0)nu r设 P 点坐标为(0,22 , )t t，在平面 APC 中，(0,22 , )APt tu uu r，(1,2,0)ACu uu r，所以平面 APC 的法向量为222( 2,1,)tntu u r，所以12122212|26cos,3| |22( 2)1()n nn nnnttu r u u ru r uu ruru u r，解得23t，或2t（舍
16、）此时5|3PF14 分18 解： （）因为14a，131nnnaap，所以1213135aapp；23231126aapp因为1a，26a，3a成等差数列，所 以 2(26a)=1a+3a，即610124126pp，所以2p依题意，12 31nnnaa，所以当 n2 时，1212 31aa，2322 31aa，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2122 31nnnaa，112 31nnnaa相加得12212(3333)1nnna
17、anL，所以113(13)2(1)13nnaan，所以3nnan当 n=1 时，11314a成立，所以3nnan8 分（）证明：因为3nnan，所以22(3)3nnnnnbnn因为2221+11(1)22 +1=333nnnnnnnnnbb，*()nN若22+210nn，则132n，即2n时1nnbb又因为113b，249b，所以49nb13 分19 解： （）依题意设抛物线C：22(0)xpy p，因为点 P 到焦点 F 的距离为 5，所以点 P 到准线2py的距离为 5因为 P(x0，4)，所以由抛物线准线方程可得12p，2p所以抛物线的标准方程为24xy4 分精品资料 - - - 欢迎下
18、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 即214yx，所以12yx，点 P( 4，4)，所以41|( 4)22xy，41|422xy所以点P(-4，4)处抛物线切线方程为42(4)yx，即240 xy；点P(4，4)处抛物线切线方程为42(4)yx，即240 xyP点处抛物线切线方程为240 xy，或240 xy7 分（）设直线l的方程为2yxm，11(,)A xy，22(,)B xy，联立242xyyxm，消 y 得2840 xxm，64 160m所以128xx
19、，124x xm，所以1242xx，1282yym，即AB的中点为(4,8)Qm所以AB的垂直平分线方程为1(8)(4)2ymx因为 四边形 AMBN 为菱形，所以(0,10)Mm，M，N关于(4,8)Qm对称，所以N点坐标为(8,6)Nm，且N在抛物线上，所以644(6)m，即10m，所以直线l的方程为210yx14 分20 解： （）1a时，( )ln(1)ln(1)fxxxxx， (01x)，则( )lnln(1)ln1xfxxxx令( )0fx，得12x当102x时，( )0fx，( )f x在1(0,)2是减函数，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
20、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 当112x时，( )0fx，( )f x在1(,1)2是增函数，所以( )f x在12x时取得最小值，即11( )ln22f4 分（）因为( )ln()ln()f xxxaxax，所以( )lnln()lnxfxxaxax所以当2ax时，函数( )f x有最小值x1，x2R+，不妨设12xxa，则121211221111lnlnln()ln()2ln()22xxxxxxxxxxaxax1212() ln()ln 2xxxx 8 分（） （证法一）数学归纳法) 当1
21、n时，由（）知命题成立）假设当nk( kN*)时命题成立，即若1221kxxxL，则112222lnlnlnln 2kkkxxxxxxL当1nk时，1x，2x，121kx，12kx满足11122121kkxxxxL设11111122212122( )lnlnlnlnkkkkF xxxxxxxxxL，由（）得11111212212212( )()ln()ln 2()ln()ln 2kkkkF xxxxxxxxxL=111111212122122122()ln()()ln()(.)ln 2kkkkkxxxxxxxxxxxL=11111212212212()ln()()ln()ln 2kkkkxxx
22、xxxxxL由假设可得1( )ln 2ln 2ln 2kkF x，命题成立所以当1nk时命题成立由 ) ，）可知，对一切正整数nN*，命题都成立，所以若211niix，则21lnln 2nniiixx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - *( ,)i nN13 分（证法二）若1221nxxxL，那么由（）可得112222lnlnlnnnxxxxxxL1212212212()ln()ln 2()ln()ln 2nnnnxxxxxxxx
23、L1212122122122()ln()()ln()(.)ln 2nnnnnxxxxxxxxxxxL1212212212()ln()()ln()ln 2nnnnxxxxxxxxL12341234212212()ln()()ln()2ln 2nnnnxxxxxxxxxxxxL121222(.)ln()ln 2(1)ln 2nnxxxxxxnLLln 2n 13 分（若用其他方法解题，请酌情给分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -