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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料华南理工大学网络教育学院高等数学（上）辅导一、 判断两个函数的定义域是否相同1、2( )lnf xx与( )2lnf xx是否表示同一个函数？2、( )|f xx与2( )f xx 表示同一个函数二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：0 sin tan arcsin arctanxxxxxx时, ln(1) xxxe -1211cos,2xx1112xx无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷小替换例题：1、320sin 3limxxx？解：当0 sin3 3xxx，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
2、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料原式=3200(3 )limlim270 xxxxx2、0sin3limxxx？解：原式 =03lim3xxx3、201-coslimxxx？解：当210cos2xxx，1-原式=220112lim2xxx4、0ln(13 )limxxx？解：当03 ) 3xxx，ln(1+原式=.03lim3xxx. 5、201limxxex？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢
3、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解：当201 2xxex，原式=.02lim2xxx. 三、 多项式之比的极限2lim03xxxx，2211lim33xxxx，23limxxxx四、 可导与连续等的关系1、 若( )f x在0 x点导数存在 , 则( )f x在0 x点连续 . 、2. 若0 x是( )f x的驻点，则它不一定是( )f x的极小值点 . 五、 导数的几何意义（填空题）0()fx：表示曲线( )yf x 在点00(,()M xf x处的 切线斜率曲线 .
4、( )yf x . 在点00(,()M xf x处的切线方程 为：000()()()yf xfxxx曲线( )yf x 在点00(,()M xf x处的法线方程 为：0001()()()yf xxxfx例题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1、曲线44xyx在点(2,3)M的切线的斜率解：222(4)(4)(4)(4)(4)xxxxxxyx2282(4)xx2、曲线cosxxye在点(0,1)
5、M处的切线方程解：200(cos )cos ()()xxxxxx ex eye20sincos1()xxxxxexee所以曲线cosxxye在点(0,1)M处的切线方程为：1(0)yx，即10 xy3、曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程解：53112233xxyx所以曲线231yx在点(1,1)M处的切线方程为：21(1)3yx，即 2350 xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料六、
6、导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：ddd( ),( )( ):dddyyuyf u ug xyf g xxux( )( )( ).y xfug x或微分：( )dyfx dx例题：1、设21yx，则y？解：1222211121xyxxx2、设2sinyx ，则y？解：222cos2 cosyxxxx3、设sin2xy，则dy？解：sinsin2ln 2sin2cos ln 2xxyxx则dysin2cos ln 2xxdx4、设sinxye ，则dy？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -
7、 - - - -第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解：coscosxxxxyeeee所以cosxxdyee dx5、设2xye，则dy？（答案：22xxedx）七、 运用导数判定单调性、求极值例题：1、求lnyxx的单调区间和极值解：定义域(0,)x令ln10yx，求出驻点1xex1(0,)e1e1(,)ey- 0 + y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为1(0,e，单调递增区间为1(,)e极小值为11( )yee2、求xyxe的单调区间和极值解：定义域(,)x令(1)0 xxxyexex e，求出驻点1x精品资料 -
8、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料x(,1)1 (1,)y+ 0 - y单调增极大值点单调减函数的单调递减区间为1,)，单调递增区间为 (,1)，极大值为1(1)ye 3、求函数 .2( )xf xe. 的单调区间和极值解： 定义域(,)x令2( )2xfxxe，得0 xx(,0)0 (0,)y+ 0 - y单调增极大值点单调减单调递增区间： (,0) ，单调递减区间：(0,) ，极大值为(0)1f4、求函数
9、31( )3f xxx的极值 答案：极小值为2(1)3y，极大值为2( 1)3y八、 隐函数求导精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料例题：1、 求由方程2sin0 xeyxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx解：方程两边关于x求导，得：2cos(2)0 xey yyxy y即2cos2xyeyyxy2、求由方程cos()yxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx解：方程两边同时关
10、于x 求导，得：sin()(1)yxyy即sin()1sin()xyyxy3、求由方程sin()yxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx 答案：cos()1cos()dyxydxxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料4、求由方程lnln0 xyxy所确定的隐函数( )yy x 的导数dydx 答案：dyydxx九、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限011li
11、m1sinxxex解：原式0sin(1)lim(1)sinxxxxeex20sin(1)limxxxex.0sin,1xxxx ex 当时，. 0coslim2xxxex0sinlim2xxxe122、求极限30sinlimtanxxxx00精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料解：原式 =30sinlimxxxx0tanxxx 当时，201coslim3xxx=22012lim3xxx2101co
12、s2xxx 当时，163、求201limxxexx00（答案：12）十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：2xe dx， sin4xdx， cos5xdx,lnlnxdx一 般 的 凑 微 分 问 题 ：21xdxx，223xx dx ，sin1cosxdxx，ln xdxx例题：1、21xdxx解：注意到2(1)2xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料原式 =2211121dx
13、x12dxxCx参考公式1221xC2、223xx dx解：注意到2(23)6xx原式221=23(23)6x dx3223xdxxC参考公式=231(2-3)9xC3、sin1cosxdxx解：注意到 (1 cos )sinxx原式1=(1 cos )1cosdxx1ln |dxxCx参考公式=ln |1cosx | C4、5 xedx解：原式 =5(5)xedxxxe dxeC参考公式=5 xeC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - -
14、 - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料5、cos5xdx解：原式1cos5(5 )5xdxcossinxdxxC参考公式1sin55xC6、sin3xdx解：原式1sin3(3 )3xdxsincosxdxxC参考公式1cos33xC十一、不定积分的分部积分法（或定积分）诸 如sinxxdx ，cosxxdx ，xxe dx ，xxe dx ，lnxxdx，可采用分部积分法分部积分公式：( )( )( ) ( )( )( )u x dv xu x v xv x du x例题：1、求不定积分sinxxdx解s i n(c o sxx d xx dxcos( cos )xxx dx精品资料 -
15、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料coscosxxxdxcossinxxxC2、求不定积分xxe dx解xxxe dxxdexxxee dxxxxeeC3、求不定积分lnxxdx解21lnln()2xxdxxdx2211lnln22xxx dx211ln22xxxdx2211ln24xxxC十二、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
16、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1、定积分23axax e dx等于解： 因为23xx e 是x的奇函数，所以原式=0 2、定积分23sinaaxxdx等于解： 因为23sinxx是x的奇函数，所以原式=0 3、定积分22sin1xxdxx等于解： 因为22sin1xxx是x的奇函数，所以原式=0 十三、十四、变上限积分函数求导43()( ),()xaF xf t dtFx则_解33()() ()Fxf xx233()x f x()C变
17、上限积分函数的导数公式()( )()()xaf t dtfxx例题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1、 设函数( )f x在 , a b上连续，3( )( )xaF xf t dt，则( )Fx（C ） A( )f xB3()f xC233()x f xD23( )x f x2、设21( )arctanxf xtdt ，则( )fx22 arctanxx 3、设30( )sinxf xt
18、dt ，则( )fx3sin x 十五、凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、12301xxdx解：注意到32(1)3xx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料原式133011 (1)3xd x3223xdxxC参考公式=13302(1)9x2(2 21)9十六、定积分的分部积分法（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、求定积分20sinxxdx解2200sin(cos )x
19、xdxxdx2200cos( cos )xxx dx20cosxdx20sin1x2、求定积分10 xxe dx解1100 xxxe dxxde精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料1100 xxxee dx110(0)xee121e十七、求平面图形面积知识点： X 型积分区域的面积求法Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X 型或 Y 型积分区域的面积求法例题：1、求由lnyx
20、、0 x，ln 2y及ln 7y所围成的封闭图形的面积解：由lnyx得yxe面积为ln 7ln 2(0)ySedy7ln2lmye5精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料2、计算由曲线yx 与直线1y及0 x所围成的图形的面积解：由1yxy得交点 A为 (1,1)面积为10(1)Sx dx132023xx133、求由曲线1yx与直线 yx及2x所围成的平面图形的面积解：由2yxx得交点 A为 (2,2)由1yxyx得交点 B为 (1,1)面积为211()Sxdxx2211ln |2xx3ln 22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - - -