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1、精选优质文档-倾情为你奉上专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、 求一次函数与反比例函数的解析式1、 待定系数法.2、 一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点.二、 图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题1、 反比例函数.2、 将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、 图形面积与坐标点之间的关系三、 交点问题根据已知量求未知量四、 根据图象直接写出自变量的取值范围数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015资阳）如图10，直线yax1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y（x0）相交于点P，PCx轴于点C，且PC=2，
2、点A的坐标为（1） 求双曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QHx轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与AOB相似时，求点Q的坐标.解：（1）把A（2，0）代入y=ax+1中，求得a=，y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），Q（a，b）在y=上，b=，当QCHBAO时，可得=，即=，a2=2b，即a2=，解得：a=4或a=2（舍去），Q（4，1）；当QCHABO时，可得=，即=，整理得：2a4=，解得：a=1+或a=1（舍），Q（1+，22）综上，Q（4，1）或Q（1+
3、，22）【例2】（2016资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k0，x0）过点D（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求CDE的面积【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），点D的坐标是（1，2），双曲线y=（k0，x0）过点D，2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）直线AC交y轴于点E，SCDE=SEDA+SADC=，即CDE的面积是3【课后练习】1、 （2014资阳）如图，一次函数y=kx+b（k0）的图象过点P（，0），且
4、与反比例函数y=（m0）的图象相交于点A（2，1）和点B（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？解：（1）一次函数y=kx+b（k0）的图象过点P（，0）和A（2，1），解得，一次函数的解析式为y=2x3，反比例函数y=（m0）的图象过点A（2，1），解得m=2，反比例函数的解析式为y=；（2），解得，或，B（，4）由图象可知，当2x0或x时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值2、 如图，一次函数ykxb(k0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，1)两点，且与反比例函数y(m0)
5、的图象在第一象限交于C点，C点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C点坐标及反比例函数的解析式解：(1)由题意得解得一次函数的解析式为yx1；(2)当x2时，y211，所以C点坐标为(2，1)；又C点在反比例函数y(m0)的图象上，1，解得m2.所以反比例函数的解析式为y.3、 (2016乐山中考)如图，反比例函数y与一次函数yaxb的图象交于点A(2，2)，B.(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数yaxb的图象沿y轴向下平移m个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，求m的值解：(1)A(2，2)在反比例函数y的图象上，k4.反比例函数的解析式为y.又
6、点B在反比例函数y的图象上，n4，解得n8，即点B的坐标为.由A(2，2)，B在一次函数yaxb的图象上，得解得一次函数的解析式为y4x10； (2)将直线y4x10向下平移m个单位长度得直线的解析式为y4x10m，直线y4x10m与双曲线y有且只有一个交点，令4x10m，得4x2(m10)x40，(m10)2640，解得m2或18.4、 如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.（1）求一次函数的表达式；ABOyx（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.解：（1）将代入反比例函数，得： 将代入一次函数，得： 4=-2k+5，解得
7、一次函数的表达式为 （2）直线向下平移个单位长度后的表达式为， 由得：， 平移个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公 共点； =0，即，解得， m的值为1或9.5、 (2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy中，正比例函数的图象与反比例函数直线的图象都经过点A(2，-2) (1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及ABC的面积。解析：(1) 正比例函数的图象与反比例函数直线的图象都经过点A(2，-2)， 解得： yx , y=- (2) 直线BC由直线OA向上
8、平移3个单位所得 B （0，3），kbc koa1 设直线BC的表达式为 yx3 由 解得， 因为点C在第四象限 点C的坐标为(4，-1) 解法一：如图1，过A作ADy轴于D，过C作CEy轴于E. SABCSBEC S梯形ADECSADB44(24) 1258356解法二：如图2，连接OC. OABC，SABC SBOC=OBxc346考点二：图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线ymx与双曲线y相交于A(1，a)，B两点，BCx轴，垂足为C，AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式解：(1)直线ymx与双曲线y相交于A(1，a)，B
9、两点，B点横坐标为1，即C(1，0)，AOC的面积为1，A(1，2)，将A(1，2)代入ymx，y可得m2，n2；(2)设直线AC的解析式为ykxb，由题意得解得k1，b1，直线AC的解析式为yx1.【课后练习】1、 (2016宜宾中考)如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y(x0)的图象交于A(2，1)，B两点，直线y2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求ABC的面积解：(1)把A(2，1)代入反比例解析式得：1，即m2，反比例解析式为y，把B代入反比例解析式得：n4，即B.把A与B的坐标代入ykxb中得：解得则一次函数的解析式为y2x5；(2)设直线AB与y轴
10、交于点E，则点E的坐标为(0，5)，点C的坐标为(0，2)，CE2(5)7，点A到y轴的距离为2，点B到y轴的距离为，SABCSACESBCE7277.2、 (2016泸州中考)如图，一次函数ykxb(k0)的图象交于点P，过点P作PBx轴于点B，且ACBC.(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；(2)请直接写出y1y2时，x的取值范围；(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由解：(1)一次函数y1x1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，A(4，0)，C(0，1)，又ACBC，COAB，O为AB的中点，即OAOB4，
11、且BP2OC2，点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2，得m8，反比例函数的解析式为y2；(2)x4；【解法提示】由图象可知，当y1y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x4.(3)存在假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，四边形BCPD为菱形，CEDE4，CD8，D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)【课后作业】1、 （2013四川凉山）二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致
12、图象是（ ）第12题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC解答：解：二次函数yax2bxc的图象开口方向向下，a0，对称轴在y轴的左边，x0，b0，反比例函数的图象在第二四象限，正比例函数ybx的图象在第二四象限故选B2、 (2015成都)一次函数的图像不经过 （ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【解析】：，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限，不经过第四象限，选D。3、 (2014成都)在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则_.（填“”“0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小。解：，y随x的增大而增大，当时，.
13、故答案为：4、 (2016成都)已知P1（x1,y1），P2（x2 ，y2）两点都在反比例函数的图象上，且x1 x2 _ y2.（填“”或“ A 点坐标(2a-c,2b)。A，E在双曲线上 =k=(2a-c)2b=ab=2a-c=a=c=；平行四边形AOBC的面积为18=c2b=3ab=3k=k=612、 (2015成都)如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点.（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积.【解析】：（1）由已知可得， 反比例函数的表达式为，联立解得或，所以。 （2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到，
14、 连接交x轴于点，连接，则有， ，当P点和点重合时取 到等号。易得直线：，令，得，即满足条件的P的坐标为， 设交x轴于点C，则， ， 即13、 (2014宜宾)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称.(1)求A、B两点的坐标；(2)求ABC的面积.解：(1)根据题意得解方程组得或A(-1，3)，B(3，-1).(2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0，解得x=2，D(2，0).C、D两点关于y轴对称，C(-2，0)，SABC=SACD+SBCD=(2+2)3+(2+2)1=8.14、 2014甘孜)如图，在AOB中，
15、ABO90，OB4，AB8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且BOD的面积SBOD4.(1)求反比例函数解析式；(2)求点C的坐标.解：(1)由SBOD4，得k8.反比例函数解析式为y=.(2)OB4，AB8，ABO90，A点坐标为(4，8).设直线AO的解析式为ykx，则4k8，解得k2.即直线AO的解析式为y2x.联立方程组：；解得或(舍去)点C的坐标为(2，4).15、 (2014四川雅安)如图，过轴上点A的一次函数与反比例函数相交于BD两点，于C，四边形OABC面积为4。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当在什么取值范围内，一
16、次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出结果）解答：（1）设反比例函数解析式为y=,将代入得 3= k=-6所以反比例函数解析式为y=;设A（0，a）,由 四边形OABC面积为4得=4，解得 a=1设一次函数的解析式y=mx+b,将，A（0，1）代入得 解得 所以一次函数的解析式为y=x+1 （2）由 得 y=x+1 所以点D的坐标为（3，-2）（3）x-2或0x316、 （2013四川攀枝花）如图，已知反比例函数y=（m是常数，m0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2）（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一
17、点P满足：PAx轴；PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上解答：解：（1）一次函数y=ax+b与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2），4a+b=0，b=2，a=，一次函数的关系式为：y=x+2；（2）设P（4，n），解得：n=1，由题意知n=1，n=1（舍去），把P（4，1）代入反比例函数y=，m=4，反比例函数的关系式为：y=；（3）P（4，1），关于原点的对称点Q的坐标为Q（4，1），把Q（4，1）代入反比例函数关系式符合题意，Q在该反比例函数的图象上17、 （2014四川泸州）如图，已知函数y=
18、(x0)的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数 y= (x0)的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标解答：解：（1）点A（1，m），B（n，2）在反比例函数的图象上， m=6，2 n =6，解得， m=6，n=3；一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点 6=k+b 2=3k+b，解得， k=2，b=8，一次函数的解析式是y=2x+8；（2）一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象
19、的解析式是：y=2（x+a）+8根据题意，得 y=2(x-a)+8 y=，x2+（a+4）x+3=0；这个新图象与函数 y= (x0)的图象只有一个交点，=（a+4）2-12=0，解得，a=-42；当a=-42时，解方程组，得:x=3 y=2，M（ 3，2）；当a=4+2时，解方程组，得 x=3 y=2M（3，2）综上所述，a=-42，M（ 3，2）或M（3，2）18、 (2015资阳)如图，直线yax1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y(x0)相交于点P，PCx轴于点C，且PC2，点A的坐标为(2，0)(1)求双曲线的解析式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QHx轴于H，当
20、以点Q，C，H为顶点的三角形与AOB相似时，求点Q的坐标,),)解：(1)把A(2，0)代入yax1中，求得a，yx1，由PC2，把y2代入yx1中，得x2，即P(2，2)，把P代入y得：k4，则双曲线解析式为y(2)设Q(a，b)，Q(a，b)在y上，b，当QCHBAO时，可得，即，a22b，即a2，解得：a4或a2(舍去)，Q(4，1)；当QCHABO时，可得，即，整理得：2a4，解得：a1或a1(舍)，Q(1，22)综上，Q(4，1)或Q(1，22) 19、 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，点的坐标为线段，为轴上一点，且（1
21、）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求的面积【答案】解：（1）过点作轴于点，如图， 而点在第二象限点的坐标为将代入，得：反比例函数的解析式为将代入，得：将和分别代入，得：，解得：一次函数的解析式为（2）在中，令，即，解得：点坐标为，即 20、 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点求：（1）根据图象写出、两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值【答案】解：（1）由图象可知：点、的坐标分别为，反比例函数的图象经过点把点的坐标代入，得：反比例函数的解析式为：又一次函数的图象经过点和点把点、的坐
22、标分别代入，得：，解得一次函数的解析式为：（2）由图象可知：当或时一次函数值大于反比例函数值-55-55 21、 如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数的图象特征可知：点和关于直线对称请你根据图象，写出点的坐标及时的取值范围【答案】解：（1）点是一次函数图象与反比例函数图象的交点，解得：两个函数的关系式为，（2）由函数图象可知当时，或 22、 如图，已知双曲线经过点，点是双曲线第三象限分支上的动点，过作轴，过作轴，垂足分别为，连接，（1）求的值；（2）若的面积为，求直线的解析式（3）根据图像写出：当为何值时，一次函数值大于反比例函数值【答案】解：（1）在双曲线上 （2）如图，延长与的延长线相交于点设，则解之得：经检验是原方程的根设直线的解析式为，则有：，解之得：（3）由图像可知：当或时一次函数值大于反比例函数值专心-专注-专业