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1、第9章 组合变形组合变形的概念9.1拉伸（压缩）与弯曲的组合9.2斜弯曲9.3扭转与弯曲的组合9.49.1 组合变形的概念工程实际中的受力杆件所发生的变形，经常是两种或两种以上基本变形的组合，这种变形称为组合变形。工程中常见的组合变形有下面三种形式：拉伸（压缩）与弯曲的组合斜弯曲扭转与弯曲的组合9.1 组合变形的概念在线弹性和小变形的条件下，组合变形可按杆件的原始形状和尺寸，通过叠加原理求解。即把杆件上的荷载分解为若干个独立荷载，使每一种荷载只产生一种基本变形，计算杆件在每种基本变形时的某量值（内力、应力或变形等），将各基本变形时的该量值叠加，可得杆件在原荷载作用下的该量值。9.2 拉伸（压缩
2、）与弯曲的组合9.2.1 在轴向力和横向力共同作用下的杆件在轴向力作用下，杆件将发生轴向拉伸（压缩）变形；在横向力作用下，杆件将发生平面弯曲变形。在轴向力和横向力共同作用下，杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。求解组合变形问题可分为四个步骤：外力分析 通过对外力的简化和分解，将组合变形分解为几种基 本变形；内力分析 作各基本变形时杆件的内力图，确定危险截面。确定 危险截面时，应特别注意弯矩值最大的截面；应力分析 分析危险截面在各基本变形时的应力，确定危险点；强度计算 根据危险点的应力状态，建立强度条件进行强度计算。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合外力分析 在轴向拉力F作用下杆件发生轴向拉伸
3、变形，在横向均布力q作用下杆件发生平面弯曲变形，在轴向拉力F和在横向均布力q的共同作用下杆件将发生拉伸与弯曲的组合变形。内力分析 在轴向拉力F作用下，杆件各横截面上的轴力为FN，在横向均布力q作用下，杆件跨中截面弯矩最大为Mmax，因此危险截面在跨中。应力分析 在轴向力作用下杆件各截面任一点处的正应力均相等，如图所示，其值为NNFA9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合在横向均布力作用下，杆件跨中截面上的最大正应力位于截面上、下边缘处，如图所示。其值为maxmax,MzMW 当杆件的抗弯刚度EI较大时，横向力引起的挠度很小，由轴向拉力F引起的附加弯矩可忽略不计。按叠加原理，如图所示杆件跨中截面上的最
4、大应力位于截面的下边缘处，为拉应力，故截面的下边缘处为危险点，有NmaxmaxNmax,MzFMAW9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合强度计算 杆件危险点处为单向应力状态，对于抗拉、抗压能力相同的材料，其强度条件为 NmaxmaxzFMAW9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合【例9.1】三角形托架如图所示，横梁AB采用16号工字钢。已知作用在B点的集中荷载F=10kN，材料的许用应力=90MPa，试校核AB梁的强度。【解】：外力分析由横梁AB的受力图列出平衡方程0AM0sin302m3m0CFF003m10kN 3m30kNsin302msin302mCFF再由Fx=0和Fy=0求得支座A处的反力2
5、6kNAxF5kNAyF在轴向力FAx和FCx作用下，横梁AB的AC段发生拉伸变形；在横向力FAy、FCy和F作用下，横梁AB的AC段发生弯曲变形。所以AC段发生拉伸与弯曲的组合变形。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合内力分析由AB杆的轴力图和弯矩图可知，危险截面为C稍左的截面，其内力值为26kNNCF10kN mCM应力分析在轴力FNC和弯矩MC单独作用下，危险截面上的应力分布分别如图所示。根据叠加后危险截面上的应力分布可知，上边缘各点处的应力最大（拉应力）。故危险截面上边缘各点为危险点。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合强度校核由型钢表可查得16号工字钢的截面面积A=26.1cm2，弯曲截面系
6、数Wz=141cm3，所在危险点处有：由轴力引起的拉应力为34226 10 N9.96MPa26.1 10 mNCNFA由弯矩引起的最大拉应力为36310 10 N m70.92MPa141 10 mCMzMW总的拉应力为max9.96MPa70.92MPa80.9MPaNM max80.9MPa90MPa故横梁AB满足强度要求。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合9.2.2 偏心拉伸（压缩）当荷载作用线只与杆轴线平行而不重合时，杆件将产生偏心拉伸（压缩）。荷载作用线至杆轴线的距离称为偏心距。如图所示厂房立柱，将荷载F向立柱轴线简化，得到一个轴向压力F和一个作用在立柱纵向对称面内的力偶Me=Fe。
7、轴向压力F使立柱产生轴向压缩变形，力偶Me使立柱产生平面弯曲变形。因此立柱产生压缩与弯曲的组合变形。再如图所示夹具的竖杆，将产生拉伸与弯曲的组合变形。厂房立柱夹具9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合现以图示具有两个对称轴的偏心受拉等直杆为例，分析偏心受力构件的强度计算。偏心受压构件9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合外力分析 根据力的平移定理将作用在杆端A点处的偏心拉力F向截面形心O点简化，得到轴向拉力F和力偶矩Me，其中Me=Fe。Me可分解为对形心轴y轴的力偶矩Mey和对形心轴z轴的力偶矩Mez，其中Mey=FzF，Mez=FyF 。内力分析 在杆件任意横截面m-m上的内力分别为应力分析 m-m截
8、面上任意一点B(y,z)处的正应力分别为在轴向拉力F作用下杆件发生轴向拉伸变形，在力偶矩Mey作用下杆件发生在zox平面内的纯弯曲变形，在力偶矩Mez作用下杆件发生在yox平面内的纯弯曲变形，所以杆件的变形是轴向拉伸和两个相互垂直平面内的纯弯曲变形的组合。NFFyeyFMMFzzezFMMFy杆件各横截面上的内力均与m-m截面相同，故杆件各横截面均为危险截面。在轴力作用下NNFFAA9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合在弯矩作用下MyzFFyzyzMzMyFzzFyyIIII当杆件的弯曲刚度EI较大时，按叠加原理B点处的正应力为22(1)FFFFyzyzFzzFyyz zy yFFAIIAii应力
9、分析的目的是确定危险点，即计算出最大应力，由正应力计算公式可知离中性轴越远的点应力越大，为此需要确定中性轴的位置。中性轴的位置 将=0代入上式求得中性轴方程为2210FFyzz zy yii由上式可知这个方程是一直线方程，并且坐标y和z不能同时为零。因此偏心受拉（受压）构件的中性轴是一条不通过截面形心的直线。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合强度计算 确定中性轴的位置后，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1和D2是距离中性轴最远的点，分别为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。工程中很多偏心受力构件，其横截面周边大多具有棱角，如矩形、工字形等，对于这类有棱角的横截面，无
10、需确定中性轴的位置，其危险点必定在截面的棱角处，可根据杆件的变形情况确定危险点。maxmaxmaxmaxtyFFzcyzyzMFzzFyyMFFAIIAWW，对于一般实体梁而言，切应力数值较小，可以不考虑。杆件危险点处仍为单向应力状态，可按正应力强度条件进行强度计算。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合【例9.2】矩形截面受压柱，如图所示。其中F1的作用线与下柱轴线重合，F2的作用线在y轴上，已知F1=F2=80kN，h=300mm，如要求下柱的截面上不出现拉应力，求F2的偏心距e的大小。【解】：外力分析由于F1的作用线与下柱轴线重合，使下柱产生轴向压缩变形；F2的作用线不通过下柱截面形心，将其向
11、截面形心简化后，产生轴向压力F2和绕z轴的力偶Me=F2e。下柱在原荷载F1、F2共同作用下将产生压缩与弯曲的组合变形。内力分析下柱横截面上的内力有轴力：1280kN80kN160kNNFFF 弯矩：2eMMF e9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合【例9.2】矩形截面受压柱，如图所示。其中F1的作用线与下柱轴线重合，偏的作用线在y轴上，已知F1=F2=80kN，h=300mm，如要求下柱的截面上不出现拉应力，求F2的偏心距e的大小。【解】：应力分析下柱横截面上，在轴力FN和弯矩Me单独作用下的应力分布分别如图所示，叠加后的最大拉应力会出现在AD边缘上。其值为2,max216NNtzFFF eMA
12、Wbhbh求偏心距e2,max2016NtFF ebhbh2( 160KN) 300mm100mm66 80KNNF heF 当偏心压力作用在y轴上，只要偏心矩e100mm，截面就不会出现拉应力。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合9.2.3 截面核心2210FFyzz zy yii分别取z=0和y=0可计算出中性轴在y、z两坐标轴上的截距ay和az为22,yzyzFFiiaayz 由上式可知：ay、az与yF、zF正负号相反，即中性轴与外力作用点分别在截面形心两侧；ay、az与yF、zF成反比，即外力偏心距（yF、zF ）越小，ay、az越大，中性轴可能不与横截面相交，这时横截面上就只有一种符号
13、的应力（与轴力同号的应力）。因此，当偏心力作用点位于截面形心周围的某个小区域内时，截面上只出现一种符号的应力，截面形心周围的这个小区域称为截面核心。9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合当偏心压力的偏心距较小时，杆的横截面上可能只出现压应力，不出现拉应力。对混凝土、砖石材料制成的构件，由于其抗拉强度远低于抗压强度，当构件偏心受压时，如果偏心压力作用在截面核心内，就可避免在截面上引起拉应力。当中性轴与截面周边相切时，外力作用点在截面核心的边界上，利用这一关系可以确定截面核心的边界。矩形和圆形截面的截面核心，如图中阴影线所示。9.3 斜弯曲梁在两个相互垂直的平面内产生的平面弯曲的组合称为斜弯曲。如图所示
14、矩形截面悬臂梁，梁端作用一集中力F ，F力不在梁的纵向对称平面内，而是偏离纵向对称轴一个角度。9.3 斜弯曲外力分析 将F力沿矩形截面对称轴y轴和z轴方向分解为内力分析 Fy、Fz单独作用下，在梁任一横截面m-m上产生的弯矩分别为应力分析 Mz、My单独作用下，在m-m截面上任意点a处产生的正应力分别为在Fy、Fz单独作用下，梁将分别产生绕z轴和y轴的平面弯曲。因此，在Fy 和 Fz共同作用下，梁将产生斜弯曲变形。显然固定端截面弯矩最大，为危险截面。cosyFFsinzFFsinyzMF xFxcoszyMF xFxzzM yI yyM zI 9.3 斜弯曲由叠加原理，在F力作用下a点处的正应
15、力为yzzyM zM yII 上式为斜弯曲梁横截面上任一点处的正应力计算公式。其中Iy和Iz分别为横截面对两对称轴y轴和z轴的惯性矩；y、z分别为所求应力点到z轴和y轴的距离。应力的正负号可根据Fy、Fz单独作用下梁的变形情况来判定。梁横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远处。中性轴的位置 将=0代入上式求得中性轴方程为0yzzyM zM yII由此可知，斜弯曲梁的中性轴是一条通过横截面形心的直线。对矩形和工字形等具有双对称轴和棱角的截面，最大正应力发生在截面角点处。9.3 斜弯曲强度计算 对于图示矩形截面梁，固定端截面的右上角点B处和左下角点C处分别为最大拉应力和最大压应力所在的危险点，其值
16、为maxmaxmaxmaxtyyzzczyzyMzMMyMIIWW ，由于危险点处为单向应力状态，可按正应力强度条件进行强度计算。变形计算 在Fy、Fz单独作用下，梁将分别产生沿y轴和z轴的挠度，梁自由端最大挠度为33cos33yyzzF lFlvEIEI33sin33zzyyF lFlvEIEI总挠度为上述两个相互垂直方向挠度的矢量和，即22yzvvv9.3 斜弯曲【例9.3】一木屋架上的木檩条，为bh=120180mm2的矩形截面，跨度l=4m，简支在屋架上，承受屋面荷载q=2kN/m（包括檩条自重），如图所示。已知材料的许用应力=10MPa，试校核该檩条的强度。9.3 斜弯曲外力分析内力
17、分析【解】：0sin2KN/m sin26 340.89KN/mzqq0cos2KN/m cos26 341.79KN/myqq22110.89KN/m (4m)1.78KN m88yzMq l22111.79KN/m (4m)3.58KN m88zyMq l应力分析max223333233211663.58 10 N m1.78 10 N m11120 10 m (180 10 m)180 10 m (120 10 m)669.64MPayyzzzyMMMMWWbhhb强度校核 max9.64MPa10MPa故该檩条满足强度要求。9.4 扭转与弯曲的组合如图所示为一处于水平位置的直角曲拐，将
18、集中力F向AB杆的B截面形心平移，得到一个力F和一个作用面垂直于AB杆轴线的力偶，AB杆发生扭转与弯曲的组合变形。9.4 扭转与弯曲的组合由AB杆的弯矩图和扭矩图可知，A截面为危险截面，其上必存在弯曲正应力和扭转切应力。由A截面的应力分布图可知，C、D两点为危险点。C点的应力状态，如图所示。对由塑性材料制成的轴，在危险点C、D中只需校核一点的强度即可。C点处于平面应力状态。对于平面应力状态，按第三、第四强度理论建立的强度条件为 2234r 2243r对圆截面杆zMWtpMW2pzWW 223trzMMW 2240.75trzMMW9.4 扭转与弯曲的组合【例9.4】某传动钢轴，如图所示。已知圆
19、轴直径d=50mm，钢材的许用应力=150MPa，试按第四强度理论校核该轴的强度。【解】：外力分析圆轴在Me作用下受扭，在F1、F2作用下受弯，其变形是扭转与弯曲的组合变形。内力分析轴的扭矩图和弯矩图，如图所示。由此可知，B截面为危险截面。该截面上的内力值为1.2KN mM 1KN mtM 9.4 扭转与弯曲的组合【例9.4】某传动钢轴，如图所示。已知圆轴直径d=50mm，钢材的许用应力=150MPa，试按第四强度理论校核该轴的强度。【解】：强度校核 22432323 30.75(1.2 10 )0.75 (1 10 )(50 10 ) /32121MPa150MPatrzMMW故该轴强度满足
20、要求。p 本章小结 组合变形问题的求解方法 组合变形由几种基本变形组合而成。求解组合变形问题的基本方法是“分”与“合”，即外力分解和某量值（内力、应力或变形等）叠加。外力分解的原则是使分解后的每一种外力只分别产生一种基本变形，某量值叠加是在小变形和材料服从胡克定律的条件下，将各种基本变形引起的该量值叠加起来。 危险截面及危险点的确定 将组合变形分解为几种基本变形后，综合分析各种基本变形形式的内力图，确定危险截面的可能位置。在组合变形问题中，由于切应力的影响较小，一般不考虑，因此应特别注意弯矩值最大的截面。 危险截面确定后，根据各内力分量在危险截面上的应力分布规律，判断危险点所在的位置。一般正应
21、力起控制作用，因此应特别注意正应力绝对值最大的点。p 本章小结 组合变形问题的强度计算，可归纳为下面两类： 危险点为单向应力状态：在拉伸（压缩）与弯曲的组合、斜弯曲时，杆件危险点的应力状态主要为单向应力状态。 在进行强度校核时，只需求出危险点的最大正应力max，按轴向拉（压）杆强度条件计算，即强度条件为 危险点为复杂应力状态：在扭转与弯曲的组合变形时，杆件的危险点处于平面应力状态，需利用强度理论建立强度条件进行强度计算。若杆件为由塑性材料制成的圆轴，则按第三强度理论和第四强度理论建立的强度条件分别为 max 223trzMMW 2240.75trzMMWp 本章小结 当偏心力作用点位于截面形心周围的某个小区域内时，截面上只出现一种符号的应力，截面形心周围的这个小区域称为截面核心。对混凝土、砖石等材料制成的构件，由于其抗拉强度远低于抗压强度，当构件偏心受压时，如果偏心压力作用在截面核心内，就可避免截面上出现拉应力。