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1、2022指数函数篇一：指数函数知识点及经典例题 基本初等函数 一、知识和数学思想梳理： 1指数式和对数式：根式概念；分数指数幂；指数幂的运算性质；对数概念；对数运算性质；指数和对数的互化关系； 2指数函数：指数函数的概念；指数函数的图象与性质；指数函数图象变换；指数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）； 3对数函数：对数函数的概念；对数函数的图象与性质；对数函数图象变换；对数函数性质的应用（单调性、指数不等式和方程）； 4.解指数不等式、指数方程、对数不等式、对数方程，先要化同底，即 ?x1?x2(a?1)xx ，a1?a2(a?0,且a?1)?x1?x2 a?a(a?0,且a?1)?
2、?x1?x2(0?a?1) x1 x2 ?x?x2?0(a?1) ， logax1?logax2(a?0,且a?1)?1 0?x?x(0?a?1)?12 logax1?logax2(a?0且a?1)?x1?x2?0； 5.要明确区分指数函数、对数函数与指数型函数、对数型函数； 6.反函数：反函数概念；互为反函数定义域和值域的关系；求反函数的步骤；互为反函数图象的关系； 7.函数应用：解应用题的基本步骤；几种常见函数模型（一次型、二次型、指数型（利息计算）、几何模型、物理和生活实际应用型）； 8.学会灵活应用数形结合思想、方程思想、分类讨论思想解决问题。 二、典型示例 （一） 函数定义域和值域
3、例1求下列函数的定义域 （1）（2022湖北文） 函数y? 的定义域为（ ） （C）（1，+） （D）. ( （A）.( 3 ,1) 4 （B）( 3 ,) 43 ,1)（1，+） 4 (2) 已知f(x?1)的定义域为?2，4?,求f(2x?1)的定义域 例2求下列各函数的值域 t2?4t?1 （1）、（2022重庆文数）已知t?0，则函数y?的最小值为_ . t （2）（2022湖北文）已知函数f(x)? （A）.4 ?log3x,x?0 x ?2,x?0 ，则f(f()? 19 （B）. 1 4 （C）.-4 （D）- 1 4 （二）求下列函数的增区间 y?log1(x2?x?6) 例3
4、.（1） 2 （2 ）y? （三）函数奇偶性 例41、（2022山东理4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2+2x+b(b为常数)，则f(-1)=（） （A） 3 （B）1 （C -1（D）-3 2、（2022江苏卷）设函数f(x)=x(e （四）指对数函数 例5(1)(2022辽宁文）设2?5?m，且 a b x x +ae-x)(x?R)是偶函数，则实数a=_ 11 ?2，则m? ab （A （B）10 （C）20（D）101 232352525（,b?（c?（，则a，b，c的大小关系是 (2)（2022安徽文）设a?555 （A）acb （B）abc （C）cab （
5、D）bca 1x （3）已知f(x)xlog21x 11 (1)求f()f(的值； 2 0052 005 (2)当x(a，a(其中a(0,1)，且a为常数)时，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如 果不存在，请说明理由 （五）函数与方程 例6（1）（2022上海文）若x0是方程式 lgx?x?2的解，则x0属于区间 （ ） （A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） （2）（2022浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+ ，则 （ ） x2（x0，+?） （A）f(x1)0，f(x2)0 （B）f(x1)0，f(x2)0 （C
6、）f(x1)0，f(x2)0 （D）f(x1)0，f(x2)0 (3)（2022天津文）（4）函数f（x）=e?x?2的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1）(D) （1,2） x 1 的一个零点.若x1（1，x0）， 1?x 三、巩固并提高 1（湖南卷）f(x)?2x的定义域为；2 （江苏卷）函数y? ； 3（2022年广东卷）函数f(x)? 3x2?x ?lg(3x?1)的定义域是 ； 4（2022陕西文）13.已知函数f（x）? ?3x?2,x?1,?x?ax,x?1, 2 若f（f（0）4a，则实数a ； x5（2022山东文）(3)函数f?
7、x?log23?1的值域为（）； ? A. ?0,? B. ?1,? ?0,? C. ?1,? D. ?7（2022山东理）函数y=2-x的图像大致是 x 2 8已知f(x?3)?x2?2x?1，求f(x?3)； 2 y?f(x)?ax?2(a?3)x?1在区间?2,?)递减，求a取值范围； 9若 x 10（2022山东文）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)=2+2x-b（b为常数），则 f(?1)( ) （A）-3 （B）-1 （C）1(D)3 211.（2022天津文）(6)设a?log54，b?（log53），c?log45，则 （） (A)a<c<b(B)
8、 )b<c<a (C) )a<b<c(D) )b<a<c ?log2x,x?0,? 12.（2022天津理）若函数f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是（ ） 1 ?2 （A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1） 13.（2022四川理）（3）2log510log50.25 （ ） （A）0 （B）1（C） 2（D）4 14.（2022天津理）（2）函数f(x)=2?3x的零点所在的一个区间是（ ） (A)（-2，-1） (B)（-1,
9、0）(C)（0,1） (D)（1,2） x ?x2+2x-3,x?0 15.（2022福建文）7函数（的零点个数为 ( ) fx)=? ?-2+lnx,x>0 （A）3 （B）2 （C）1（D）0 1x1x16已知函数f(x)?242. (1)判断函数f(x)的单调性； (2)求函数的值域； (3)解方程f(x)0；(4)解不等式f(x)>0. 17.已知函数f(x)?2x?1的反函数为f?1(x), g(x)?log4(3x?1). (1) 若f?1(x)?g(x)，求x的取值范围D; (2) 设函数H(x)?g(x)? 1?1 f(x)，当x?D时, 求函数H(x)的值域. 2
10、 篇二：知识讲解_指数函数及其性质_基础 指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用
11、价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： x 函数y=a(a>0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a1)的函数才是指数函数像y?2?3，y?2， x x 1x y?3x?1等函数都不是指数函数 （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： x ?x?0时，a恒等于0， 如果a?0，则? x x?0时,a无意义.? 如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)，当x? x x 11 ,x?,?时，在实数范围内函数值不存在 24 如果a?1，则y?1?1是个常
12、量，就没研究的必要了 要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“a?1”和“0?a?1”两种情形讨论。 （2）当0?a?1时，x?,y?0；当a?1时x?,y?0。 当a?1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。 当0?a?1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。 ?1 ? （3）指数函数y?a与y?的图象关于y轴对称。 ?a? x x 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） y?ay?b y?cx y?dx 则：0ba1dc 又即：x(0,+)时，bx?ax?dx?cx（底大幂大） x(,0)时，bx?ax?dx?cx （2）特殊函数 x x y?2x,y?3x,
13、1y?()x, 21 y?()x的图像： 3 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B； 当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1函数y?(a?3a?3)a是指数函数，求a的值 【答案】2 【解析】由y?(a?3a?3)a是指数函数， 2 x 2 x AA ?1，或?1即可 BB ?a2?3a?3?1,?a?1或a?2, 可得?解得?，所以a
14、?2 a?0且a ?1,?a?0,且a?1, 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断； （2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x 举一反三： 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1）y?4；（2）y?x；（3）y?4；（4）y?(?4)； （5）y?(2a?1)x(a? x 4 xx 1 且a?1)；（6）y?4?x 2 x 【答案】（1）（5）（6） ?1? 【解析】（1）（5）（6）为指数函数其中（6）y?4=?，符合指数函数的定义，而（2）中底 ?4? ?x 数x不是常数，而4不是变数；
15、（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数?4?0，所以不是指数函数 类型二、函数的定义域、值域 例2求下列函数的定义域、值域. 3xxx(1)y?；(2)y=4-2+1； ；(4)y?x 1?3 【答案】（1）R，(0，1)；（2）R 为大于1的常数) 3?1? （3）?,? ?0,?；（4）(-，-1)1，+) ,?)； 24? 1，a)(a，+) x 【解析】(1)函数的定义域为R (对一切x?R，3-1). (1?3x)?11xx ?1? y?，又 3>0， 1+3>1， xx 1?31?3 11 ， ?1?1?0， 1?3x1?3x 1 0?1?1， 值域为(0，1)
16、. 1?3x 1231xx2xxx (2)定义域为R，y?(2)?2?1?(2?)?， 2>0， 2? 即 x=-1时，y取最小 242 333 值，同时y可以取一切大于的实数， 值域为,?). 444 12x?1 (3)要使函数有意义可得到不等式3?0，即32x?1?3?2，又函数y?3x是增函数，所以 9 0? 1?1? 2x?1?2，即x?，即?,?，值域是?0,?. 2?2? (4) 2xx?1?1?0 定义域为(-，-1)1，+)， x?1x?1 x?1x?1 ?0且?1， y?a又 x?1x?1 2x ?1x?1 ?1且y?a 2x?1x?1 ?a， 值域为1，a)(a，+)
17、. 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中 x?12 ?1不能遗漏. x?1x?1 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域： x-1 (1)y? 2 (2)y?2(3)y?y?a?0,a?1) 3?；0?；0<a<1时，?0，+? 【答案】（1）R；（2）?-?，（3）?0,+?；（4）a>1时，?-?， 【解析】(1)R 3? (2)要使原式有意义，需满足3-x0，即x?3，即?-?， (3) 为使得原函数有意义，需满足2-10，即21，故x0，即?0,+? x x 0?；0<a<1时，?0，
18、+?. (4) 为使得原函数有意义，需满足1?a?0，即a?1，所以a>1时，?-?， x x 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结 合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3讨论函数f(x)? ?1?3? x2?2x 的单调性，并求其值域 x2?2x ?1? 【思路点拨】对于xR，? ?3? ?0恒成立，因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间此函数 是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果 【答案】函数f(x)在区间（，1）上是增函数，在区间1，+）上是减函数 （
19、0，3 【解析】 解法一：函数f(x)的定义域为（，+），设x1、x2（，+）且有x1x2， ?1?f(x2)? ?3? 2x2?2x2 1 ?1? ，f(x1)? ?3? x2?2x1 ， ?1?22 x2?x1?2(x2?x1)(x2?x1)(x2?x1?2)?f(x2)?3?11? ?2?x1?2x1 f(x1)?1?3?3? ?3? （1）当x1x21时，x1+x22，即有x1+x220 2x2?2x2 ?1? 又x2x10，(x2x1)(x2+x12)0，则知? ?3? (x2?x1)(x2?x1?2) ?1 又对于xR，f(x)?0恒成立，f(x2)?f(x1) 函数f(x)在（，
20、1）上单调递增 （2）当1x1x2时，x1+x22，即有x1+x220 又x2x10，(x2x1)(x2+x12)0，则知 ?1?0?3? (x2?x1)(x2?x1?2) ?1f(x2)?f(x1) 函数f(x)在1，+）上单调递减 综上，函数f(x)在区间（，1）上是增函数，在区间1，+）上是减函数 1?1? x22x=(x1)211，0?1，0? 3?3? 函数f(x)的值域为（0，3 x2?2x ?1? ?3 ?3? ?1 ?1? 解法二：函数f(x)的下义域为R，令u=x22x，则f(u)? ?3? ?1? u=x2x=(x1)1，在（，1上是减函数，f(u)?在其定义域内是减函数，
21、函数f(x) ?3? 2 2 u u 在（，1内为增函数 ?1? 又f(u)?在其定义域内为减函数，而u=x22x=(x1)21在1，+）上是增函数，函数f(x) ?3? 在1，+）上是减函数 值域的求法同解法一 【总结升华】由本例可知，研究y?a般地有：即当a1时，y?a f(x) f(x) u 型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一 f(x) 的单调性与y?f(x)的单调性相同；当0a1时，y?a 的单调与 y?f(x)的单调性相反 举一反三： 【变式1】求函数y?3 ?x2?3x?2 的单调区间及值域. 1 33 【答案】x?(?,上单增，在x?,?)上单减. (0,34
22、22 【解析】1复合函数分解为：u=-x+3x-2， y=3； 2利用复合函数单调性判断方法求单调区间； 3求值域. 2u 设u=-x+3x-2， y=3， 其中y=3为R上的单调增函数，u=-x+3x-2在x?(?,上单增， u 2 2 u 32 篇三：指数运算和指数函数 第五讲 指数运算和指数函数 一、知识点 1.根式的性质 （1）当n为奇数时，有a n n ?a （2）当n为偶数时，有a nn ?a,(a?0) ?a? ?a,(a?0)? （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零 2.幂的有关概念 (1)正整数指数幂：an?a?a?a.a(n?N?) ? n (2)零指数幂a
23、0?1(a?0) (3)负整数指数幂 a m ?p ? 1a p (a?0.p?N?) (4)正分数指数幂 a n ? ?mn m a(a?0,m,n?N?,且n?1) (5)负分数指数幂a? 1 m (a?0,m,n?N?,且n?1) a n (6)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)ar?as?ar?s,(a?0,r,s?Q)(2)(ar)s?ars,(a?0,r,s?Q) (3)(ab)r?ar?as,(a?0,b?0,r?Q) 4指数函数定义：函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数。 1函数y?(x?5)?(x?2)2 Ax|x?5,x?
24、2Bx|x?2 ? 1 （ ） Cx|x?5 Dx|2?x?5或x?5 2若指数函数y?ax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于 A 1?25 （ ） B ?1? 2 5 C 1?2 5 D 5?12 ?2?x?1,x?0 ? 3函数f(x)?1，满足f(x)?1的x的取值范围 2?x,x?0 （ ） A(?1,1) 1 B (?1,?) Dx|x?1或x?1 C2,?) 1 Cx|x?0或x?2 4函数y?() ?x?x?2 2 21 A?1, 2 得单调递增区间是 B(?,?1 （ ） D,2 2 5已知f(x)? e?e x?x 2 A奇函数，在R上为增函数B偶函数，在R上为
25、增函数 C奇函数，在R上为减函数D偶函数，在R上为减函数 二、填空题 ，则下列正确的是 （ ） 6已知函数f (x)的定义域是（1，2），则函数f(2x)的定义域是. 7当a0且a1时，函数f (x)=ax23必过定点. 1 8已知1<a<0，则三个数3,a3,a3由小到大的顺序是 . 三、解答题 9（12分）求函数y? 10（12分）已知函数y?a 11（12分）（1）已知f(x)? x 2x a 1 x 的定义域. 5x?1?1 ?2a?1(a?1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值. x 23?1 x ?m是奇函数，求常数m的值； （2）画出函数y?|3?1|的图象，并利
26、用图象回答：k为何值时，方程|3k无 解？有一解？有两解？ 12已知函数f(x) a?1a?1 xx (a>0且a1). (1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性. 参考答案（6） 一、DCDDDAAD D A 2 1 3 a 二、11(0,1)； 12(2，2)；13a三、 15 解：要使函数有意义必须： 3 ；14a3?a?3 ； ?x?1?0 ?x?1? ? ?x?0?x?0? ?x?1 定义域为：?xx?R且x?0,x?1? r r rr a?b?，其中0?16 解：a?b? ?r ac ?1,0? r r bc r ?1. c?c?
27、 r ?c? r 当r1时，?a? ab?b?，所以a?1 cc?c?c? r r +bc； rrra?ab?b?当r1时，?，所以a+bc. ?1 ?c?c? cc 17解： y?a 2x ?2a?1(a?1)， 换元为y?t?2t?1( x2 1a ?t?a)，对称轴为t?1. 当a?1，t?a，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= 5舍去) 18解： （1）常数m=1 （2）当k<0时，直线y=k与函数y?|3?1|的图象无 交点,即方程无解; x y?|3?1| 当k=0或k?1时, 直线y=k与函数的图象有唯一 的交点，所以方程有一解; 当0<k<1时, 直
28、线y=k与函数y?|3?1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解。 19解： （1）设0?t1?t2， x x 因为g(t)为常数，g(t1)?g(t2)，即g(0)? pr e r ?t1v ?e r?t2v ?0， 则g(0)? pr ； （2）设0?t1?t2，g(t1)?g(t2)?g(0)? pr e r?t1v ?e r?t2v r =g(0)? pr ? e v t2r r ?e t1?t2 v t1 ev 因为g(0)? pr ?0，0?t1?t2，g(t1)?g(t2). 污染越来越严重. 20解：(1)是奇函数.(2)值域为(1，1).(3)设x1x2， 则f(x1)?f(
29、x2)? aa x1x1 ?1?1 ? aa x2x2 ?1?1 x2 。= (a x1 ?1)(a x2 ?1)?(a x1 x1 ?1)(a x2 ?1) (a x1 ?1)(a x2 x2 ?1) a1，x1x2，aa x1 . 又a+10，a+10， f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2). 函数f(x)在(，+)上是增函数. 指数函数出自：百味书屋链接地址： 转载请保留,谢谢!本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第40页 共40页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页第 40 页 共 40 页