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1、2022年八年级数学教案：正方形的判定教学目标及教学重点、难点本节课的内容为正方形的判定方法，是在学习了平行四边形、矩形、菱形等有关学问的基础上，进一步驾驭正方形的判定方法.通过对比理解正方形判定方法与平行四边形，矩形，菱形判定方法的联系和区分，提高学生的逻辑推理实力.教学重点：正方形的判定方法.教学难点：正方形的判定方法的探究及应用.教学过程（表格描述）教学环节主要教学活动设置意图引入复习引入：我们已经学习了平行四边形，矩形和菱形，它们是如何判定的?矩形和菱形都是特别的平行四边形。我们知道，把平行四边形的角特别化，使其有一个角是直角得到了矩形，边特别化使其有一组邻边相等得到了菱形。那么假如平
2、行四边形的边和角一起特别化，使其既有一个角是直角，又有一组邻边相等能够得到什么呢?当平行四边形有一个角是直角，又有一组邻边相等时，我们会得到正方形。我们知道正方形的定义是：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。正方形的定义既是性质也是判定。有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，由正方形，矩形，菱形的定义我们知道，判定一个四边形是正方形的关键就在于判定它既是菱形又是矩形. 下面我们来一起探究一下正方形有哪些判定方法。复习回顾，唤起动机新课我们一起来看一个实际问题。明明在商场中想买一块正方形纱巾，但不知是否是正方形的，只见售货员阿姨拉起纱巾的一组对角，能完全重
3、合，重合后变成三角形，在此基础上，将另两个顶点再对折，也能完全重合. 阿姨认为这样能够证明是正方形，把纱巾给了明明，你认为明明手上的纱巾肯定是正方形吗?思索：对折两次，能够完全重合事实上告知了我们什么?（图形演示）答：四边相等，对角线相互垂直平分，即纱巾的两条对角线所在的直线是对称轴.由此我们只能保证纱巾是菱形.问题1：假如要推断纱巾是正方形，还须要检验什么?也就是要使一个菱形成为正方形，还须要添加什么条件?答：我们由定义动身，变更菱形的角，当菱形的一个角变成直角时，菱形就变成了正方形。假如从对角线来考虑，在菱形的基础上，对角线满意什么条件可以得到正方形?在菱形的基础上要想说明它是正方形，就须
4、要推断它还是矩形，我们知道对角线相等是矩形的特性，那么菱形加上对角线相等能否得到正方形?猜想：对角线相等的菱形是正方形。先把文字语言转化为图形语言和符号语言，画出图形，然后写出已知和求证。已知:四边形ABCD是菱形，AC=BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明：四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.∴四边形ABCD是正方形.AB=AD.由此我们得到正方形第一个判定途径，在菱形的基础上，判定有一个角是直角或对角线相等。留意这里或字表示二者满意其一即可，也
5、就是在证明的时候，满意有一个角是直角或对角线相等中的一个即可。我们将它由文字语言转化为符号语言：四边形ABCD是菱形，∠BAD=90度（或AC=BD），∴四边形ABCD是正方形.这是正方形的第一个判定途径.问题2：假如要使一个矩形成为正方形，须要添加什么条件?答：由定义动身，事实上变更矩形的边，当矩形有一组邻边相等时，就得到了正方形。在矩形的基础上，对角线满意什么条件可以得到正方形?事实上就是让我们推断它还是菱形，我们知道对角线相互垂直是菱形的特性，那么矩形加上对角线相互垂直能否得到正方形?猜想：对角线相互垂直的矩形是正方形.画出图形，写出已知求证。已知:四边形ABCD是
6、矩形，AC⊥BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明：∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°.AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，依据是对角线相互垂直的平行四边形是菱形。∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.由此我们得到正方形其次个判定途径，在矩形的基础上：判定有一组邻边相等或者对角线相互垂直.它的符号语言是：四边形ABCD是矩形，BA=BC（或AC⊥BD），∴四边形ABCD是正方形.问题3：在四边形的基础上，添加什么条件可以得到正方形?推断一个正方形的关键就是推断它既
7、是矩形又是菱形。我们知道对角线相互平分是平行四边形的性质，对角线相等是矩形的特性，对角线相互垂直是菱形的特性，那么四边形加上对角线相等且相互垂直平分能否得到正方形?猜想：对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形. 画出图形，写出已知求证。已知:在四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD.求证:四边形ABCD是正方形.证明：OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.AC=BD，∴四边形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形∴
8、AB=AD，∴四边形ABCD是正方形.由此我们得到正方形第三个判定途径，在四边形的基础上：判定对角线相等，并且相互垂直平分.它的符号语言是：AC=BD，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是正方形.问题4： 菱形，矩形，正方形间有怎样的联系与区分?比较菱形，矩形，正方形间的联系与区分，归纳正方形判定方法，培育归纳实力.例题例题 ：推断下列说法是否正确?为什么?（1）假如一个菱形的两条对角线相等，那么它肯定是正方形.（2）假如一个矩形的两条对角线相互垂直，那么它肯定是正方形.（3）对角线相互垂直平分且相等的四边形，肯定是正方形.（4）四条边相
9、等，且有一个角是直角的四边形是正方形.分析：（1）在菱形基础上加对角线相等就得到了正方形.因此这道题是正确的.（2）在矩形的基础上加上对角线相互垂直就得到了正方形.因此这道题也是正确的.（3）平行四边形加上菱形的特性得到菱形，加上矩形的特性，得到矩形，矩形加菱形得到正方形。因此这道题也是正确的.（4）这样利用菱形加上矩形就得到了正方形。所以是正确的。通过上面这4道推断题，我们可以更深刻的感受到，推断一个四边形是不是正方形的关键就在于判定它既是菱形又是矩形。例 如图，在Rt CBD中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方
10、形.分析：要想证明四边形CDFE是正方形，关键在于判定它既是矩形又是菱形。我们来分析一下题目中的已知条件。由FD⊥AC，FE⊥BC，∠ACB=90o ，依据矩形的判定定理，我们可以判定四边形CDFE是矩形. 由此我们思索：矩形加什么条件可以得到正方形呢? 我们知道判定正方形的关键在于判定它既是矩形又是菱形。在矩形的基础上添加一组邻边相等，或对角线相互垂直可以得到正方形。 由题目我们知道CF为∠ACB的平分线，利用角平分线定理，角平分线上一点到角两边的距离相等，可以得到FD=FE. 这样在矩形的基础上加一组邻边相等就得到了正方形。解：EF⊥BC，FD
11、⊥AC，∠ACB=90o∴四边形EFDC为矩形.又CF平分∠ACB，∴FD=FE .∴矩形ECDF为正方形（此题用有一组邻边相等的矩形判定）例题 如图，在平面直角坐标系中，顺次连接点A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），D（0，2）所得到的四边形ABCD是怎样的四边形?并说明理由.分析：我们先猜想一下四边形ABCD的形态，通过视察图形，简单猜想四边形ABCD是正方形，那么如何验证这个猜想呢?在平面直角坐标系中， A，B，C，D四个点的位置有什么关系?通过分析A，B，C，D四个点的坐标，我们可以知道这四个点到原点的距离都
12、是2.也就是OA=OB=OC=OD=2，那么AC=OA+OC=4，BD=OB+OD也等于4。因此我们可以得到对角线AC，BD是相等的，且相互平分。假如能够证明对角线还相互垂直，就能说明四边形ABCD是正方形。事实上平面直角坐标系中，x轴和y轴相互垂直，因此我们简单得到对角线AC，BD还相互垂直。这样利用对角线相等且相互垂直平分，就可以判定四边形ABCD是正方形了。解：A（-2，0），B（0，-2），C（2，0），D（0，2）∴OA=OB=OC=OD=2∴四边形ABCD是平行四边形又AC=BD，且AC⊥BD∴四边形ABCD是正方形（此题用对角线
13、判定）用所学学问解决问题总结1. 本节课你学习了什么学问?正方形的判定方法：（1）定义法：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.（2）有一个角是直角或者对角线相等的菱形是正方形.（3）有一组邻边相等或对角线相互垂直的矩形是正方形.（4）对角线相互垂直平分且相等的四边形是平行四边形.2. 本节课你感受到了哪些数学思想方法?（1）一般到特别：随意四边形到平行四边形，再到特别平行四边形的化归.（2）用运动的观点看问题：让菱形的边运动起来，变更菱形的一个角，使其变成一个直角，菱形成为正方形.让矩形的边运动起来，使其一组邻边相等时，矩形就成了正方形.3. 本节课你感悟到的解题思路是什么?
14、判定一个四边形是正方形的关键是推断它既是矩形又是菱形。矩形加有一组邻边相等或对角线相互垂直得到正方形，菱形加有一个角是直角或对角线相等得到正方形。或者利用四边形对角线相等且相互垂直平分，得到四边形是正方形。同学们在解决问题的时候要依据题目的已知条件敏捷选择解题思路，每个题目可能不只有一种方法，同学们可以多多开拓思路.归纳提升作业实施应用第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页