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1、1 高高 等等 教教 育育 出出 版版 社社高高 等等 教教 育育 电电 子子 音音 像像 出出 版版 社社2一、几点说明一、几点说明二、简介二、简介三、目录三、目录四、教学目的四、教学目的五、学时安排五、学时安排六、各章重点六、各章重点七、参考书目七、参考书目3几几 点点 说说 明明 本电子教案是根据作者撰写的本电子教案是根据作者撰写的电磁场与电磁波电磁场与电磁波(第第 2 版版) 纸质教材编制的，其特色如下：纸质教材编制的，其特色如下： 1. 全教案包括全教案包括12个部分，除了对应纸质教材的个部分，除了对应纸质教材的10章内容，外加目录和前言。章内容，外加目录和前言。 2. 基于基于64
2、学时课堂讲授时间，结合自己的教学经学时课堂讲授时间，结合自己的教学经验，对于纸质教材的内容进行了适当的取舍。突出物理验，对于纸质教材的内容进行了适当的取舍。突出物理概念，减少数学推演。概念，减少数学推演。4 3. 重要名词、定义及概念所用字体皆以红色显示。重要名词、定义及概念所用字体皆以红色显示。 4. 图表尽量使用彩色绘制，且充分利用动画功能。图表尽量使用彩色绘制，且充分利用动画功能。 5. 语言简练、重点突出。画面美观、文字醒目。语言简练、重点突出。画面美观、文字醒目。 6. 本教案是在本教案是在Windows XP 环境下，利用环境下，利用 Office 2003 中中PowerPoin
3、t 软件和软件和Mathtype5.2制作的。若用其他制作的。若用其他软件运行，可能会出现显示错误。软件运行，可能会出现显示错误。5课程名称：电磁场与电磁波课程名称：电磁场与电磁波课程性质：专业技术基础课课程性质：专业技术基础课使用教材：杨儒贵使用教材：杨儒贵 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 北京：高等教育出版社，北京：高等教育出版社，2007适用专业：电子信息类专业适用专业：电子信息类专业制制 作作 者：杨儒贵者：杨儒贵制作单位：西南交通大学理学院电磁所制作单位：西南交通大学理学院电磁所简简 介介6第一章第一章矢量分析矢量分析前前 言言第二章第二章静电场静电场第三章第三章静电场的边值问题静电场
4、的边值问题第四章第四章恒定电流场恒定电流场第五章第五章恒定磁场恒定磁场目目 录录7第八章第八章平面电磁波平面电磁波第九章第九章导行电磁波导行电磁波第十章第十章电磁辐射及原理电磁辐射及原理第六章第六章电磁感应电磁感应第七章第七章时变电磁场时变电磁场8电电 磁磁 场场 与与 电电 磁磁 波波学分学分: 4 学时学时: 64方式方式: 讲授、讨论讲授、讨论教教 学学 目目 的的 通过课堂教学，介绍电磁场与电磁波的基本特性通过课堂教学，介绍电磁场与电磁波的基本特性及规律，内容侧重时变电磁场。及规律，内容侧重时变电磁场。910学学 时时 安安 排排矢量分析：矢量分析：4静电场：静电场：7静电场边值问题：
5、静电场边值问题：4恒定电流场：恒定电流场：3恒定磁场：恒定磁场：6电磁感应：电磁感应：3时变电磁场：时变电磁场：7平面电磁波：平面电磁波：10导行电磁波：导行电磁波：8电磁辐射：电磁辐射：8（总学时（总学时64：讲授：讲授60，机动，机动4）11各各 章章 重重 点点 1. 矢量分析：梯度，散度，旋度，亥姆霍兹定理。矢量分析：梯度，散度，旋度，亥姆霍兹定理。 2. 静电场：电场强度，场方程，边界条件，能量与力。静电场：电场强度，场方程，边界条件，能量与力。 3. 静电场边值问题：电位微分方程，镜像法，分离变量法。静电场边值问题：电位微分方程，镜像法，分离变量法。 4. 恒定电流场：电流，电流连
6、续性原理，能量损耗。恒定电流场：电流，电流连续性原理，能量损耗。 5. 恒定磁场：磁通密度，场方程，边界条件。恒定磁场：磁通密度，场方程，边界条件。126. 电磁感应电磁感应: : 电磁感应定律，自感与互感，能量与力。电磁感应定律，自感与互感，能量与力。 7. 时变电磁场时变电磁场: : 位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。位函数，能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。 8. 平面电磁波：理想介质中的平面波，极化特性，平平面电磁波：理想介质中的平面波，极化特性，平面边界上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，
7、平面边面边界上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界上的斜投射。界上的斜投射。 13 9. 导行电磁波：矩形波导中的电磁波，矩形波导导行电磁波：矩形波导中的电磁波，矩形波导中的中的TE10波，圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。波，圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。 10. 电磁辐射：电流元辐射，天线方向性，线天电磁辐射：电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶原理，镜像原理，互易原理，惠更线，天线阵，对偶原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射。斯原理，面天线辐射。14参参 考考 书书 目目 一、基本参考书一、基本参考书 1 杨儒贵杨儒贵. 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 M
8、. 2 版版. 北京北京: 高等教高等教育出版社育出版社, 2007. 2 谢处方谢处方,饶克谨饶克谨. 电磁场与电磁波电磁场与电磁波M. 4 版版. 北京北京: 高等教育出版社高等教育出版社, 2006. 3 倪光正倪光正. 工程电磁场原理工程电磁场原理M. 北京北京: 高等教育出版高等教育出版社社, 2002. 4 赵克玉赵克玉, 许福永许福永. 微波原理与技术微波原理与技术M. 北京北京: :高等高等教育出版社教育出版社, ,2006. 5 梁昌洪梁昌洪, 谢拥军谢拥军, ,官伯然官伯然. 简明微波简明微波M. 北京北京: :高等高等教育出版社教育出版社, ,2006. 15 二、较深参
9、考书二、较深参考书 1 杨儒贵杨儒贵, 陈达章陈达章, 刘鹏程刘鹏程. 电磁理论电磁理论M.西安西安: 西安交西安交通大学出社通大学出社, 1991 2 楼仁海楼仁海, 符果行符果行, 袁敬闳袁敬闳. 电磁理论电磁理论M. 成都成都: 电子电子科技大学出版社科技大学出版社, 1996 3 傅君眉傅君眉, 冯恩信冯恩信. 高等电磁理论高等电磁理论M. 西安西安: 西安交通西安交通大学出版社大学出版社, 2000 4 杨儒贵杨儒贵. 电磁理论中的辅助函数电磁理论中的辅助函数M. 北京北京: 高等教高等教育出版社，育出版社，1992 5 杨儒贵杨儒贵. 电磁定理和原理及其应用电磁定理和原理及其应用M
10、.成都成都: 西南交西南交通大学出版社通大学出版社, 200216电场和磁场电场和磁场前前 言言 运动电荷或电流产生的场表现为对于磁铁和载流导运动电荷或电流产生的场表现为对于磁铁和载流导体有力的作用，这种物质称为磁场。不随时间变化的磁体有力的作用，这种物质称为磁场。不随时间变化的磁场称为恒定磁场。场称为恒定磁场。 静止电荷产生的场表现为对于带电体有力的作用，静止电荷产生的场表现为对于带电体有力的作用，这种场称为电场。不随时间变化的电场称为静电场。这种场称为电场。不随时间变化的电场称为静电场。 17 如果电荷及电流均随时间改变，它们产生的电场如果电荷及电流均随时间改变，它们产生的电场及磁场也是随
11、时间变化的。时变的电场与时变的磁场及磁场也是随时间变化的。时变的电场与时变的磁场可以相互转化，两者不可分割，它们构成统一的时变可以相互转化，两者不可分割，它们构成统一的时变电磁场。时变电场与时变磁场之间的相互转化作用，电磁场。时变电场与时变磁场之间的相互转化作用，在空间形成了电磁波。在空间形成了电磁波。电电 磁磁 波波 静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，别进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然后再介绍时变电磁场。然后再介绍时变电磁场。18物物 质质 属属 性性 电磁场与电磁波既然是一种物质，
12、它的存在和传电磁场与电磁波既然是一种物质，它的存在和传播无需依赖于任何介质。播无需依赖于任何介质。 电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它具有物质的两种重要属性具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁能量和质量。但是，电磁场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁场与电磁波的能量特性。场与电磁波的能量特性。 对于电磁场与电磁波来说，真空环境通常被称为对于电磁场与电磁波来说，真空环境通常被称为“自由空间自由空间”。19 当空间存在介质时，在电磁场的作用下介质中会当空间存在介质时，在电磁场的作用下
13、介质中会发生极化与磁化现象，结果在介质中又产生二次电场发生极化与磁化现象，结果在介质中又产生二次电场及磁场，从而改变了介质中原先的场分布，这就是场及磁场，从而改变了介质中原先的场分布，这就是场与介质的相互作用现象。与介质的相互作用现象。场场 与与 介介 质质 先介绍真空中的电磁场，然后再讨论介质中的电先介绍真空中的电磁场，然后再讨论介质中的电磁场。磁场。20电荷及电流是产生电磁场惟一的源。电荷及电流是产生电磁场惟一的源。场场 与与 源源研究场与源的关系是电磁理论的基本问题之一。研究场与源的关系是电磁理论的基本问题之一。 引入磁荷及磁流的概念是十分有益的，但是，引入磁荷及磁流的概念是十分有益的，
14、但是，它们仅是假想的。它们仅是假想的。21历历 史史 的的 回回 顾顾22 1873年英国科学家麦克斯韦（年英国科学家麦克斯韦（18311879）提出了）提出了位移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并位移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建立了严格的数学方程建立了严格的数学方程麦克斯韦方程。麦克斯韦方程。重重 大大 突突 破破 麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国年被德国物理学家赫兹（物理学家赫兹（18571894）的实验证实。）的实验证实。 俄国的波波夫及意大利俄国的波波夫及意大利的马可尼于的马可尼于19世纪末先后发世纪末先后发明
15、了使用电磁波作为信息载体的传输技术。明了使用电磁波作为信息载体的传输技术。23电磁场与波的应用电磁场与波的应用 当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥当今的无线通信、广播、雷达、遥控遥测、微波遥感、无线广域网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信感、无线广域网、无线局域网、卫星定位以及光纤通信等信息技术都是利用电磁波作为载体传输信息的。等信息技术都是利用电磁波作为载体传输信息的。 静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术都是基于静电复印、静电除尘以及静电喷漆等技术都是基于静电场对于带电粒子具有力的作用。静电场对于带电粒子具有力的作用。 电磁铁、磁悬浮轴承以及磁悬浮列车等，都是利电磁铁、磁悬浮轴承
16、以及磁悬浮列车等，都是利用磁场力的作用。用磁场力的作用。24B2 隐形轰炸机隐形轰炸机 i rir反反 射射 定定 律律 的的 应应 用用25立立 体体 电电 影影 电电 磁磁 波波 极极 化化 特特 性性 的的 应应 用用26 全全 球球 定定 位位 系系 统统 Global Positioning System(GPS)信信 息息 载载 体体 的的 应应 用用 27*2004年无线上网的设备达到年无线上网的设备达到 15 亿部。亿部。*2004年年60%美国人在工作中使用无线设备。美国人在工作中使用无线设备。*2005年全世界无线上网的人数达到年全世界无线上网的人数达到 4.8 亿。亿。*
17、2007年美国无线商务用户超过年美国无线商务用户超过 1 亿亿。*目前中国的手机用户已有目前中国的手机用户已有 5 亿多。亿多。无无 线线 用用 户户28 新技术的广泛应用促进了电磁理论的发展。由此创新技术的广泛应用促进了电磁理论的发展。由此创建了很多分析电磁场与建了很多分析电磁场与电磁电磁波的新方法，研制了很多电波的新方法，研制了很多电磁性能优越的新材料。磁性能优越的新材料。相互促进，共同发展相互促进，共同发展 随着大容量的高性能及高速度计算机的出现，不但解随着大容量的高性能及高速度计算机的出现，不但解决了很多电磁理论的计算问题，同时也萌生了计算电磁场决了很多电磁理论的计算问题，同时也萌生了
18、计算电磁场与与电磁电磁波的新方法，从而形成计算电磁学的新学科。波的新方法，从而形成计算电磁学的新学科。29电电 磁磁 单单 位位 本书采用国际单位制（本书采用国际单位制（ SI ）。在电磁学中，这种）。在电磁学中，这种单位制的四个基本单位是长度、质量、时间和电流。单位制的四个基本单位是长度、质量、时间和电流。长长度单位为度单位为m（米），质量单位为（米），质量单位为kg（千克），时间单位（千克），时间单位为为s（秒），电流单位为（秒），电流单位为A（安培）。（安培）。对于正弦电磁场使用的时间因子为对于正弦电磁场使用的时间因子为 e j t 。 30第一章第一章 矢量分析矢量分析主主 要要 内内
19、 容容梯度、散度、旋度、梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度4. 无散场和无旋场无散场和无旋场5. 格林定理格林定理 6. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系31yx以浓度表示的标量场以浓度表示的标量场 以箭头表示的矢量场以箭头表示的矢量场A 标量场标量场（）和矢量场和矢量场（A）yx321. 1. 标量场的方向导数与梯度标量场的方向导数与梯度 标量场在某点的方向标量场在某点的方向导数表示
20、标量场自该点沿导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。某一方向上的变化率。 0()( )limlPPPll标量场标量场 在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为Pl PllP33梯度是一个矢量。梯度是一个矢量。gradxyzxyzeee在直角坐标系中，标量场在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为的梯度可表示为式中的式中的grad 是英文字是英文字 gradient 的缩写。的缩写。 某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。34zyxzyxe
21、ee 若引入算符若引入算符，在直角坐标系中该，在直角坐标系中该算符算符 可表可表示为示为grad则梯度可以表示为则梯度可以表示为zxyr OP(x, y, z)r r r P(x , y , z )例例 计算计算 及及 。 R1R1 表示对表示对 x, y, z 运算运算 表示对表示对 运算运算zyx,0Rrr这里这里35zyxzyxeeerzyxzyxeeer解解zyxzzyyxxeeeR)()()(222)()()(zzyyxxRzyxzyxeeezyxzyxeee31RRRRR1131RRR表示源点，表示源点，P 表示场点。表示场点。 Pzxyr OP(x, y, z)r r r P(x
22、 , y , z )36 矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量的面积分称为矢量 A 通过通过该有向曲面该有向曲面 S 的通量，以标量的通量，以标量 表示，即表示，即 2. 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度S d SA通量可为正、负或零。通量可为正、负或零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。37 闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外闭合的有
23、向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。法线方向。 当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源，而洞称为负源。前述的源称为正源，而洞称为负源。S d SAS 38 已已知真空中的电场强度知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量 q 与真与真空介电常数空介电常数 0 之比，即，之比，即， 当闭合面中存在正电荷时，通量
24、为正。当闭合当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。源区中，穿过任一闭合面的通量为零。 0dSqES39 但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。 当闭合面当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭通过该闭合面合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场矢量场 A
25、 在该点的散度，以在该点的散度，以 div A 表示，即表示，即 0 ddiv limSVVASA式中，式中，div 是英文字是英文字divergence 的缩写；的缩写； V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。包围的体积。40 0 ddiv limSVVASA上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。单位体积闭合面的通量。 直角坐标系中散度可表示为直角坐标系中散度可表示为 div yxzAAAxyzA因此散度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为div AA41 div d dVSV AAS散度定理散度定理 d dVSVAA
26、S或者写为或者写为 从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体积分的关系。体积分的关系。 从物理角度可以理解为散度定理建从物理角度可以理解为散度定理建立了区域立了区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的边界的边界 S 上的场之上的场之间的关系。因此，如果已知区域间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，中的场， 根据根据散散度度定理即可求出边界定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。42例例 求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度的散度 。3zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer已知已知解解rOxzyxzy4
27、3zyxzyxeee标量场的梯度标量场的梯度 0 ddiv limSVVASAzAyAxAzyx A矢量场的散度矢量场的散度矢量场的旋度？矢量场的旋度？zyxzyxeee算子算子44 矢量场矢量场 A 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量的线积分称为矢量场场 A 沿该曲线的环量，以沿该曲线的环量，以 表示，即表示，即3. 矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度 dlAl可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处的方向处处与线元处与线元 dl 的方向保持一致，则环量的方向保持一致，则环量 0；若处；若处处相反，则处相反，则 0 。可见，环量可
28、以用来描述矢量。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。场的旋涡特性。l45 已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁与真空磁导率导率 0 的乘积。即的乘积。即 式中，电流式中，电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。关系。0 dlIBl 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特
29、性。为此，需要研究矢量场的旋度。显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。I1 I246 旋度是一个矢量。以符号旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量表示矢量 A 的的旋度，其方向是使矢量旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 maxn0 dcurl limlSSAlAe式中式中 curl 是旋度的英文字是旋度的英文字；en 为为最大环量强度的方最大环量强度的方向上的单位矢量，向上的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。包围的面积。 矢量场的旋度大小可以
30、认为是包围单位面积的矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。闭合曲线上的最大环量。 en1en2en47直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为 curl xyzxyzxyzAAAeeeA或者或者curl AA 无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性描述的是场的点特性或称为微分特性。 函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也
31、就不存在前述的梯度、散度或旋度。生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。 48旋度定理（斯托克斯定理）旋度定理（斯托克斯定理） (curl ) d dSlASAl 从数学角度可以认为从数学角度可以认为旋度旋度定理建立了面积分和线定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为积分的关系。从物理角度可以理解为旋度旋度定理建立了定理建立了区域区域 S中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的边界的边界 l 上的场之间的关上的场之间的关系。因此，如果已知区域系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即中的场，根据旋度定理即可求出边界可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。
32、() d dSlASAl或者或者49例例 试证任何矢量场试证任何矢量场 A 均满足下列等式均满足下列等式 ()d dVSV AAS式中，式中，S 为包围体积为包围体积 V 的闭合表的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，面。此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。或矢量斯托克斯定理。证证ACACCAAC)(设设 C 为任一常矢量，则为任一常矢量，则SVAne50根据散度定理，上式左端根据散度定理，上式左端VVVV d d)(ACAC ()d ( ) dVSVC ACAS (d ) dSSC ASCAS那么对于任一体积那么对于任一体积 V，得，得 ()d dVSV CACAS求得求得ACACCA
33、AC)(51 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场为零的矢量场称为无旋场。 4. 无散场和无旋场无散场和无旋场可以证明可以证明0)(A 上式表明，任一矢量场上式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等的旋度的散度一定等于零于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。52 上式表明，任一标量场上式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个等于零。因此，任一无旋场一定
34、可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场场。 0)(又可证明又可证明535. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域若在区域 V 中具有连续的二阶偏中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场导数，可以证明该两个标量场 及及 满足下列等式满足下列等式SV,ne2 ()ddVSVSn式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面；的闭合曲面； 为标量场为标量场 在在 S 表面表面的外法线的外法线 en 方向上的偏导数。方向上的偏导数。n54根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成2
35、 ()d() dVSV S上两式称为上两式称为标量第一格林定理。标量第一格林定理。22 ()ddVSVSnn22 ()d dVSV S基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理。上两式称为标量第二格林定理。 55 设任意两个矢量场设任意两个矢量场 P 与与 Q ，若在区域，若在区域 V 中具有连中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及及 Q 满足下列等式：满足下列等式： () ()d dVSV PQPQPQS式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面；面元的闭合曲面；面元 dS 的方向为的方向为S 的外的外法线
36、方向。上式称为矢量第一格林定理。法线方向。上式称为矢量第一格林定理。 56基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式： ()(d dVSV QPPQPQQPS此式称为矢量第二格林定理。此式称为矢量第二格林定理。57 格林定理建立了区域格林定理建立了区域 V 中的场与边界中的场与边界 S 上的场上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。求解问题转变为边界上场的求解问题。 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，足的关系
37、。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。586. 矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。VSF(r)tn FFFF和 及或5
38、9 若矢量场若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的，在无限区域中处处是单值的， 且其且其导数连续有界，源分布在有限区域导数连续有界，源分布在有限区域V 中，则当矢量场中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为可以表示为 7. 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 )()()(rArrFVVd)(41)(rrrFrAVVd)(41)(rrrFr式中式中V zxyr Or r r F(r)60 该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性矢量场的散度及旋度特性是研
39、究矢量场的首要问题是研究矢量场的首要问题。 )()()(rArrF618. 正交曲面坐标系正交曲面坐标系 直角坐标系直角坐标系( ( x, y , z ) )zxyz = z0 x = x0y = y0P0zexeyeO62圆柱坐标系圆柱坐标系( r, , z )yzxP0 0 = 0r = r0z = z0rezeeO63球坐标系球坐标系( r, , ) = 0 x z y 0 0r = r 0 = 0ereeP0O64微分单元的表示微分单元的表示球坐标系球坐标系d sin d ddrrrreeeld dd d sin d d sind2rrrrrreeeSd d d sind2rrV 圆柱
40、坐标系圆柱坐标系zrrzrdd ddeeeld d d dd d drrzrzrzreeeSzrrVd d d d直角坐标系直角坐标系zyxzyxddddeeelyxzxzyzyxddddd ddeeeSzyxVd d dd65zzryrxsincos22arctanrxyyxzz坐标变量的转换坐标变量的转换cossinsincossinrzryrx22222arctanarctanrxyzxyzyx66zyxzrAAAAAA 1000cossin0sincoszyxrAAAAAA 0cossinsinsincoscoscoscossinsincossinzrrAAAAAA 010sin0co
41、scos0sin矢量分量的转换矢量分量的转换67zrcbaeeeAeeeAcbar 又知矢量又知矢量 A 在在圆柱坐标系和球坐标系中可分别圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示表示为为式中，式中， a, b, c 均为常数。均为常数。A 是常矢量吗？是常矢量吗？zyxcbaeeeA已知矢量已知矢量 A 在在直角坐标系中可表示直角坐标系中可表示为为式中，式中， a, b, c 均为常数。均为常数。A 是常矢量吗？是常矢量吗？68第二章第二章 静电场静电场 主主 要要 内内 容容电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力1. 电场强度电场强度
42、2. 真空中静电场方程真空中静电场方程3. 电位与等位面电位与等位面4. 介质极化介质极化5. 介质中的静电场方程介质中的静电场方程6. 两种介质的边界条件两种介质的边界条件7. 介质与导体的边界条件介质与导体的边界条件8. 电容电容9. 电场能量电场能量10. 电场力电场力691. 电场强度电场强度 电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度强度，以以E 表示表示。 qFE式中式中, ,q 为试验电荷的电荷量为试验电荷的电荷量; ;F 为电荷为电荷q 受到的作用力。受到的作用力。 电场强度通过任一曲面的通量称为电通电场强度通过任一曲面的通量称为电
43、通，以以 表示，即表示，即 dSES700d lE电场线方程电场线方程电场管电场管带电平行板带电平行板 负电荷负电荷 正电荷正电荷 几种典型的电场线分布几种典型的电场线分布电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。712. 真空中静电场方程真空中静电场方程 实验表明，真空中静电场的电场强度实验表明，真空中静电场的电场强度 E 满足满足下列两个积分形式的方程下列两个积分形式的方程 0 dqSES d0lEl式中，式中，0 为真空介电常数。为真空介电常数。129018.854 187 81710 (F/m)10 (F/m)3672此式表明，真空中静电场的电场强
44、度沿任一条闭此式表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。合曲线的环量为零。 0 dqSES d0lEl此式称为高斯定此式称为高斯定律律。它表明真空中静电场的电场。它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电荷量与真空介电常数之比。包围的电荷量与真空介电常数之比。73 根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度分别为分别为0 E0E左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比等于该点的电荷体
45、密度与真空介电常数之比。右式。右式表明，表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。 0 dqSES d0lEl真空中静电场是有散无旋场。真空中静电场是有散无旋场。74 已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度据亥姆霍兹定理，电场强度E 应为应为 AEVVVV d)( 41)(d)( 41)(|rr |rErA|rr |rErxPzyrOVd)(rrrr75VV 0d)(41)(|rr |rr0)(rA求得求得E因此因此 标量函数标量函数 称为电位。因此，上式表明真空称为电位。因此，上式表明真空
46、中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。负值。0 E0E已知已知76E 按照国家标准，电位以小写希腊字母按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为表示，上式应写为 将电位表达式代入，求得电场强度与电荷将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为密度的关系为VVd4)()(30rrrrrrE77 若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度强度与电荷的面密度 S 及线密度及线密度l 的关
47、系分别为的关系分别为SSS 0d|)(41)(|rrrrSSS 30d|)(41)(|rrrrrrEll d)(41)(0|rr |rrllll 30d|)(41)(|rrrrrrE78（1 1）高斯定律中的电荷量）高斯定律中的电荷量q 应理解为封闭面应理解为封闭面 S 所包所包围的全部正、负电荷的总和。围的全部正、负电荷的总和。 静电场几个重要特性静电场几个重要特性（2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。能相交。（3）任意两点之间电场强度任意两点之间电场强度 E 的的线积分与路径无线积分与路径无关，它是一种保守场。关，它是一种保守场。 7
48、9（4）若）若电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：电荷分布已知，计算静电场的三种方法是：直接根据电荷分布计算电场强度直接根据电荷分布计算电场强度通过电位求出电场强度通过电位求出电场强度利用高斯定律计算电场强度利用高斯定律计算电场强度80例例1 计算点电荷的电场强度。计算点电荷的电场强度。 解解 利用高斯定律求解。取中利用高斯定律求解。取中心位于点电荷的球面为高斯面，得心位于点电荷的球面为高斯面，得 0dSqES上式左端上式左端积分为为 2n d dd4SSSE Sr EESE eS得得204qErr204qrEe或或 xzy高斯面高斯面81 也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当也可通过电
49、位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，点电荷位于坐标原点时， 。那么点电荷的。那么点电荷的电位为电位为r|rrrq04)(rrrqrqeE200414求得电场强度求得电场强度 E 为为 rVrrqVreerE20 204d4)(若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E 为为 82例例2 计算电偶极子的电场强度。计算电偶极子的电场强度。 解解 由于电位及电场强度均与由于电位及电场强度均与电荷量的一次方成正比。因此，可电荷量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电产生的
50、电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为偶极子产生的电位应为 rrrrqrqrq000444xq+qzylrrr+O83 若观察距离远大于间距若观察距离远大于间距 l ，则可认为则可认为 , , ，那么，那么/rree/rreecoslrr2cos2cos2rlrlrrrxq+qzylrrr+O式中，式中，l 的方向规定由负电荷指向正电荷。的方向规定由负电荷指向正电荷。)(4cos42020rrqlrqel求得求得84乘积乘积 q l 称为电偶极子的电矩，以称为电偶极子的电矩，以 p 表示，即表示，即lpq2200cos44rprrp e那么电偶极子产生的电位可用电矩那么电偶极子产生的电位