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1、恒成立问题常见类型及解法恒成立问题常见类型及解法恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1） 一次函数型； （2） 二次函数型；（3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。一、一次函数型一、一次函数型给定一次函数y f (x) kxb(k0),若y f (x)在m,n内恒有f (x)0，则根据函数的k 0f(m) 0k 0图象（线段）可得或，也可合并成，f (n) 0f(n) 0f (m) 0f(m) 0m,nf (x) 0.同理，若在内恒有，则有f(n) 0典例典例 1.1.若不等式若不等式 2 2x 11m x 1对一切对一切m
2、2,2都成立，求实数都成立，求实数x的取值范围。的取值范围。2yyomnxomnx【解析】令f(m)（x21）m2x1，则上述问题即可转化为关于m的一次函数y f (m)在区间-2，2内函数值小于 0 恒成立的问题。考察区间端点，只要 f (2)07 13 17 13 1，解得解得x,即x的取值范围是（，）.f (2)02222二、二次函数型二、二次函数型若二次函数若二次函数y ax bxc2(a 0,xR)的函数值大于（或小于）的函数值大于（或小于）0 0 恒成立，则有恒成立，则有 a 0a 0（或（或） ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以，若是二次函数在指定区间上
3、的恒成立问题，还可以利用韦达定理以D 0.那么原方程有解即方程 t +(4+a)t+4=0 有正根。x2 0(4a)216 0a 0或a 8x1 x2 (4a) 0，即，解得a-8.a 4a 4x gx 4 012方法 2（利用根与系数的分布知识）即要求 t +(4+a)t+4=0 有正根。设 f(t)= t +(4+a)t+4.22y4ox当=0 时，即（4+a） -16=0,a=0 或a=-8.2当a=0 时，f(t)=(t+2)2=0,得 t=20,符合题意。a=-8。2当0，即a0 时，f(0)=40,故只需对称轴三三、变量分离型、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量
4、的范围已知，另一个变量的范围为若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。转化成函数的最值问题求解。2典例 3 设函数f (x) x 1， 对任意x,，f4a 0，即a4.a8. 综上可得a8.223 x 24m f (x) f (x1)4 f (m)m恒成立，则实数m的取值范围是3x2【解析】依据题意得214m2(x21) (x1)214(m21)在x ,)上恒定成2m132324m
5、 1x ,)上恒成立。在m2x2x23325当x 时函数y 21取得最小值，2xx3立，即所以15332224m ，即(3m 1)(4m 3) 0，解得m 或m 。2m322四、利用函数的性质解决恒成立问题四、利用函数的性质解决恒成立问题若函数若函数 f(x)f(x)是奇是奇( (偶偶) )函数，则对一切定义域中的函数，则对一切定义域中的 x,f(-x)=x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成恒成立；若函数立；若函数 y=f(x)y=f(x)的周期为的周期为 T T，则对一切定义域中的，则对一切定义域中的 x,x,有有 f(x)=f(x+T)f(x
6、)=f(x+T)恒成立；若函数恒成立；若函数图象平移前后互相重合，则函数解析式相等。图象平移前后互相重合，则函数解析式相等。典例典例 4 4 将函数将函数f (x) sin(x)的图像向左平移的图像向左平移则则的值不可能的值不可能等于（等于（） A.4 B.6 C.8 D.12 A.4 B.6 C.8 D.12【解析】选 B，把图象向左平移个单位。若所得图象与原图象重合，个单位。若所得图象与原图象重合，2个单位得2y sinx sinx ，22又该函数图像与原函数图像重合，所以sinx sinx 恒成立，2 2k， 4kkZ，所以 k 不可能为 6。2五、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题五
7、、把不等式恒成立问题转化为函数图象问题若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题，然后从图象中寻找条件，就能解决问题。找条件，就能解决问题。典例典例 5 5 若不等式若不等式logax sin2x (a 0且a 1)对于任意对于任意x(0,范围范围. .【解析】作出函数【解析】作出函数y sin2x的图象，由题意知的图象，由题意知 在在x(0,(0,图象总在函
8、数图象总在函数y sin2x的图象的上方的图象的上方. .作直线作直线x= =区间区间4都成立，都成立， 求求a的取值的取值上，函数上，函数y logax的的40 a 1。， 与与y logax和和y sin2x的图象分别交于的图象分别交于 A A、 B B 两点，两点， 为保证为保证y logax在在4（0 0，上的图象在上的图象在y sin2x图象的上方，图象的上方， 不难从图中得到其条件是点不难从图中得到其条件是点 A A 在点在点 B B 的上方。的上方。时，时，log当当x= =44asin(2) 1 logaa, , 又又0 a 1，得，得 a11。444六、采用逆向思维，考虑使用
9、反证法六、采用逆向思维，考虑使用反证法恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有“柳暗花明恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果，所谓“正难则反”就是这个道理。又一村”的效果，所谓“正难则反”就是这个道理。典 例 6 设设y f (x)是是 定定 义义 在在 实实 数数 集集R上上 的的 函函 数数 ， 对对 任任 意意 实实 数数x1、x2都都 有有f (x1 x2) f (x1) f (x2)，且存在实数，且存在实数a，使，使f (a) 0。求证：对任意实数。求证：对任意实数x，f (x) 0恒成立。恒成立。【解析】这
10、是一个抽象函数的证明题，由f (x1 x2) f (x1) f (x2)，只要令x1 x22x，2xxxxx 就能得到f (x) f () f ( ) f ( ) f ( ) 0，接下来要证明对任意实数x，22222f (x)都不等于0。这是一个恒成立问题。 从正面直接证明比较困难， 所以可以考虑反证法，即如果找到一个x0R使f (x0) 0，能推出矛盾就行了。事实上，若存在x0R使f (x0) 0，则对任意实数x，有f (x) f(x x0) x0 f (x x0) f (x0) 0，显然这与题设“存在实数a，使f (a) 0”矛盾。1对任意对任意 x x1,+1,+),f(mx)+mf(x
11、),f(mx)+mf(x)0 0 恒成立，则实数恒成立，则实数mm 的取的取【变式【变式 1 1】设函数】设函数fx x ，x值范围是值范围是_._.【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论.1,x1,+),f(mx)+mf(x)0,x1m110, m(x )0,2mx mx mxxmxx【规范解答】fx x 由 f(mx)+mf(x)0 在 x1,+)上恒成立知，mx2m2x2-(1+m2)0 在 x1,+)上恒成立,1m2m0.当 m0 时，只要 2m x -(1+m )0 恒成立即可,即x,22m2 2221m2x1,+),1,m21,m-1.22m当 m0 时，只要 2m2x2-(1+m2)0 恒成立即可,1m2.x1,+),即x2m221m2不恒成立.综上，实数 m 的取值范围为(-,-1).x2m22【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系， 解决不等式恒成立问题， 通常先分离参数，再转化为最值问题来解：cf(x)恒成立cf(x)恒成立cf(x)max;cf(x)min.2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决.