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1、学习必备 欢迎下载 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型 1：设 f(x)=ax+b f(x)0 在 x nm,上恒成立 0)(0)(nfmf f(x)0 在 x nm,上恒成立0)(0)(nfmf.例1.设 y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若 t 在-2,2 上变化，y 恒取正值，求实数 x 的取值范围。解：设 f(t)=y=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1，t-2,2 问题转化为：f(t)0 对 t-2,2 恒成立 0)2(0)2(ff 01)(log03log4)(log22222xxx 0 x21或 x8。故实数 x 的取值范围是（0，2
2、1）（8，+）。例2.对于-1a1,求使不等式(21)axx 2(21)12 ax恒成立的 x 的取值范围。解：原不等式等价于 x2+ax0 在 a-1,1 上恒成立,则须满足 0)1(0)1(ff023022xxxxx2 或 x0 故实数的取值范围是(-,0)(2,+).类型 2：设 f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)0 在 xR上恒成立a0 且0;f(x)0 在 xR上恒成立a0 且0.说明：.只适用于一元二次不等式.若未指明二次项系数不等于 0，注意分类讨论.例 3.不等式3642222xxmmxx1 对一切实数 x 恒成立，求实数 m的取值范围。解：由 4x2+6x+3=(2x
3、+23)2+430,对一切实数 x 恒成立，从而，原不等式等价于 2x2+2mx+m 4x2+6x+3,(x R)即：2x2+(6-2m)x+(3-m)0 对一切实数 x 恒成立。则=（6-2m）2-8(3-m)0 解得：1m 3 故实数 m的取值范围是（1，3）。类型 3：设 f(x)=ax2+bx+c(a0)（1）当 a0 时 学习必备 欢迎下载 f(x)0 在 x nm,上恒成立 0)(2mfmab或onabm2或0)(2nfnab 0)(2mfmab或0 或0)(2nfnab.f(x)0 在 x nm,上恒成立0)(0)(nfmf.（2）当 a0 时 f(x)0 在 x nm,上恒成立
4、 0)(0)(nfmf f(x)0 在 x nm,上恒成立 0)(2mfmab或onabm2或0)(2nfnab 0)(2mfmab或0 或0)(2nfnab.说明：只适用于一元二次不等式.类型 4：af(x)恒成立对 xD恒成立af(x)max，af(x)对 xD恒成立 af(x)min.说明：.f(x)可以是任意函数 .这种思路是：首先是-分离变量，其次用-极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若 f(x)不存在最值，可求出 f(x)的范围，问题同样可以解出。例 4.（2000.上海）已知 f(x)=xaxx 22 0 在 x,1上恒成立，求实数 a 的取值范围。分析 1：当 x,1时，f
5、(x)0 恒成立，等价于 x2+2x+a0 恒成立,只需求出 g(x)=x2+2x+a 在,1上的最小值，使最小值大于 0 即可求出实数 a 的取值范围。解法 1：f(x)=xaxx 22 0 对 x,1恒成立 式等价于在上恒成立设则是的一次函数或常数函数要使在上恒成立则须立求实数的取值范围解由对一切实数恒成立从而原不等式等价于即对一二次不等式类型恒成立对恒成立对恒成立说明可以是任意函数这种思路学习必备 欢迎下载 x2+2x+a0 对 x,1恒成立。设 g(x)=x2+2x+a x,1 问题转化为：g(x)min 0 g(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,x,1 g(x)在,1上是增
6、函数。g(x)min=g(1)=3+a 3+a 0 a-3 即所求实数 a 的取值范围为 a-3。分析 2：分离变量，转化为 af(x)或 af(x)恒成立问题，然后利用极端值原理：af(x)恒成立af(x)max af(x)恒成立 af(x)min.解法 2：f(x)=xaxx 22 0 对 x,1恒成立 x2+2x+a0 对 x,1恒成立。a-（x2+2x）对 x,1恒成立。设(x)=-（x2+2x）x,1 问题转化为：a(x)max (x)=-（x2+2x）=-(x+1)2+1 x,1(x)在,1上是减函数。(x)max=(1)=-3 a-3 即所求实数 a 的取值范围为 a-3。例 5
7、.已知 x1,时,不等式 1+2x+(a-a2).4x0 恒成立，求实数 a 的取值范围。分析：要求 a 的取值范围，如何构造关于 a 的不等式是关键，利用分离变量的方法可达到目的。解：设 2x=t,x1,t 2,0 原不等式可化为：a-a221tt.要使上式对 t 2,0恒成立，只需：式等价于在上恒成立设则是的一次函数或常数函数要使在上恒成立则须立求实数的取值范围解由对一切实数恒成立从而原不等式等价于即对一二次不等式类型恒成立对恒成立对恒成立说明可以是任意函数这种思路学习必备 欢迎下载 a-a2（21tt）max.t 2,0 21tt=-(211t)2+41 由,211t （21tt）max
8、=-43 a-a2-43 即：4a2-4a-30 从而-21a23 类型 5：.f(x)g(x)对任意 xD恒成立 .f(x1)g(x2)对任意 x1、x2D恒成立 例 6 已知 f(x)=-x3+ax,其中 aR，g(x)=-21x23，且 f(x)g(x)在 x1,0上恒成立，求实数 a 的取值范围。分析：有的同学把“f(x)g(x)在 x1,0上恒成立”转化为：“当 x1,0时，f(x)max g（x）min,”然后求出a 的取值范围。这种方法对吗？我们先来看一个例子，如图，当 x0，1 时，f(x)max=0，g（x）min=-21，并不满足 f(x)max g（x）min 显然这种转
9、化方式是不对的。错在哪里呢？原因在于用分离变量方法得到的不等式一边是参数，另一边是 x 的函数关系式。而此题解法中的不等式，两边都是关于 x 的函数关系式，所以上面这种转化方式是错的。正确的方法是先分离变量，再利用极端值原理。解：f(x)g(x)在 x1,0上恒成立 -x3+ax+21x230 对 x1,0恒成立 a x2-21x21对 x1,0恒成立 设 h(x)=x2-21x21 x 1,0 21 1 g(x)=-x+21 f(x)=-2x2 式等价于在上恒成立设则是的一次函数或常数函数要使在上恒成立则须立求实数的取值范围解由对一切实数恒成立从而原不等式等价于即对一二次不等式类型恒成立对恒
10、成立对恒成立说明可以是任意函数这种思路学习必备 欢迎下载 问题转化为：ah(x)min h/(x)=2x-x41=xxxx4124.12 由 h/(x)=0，得 x=41 当 x 41,0时 h(x)0，h(x)在41,0递减。当 x1,41 时 h(x)0，h(x)在1,41 递减。h(x)在 x=41时取最小值，h(x)min=163 a163 例 7.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中 kR（1）若对任意的 x-3,3,都有 f(x)g(x)成立，求 k 的取值范围；（2）若对任意的 x21,x-3,3,都有 f(x1)g(x2)，求 k 的取值范围。方法：.“f(x)g(x)对任意 xD恒成立”可通过分离变量，极端值原理可求得。.“f(x1)g(x2)对任意 x1、x2D恒成立”f(x)min max)(xg 式等价于在上恒成立设则是的一次函数或常数函数要使在上恒成立则须立求实数的取值范围解由对一切实数恒成立从而原不等式等价于即对一二次不等式类型恒成立对恒成立对恒成立说明可以是任意函数这种思路