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1、性质性质 3.6且且点可导点可导在在则则点可导点可导在在而而点可导点可导在在设设,)(,)()(,)(0000 xxgfyxguufyxxgu )63(dddddd xuuyxy00)(ddxxxxxgfxy )(dd xgfxy写写成成导导函函数数的的形形式式为为简写为简写为)()(00 xguf )43()()(00 xgxgf)53()()( xgxgf.链链式式法法则则称称之之为为复复合合函函数数导导数数的的xuxuyy 或或链式法则：复合函数对自变量的导数等于链式法则：复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。变量的
2、导数。yux推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.例如例如,)(, )(, )(xvvuufy xydd)()()(xvuf yuvxuyddvuddxvdd关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导由外向内逐层求导.例例.ln的导数的导数求求xy 解解,), 0(时时 x;1x 因此因此), 0()0 ,(,1)(ln xxx,)0,(时时 x)1(1 u)()(ln xuu) )(ln( xy则则,ln xy ;1)(lnxxy ),ln( xy ,lnxuuy 令令设置中间变量求导后，一定要换回原变量。设置中间变量求导后，一定要
3、换回原变量。链式法则对多重复合函数同样适用，这时应搞清函链式法则对多重复合函数同样适用，这时应搞清函数的复合层次，求导时，从最外层开始，逐层依次数的复合层次，求导时，从最外层开始，逐层依次求导，注意不要遗漏。求导，注意不要遗漏。yxy 的的导导数数求求例例2arctanln.,2,arctan,lnxvvuuy 设设由由链链式式规规则则有有 xvuxvuy2)(arctan)(ln211112vu)2arctan()4(22xx解解的导数。的导数。，练习：求练习：求xxyxyln82)21( ;)(ln1ln22ln;)21(16:2ln7xxyxykeyxx yxy 的的导导数数求求例例2)
4、21sin(.解解xwwvvuuy21,sin,2 设设 xwvuxwvuy)21()(sin)(2 )2(21cos2 wvuxxx21121cos)21sin(2 yxeyx 求求设设例例,2sin.)2(sin2sin)( xexeyxxxxex2sin)( xex2sin xxxex2sin22cos在熟练掌握链式法则后，不写出中间变量会更简便些。在熟练掌握链式法则后，不写出中间变量会更简便些。例例.设设求求.y2111)(lnlnaaxaaxaxaaxaaxaa ),0( aaaxyxaaaxa1 aaaxayaaaxln 1 axaaaxaln aaxln 解解解解)2(2cos
5、xxex22212cos xxexyeyx ，求，求已知已知)(sec212练习：求下列复合函数的导数：练习：求下列复合函数的导数：xeyKey1sin)1( ：）（）0, 0arccos5 ,3tan46tan1arctan3 ,arcsin2 ,12221sin axxaaxyxeyxyyeyxx .)5(222axxaxy )3(tan3tan)()4(22 xexeyxx2111)3(xy arcsin)2( y)1(2x x1cos 21)1(2x 211x xex3tan22 xex3sec322 11xxxxeexyeyxxyxyarcsin1)4( ;2)cos(ln)3(12
6、arctan)2( ;2sintanln)1(:225 数数练练习习：求求下下列列函函数数的的导导xxxxxxxxeeeexeyxeeyxyxxykey 222242)(1111)4(;52ln2)tan()3(12)2(;cossin1)1(:5对于既含有四则运算又有复合函数运算的函数，求导时，是先对于既含有四则运算又有复合函数运算的函数，求导时，是先运用哪个运算的求导法则，应根据具体情况决定。如果从总体运用哪个运算的求导法则，应根据具体情况决定。如果从总体看是通过函数四则运算得到，则首先运用四则求导法则。如果看是通过函数四则运算得到，则首先运用四则求导法则。如果整体看函数是复合函数。则先运
7、用复合函数求导法则。整体看函数是复合函数。则先运用复合函数求导法则。yxffyxxf 求求设设例例),(),1ln()(.)1ln(1ln)(1ln)(xxfxffy )1ln(1ln xy )1ln(1)1ln(11 xx111)1ln(11xx解解,0100, 1)1()(22 xxxkxxekkxfx设设).0(,0)(,)2(0)()1(fxxfkxxfk 并求出并求出处可导处可导在在取什么值时取什么值时讨论讨论处连续？处连续？在在取什么值时，取什么值时，讨论讨论处处是是否否连连续续？在在的的表表达达式式，并并判判别别求求设设例例0)()(,0001sin)(.2 xxfxfxxxxx
8、fxxxfx1sin)(02 时，时，当当xxxf1sin2)( xxx1cos1sin2 0)0()(lim)0(0 xfxffx又又xxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 0 解解)1(1cos22xxx 分段函数分段点处的可导性严格用定义判断！分段函数分段点处的可导性严格用定义判断！求分段函数导函数时，先求各分段子区间上初等求分段函数导函数时，先求各分段子区间上初等函数的导数，然后再讨论各分段点的可导性。函数的导数，然后再讨论各分段点的可导性。当然若函数在分段点不连续，则一定不可当然若函数在分段点不连续，则一定不可导，此时不必再用点导数定义式判断这点导，此时不必再用点导数定
9、义式判断这点的可导性了。的可导性了。 0001cos1sin2)(xxxxxxf故故)1cos1sin2(lim)(lim00 xxxxfxx 由由于于处不连续。处不连续。在在故故0)( xxf不存在，不存在， 0301)(2xxxxx 例例点也是不可导点。点也是不可导点。故故点不连续，点不连续，在在00)( xxx 例例.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy为求导方便起见，对于函数积或商的对数的求导，一为求导方便起见，对于函数积或商的对数的求导，一般先化成对数函数的和或差以后再求导可简化运算。般先化成对数函数的和或差以后再求导可简化运算。),2ln(31)1ln(212 xx
10、y )2ln(31 )1ln(212 xxy)2(3112 xxxxxy 11ln1)2(31211212xxx11:2 xyKey解解.)()(.)(为为可可导导函函数数，其其中中的的导导数数求求例例xfyeefyxfx )( )()()(xfxxfxeefeefy)()(xfxxeeef 抽抽象象函函数数的的求求导导一一 ).()()(2)(coscossin2)(sin:22xfxfxfxxxfykey 设设其中其中可导可导, 求求,)(xfffy )(xf.y )(fy )(xff)(xf)(f )(xf .,)(),(sin)(sin22yxfxfxfy 求求可导可导其中其中练习：练
11、习：解解解解例例. .两项意两项意思不同思不同)()()(xfeefxfx 例例. 设设, )()()(xaxxf 其中其中)(x 在在ax 因因)()()()(xaxxxf 故故)()(aaf axafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim )(limxax )(a 正确解法正确解法:时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续处连续,)(af 解解 . 00,0,. ffxf则则存存在在且且为为偶偶函函数数证证明明：若若例例为为偶偶函函数数，则则若若)(xf)()(xfxf .,;,其其导导函函数数必必为为偶偶函函数数对对于于可可导导的的奇奇函函数数其其导导
12、函函数数必必为为奇奇函函数数对对于于可可导导的的偶偶函函数数练习证明：练习证明：0)0()(lim)0(0 xfxffx0)0()(lim0 xfxfxxfxfx )0()(lim00)0()(lim0 xfxfx)0(f 00 f解解.)(0),(称称为为隐隐函函数数所所确确定定的的函函数数由由方方程程xyyyxF 表表达达。和和通通过过求求导导，并并将将然然后后对对等等式式两两端端关关于于的的复复合合函函数数。最最终终为为关关于于则则恒恒等等式式看看成成：将将方方程程求求隐隐函函数数导导数数的的要要领领是是yxyxxFxyxFyxF , 0)(,(0),(.)(0132.的的导导数数确确定
13、定的的隐隐函函数数求求由由例例xyyyx 01)(32 xyx将将原原方方程程视视为为求求导导，则则对对方方程程两两边边关关于于 x032 y.32 y从从而而解解隐隐函函数数的的求求导导二二 ).(01 2 -xy例如例如22)1(xy 并并证证明明法法线线过过原原点点。的的切切线线方方程程上上点点求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线例例.)1 , 1(,2.CeeyxCxy )1(1 xy. 2 yx即即11 xy法线方程为法线方程为所所求求的的切切线线方方程程为为.显然通过原点显然通过原点:求求导导方方程程两两边边对对 x)(1yxyeyxy )1,1(11)1,1(xyxyxeyey
14、. 1 xyxyxeyey 11,xy 即即解解.,才才是是自自变变量量而而的的函函数数，是是要要始始终终注注意意到到隐隐函函数数求求导导过过程程中中xxy结果往往为结果往往为x,yx,y的的二元函数形式二元函数形式; 0)cos()2(; 0)1( yxyeexyyx数的导数：数的导数：练习：一、求下列隐函练习：一、求下列隐函是一个可导的函数。是一个可导的函数。其中其中求求的隐函数，的隐函数，是是确定确定例、由方程例、由方程)(,0)()(22xfyxyxyxfxfy ;)sin(1)sin()2( ; (1):eyyxyxyexyedxdykyx )()(2)()(2:2yfxxyfyfx
15、fyxykey .,22dxdyfyxfy求求可可导导其其中中设设二二、 )()(222222yxfyyxyxfxyKey：对对数数求求导导法法三三 )(例例).(,2122xyxxxy 求求设设解解两边取对数可得：两边取对数可得：xxxy 2221lnlnxxx 222ln1ln21的复合函数，的复合函数，等式左边为等式左边为x:求导得求导得等式两边关于等式两边关于x )()(xyxyxx211212 xxx 2214xxxxx 222141.)2(12412223xxxxx xxxxxxxxxy2222214121)(.,或幂指函数求导或幂指函数求导适用于若干项乘除幂适用于若干项乘除幂先先
16、两边取对数，然后利用复合函数求导。两边取对数，然后利用复合函数求导。对数求导法：对数求导法：例例. .)(, )(,0)(,)()(可导可导其中其中求求设设xvxuxuyxuyxv 解解两边取对数可得：两边取对数可得：)()(lnlnxvxuy )(ln)(xuxv 的复合函数，的复合函数，等式左边为等式左边为x:求导得求导得等式两边关于等式两边关于x yy)()(1)()(ln)(xuxuxvxuxv .)()()()(ln)()()()( xuxvxuxuxvxuxyxv因此因此注：注：对于幂指函数绝对不可用幂函数或指数函数的导对于幂指函数绝对不可用幂函数或指数函数的导数公式！用对数求导法
17、！数公式！用对数求导法！ .0,10021fxxxxy 求求设设直直接接用用定定义义求求：0)0()(lim)0(0 xfxffx xxxxxx 10021lim0 xxxx 10021lim0!100 两边取对数，得：两边取对数，得：xxxxy 100ln2ln1lnlnln()方法方法2 2 利用求导公式利用求导公式. .处导数。处导数。处无意义，不能求在处无意义，不能求在这时在这时在00 xx解解)0(tan)(tan)4(1sin)3()1()2()1()3(2)1(sin54 xxyexxyxxyxxxyxxx下下列列函函数数的的导导数数：练练习习：用用对对数数求求导导法法求求)1,
18、0,0()5( babaaxxbbaybax函数求导小结函数求导小结 初初等等函函数数函函数数分分段段函函数数在在分分段段点点处处.)(导导数数定定义义严严格格讨讨论论点点用用或幂指函数或幂指函数若干项乘除幂运算若干项乘除幂运算,抽象函数求导类似抽象函数求导类似.对数求导法对数求导法 xfy显式显式,514法则法则公式公式 0, yxF隐式隐式隐函数求导隐函数求导处处处处可可导导。使使函函数数和和思思考考：确确定定常常数数 1)1(sin1)ln()(22xxbxaxxfba对于含有参数的分段函数，要确定其参数值时，对于含有参数的分段函数，要确定其参数值时，一般通过分段点的连续性、可导性。一般
19、通过分段点的连续性、可导性。2, 0: bakey例例求下列函数的导数求下列函数的导数:).0()21()5(1 xxyx解解 .)21(209x )21()2(10 xy);1ln(2112)4(22 xxxxy;)1(arcsin)3(22 xy;)21()2(10 xy );0(e)1(为常数为常数 axyax.e )1(axax )e()1( axxyaxaxaxee )21()21(109 xx.321arcsin2xxx 2)1(1)1(1arcsin2 xxx)1(arcsin1arcsin2 xx)1(arcsin)3(2 xy )1ln(21)1(21)4(22 xxxxy1
20、211212222 xxx1)1(2112)1(12122222 xxxxxxxx11121112122222 xxxxxxx.122 xx xxxx)21ln()21(1.)21()21ln()21(2)21(21 xxxxxxx)21ln()21()5(11 xxxxy 2)21ln(212)21(1xxxxxx证明证明),()(00 xgxxgu 设设)()(00ufuuf 0)()(00 xgxxguxxgxxguufuufxy )()()()(0000,0 xx 一个改变量一个改变量给给uu 0则则这时这时uxgxxg )()(00)()(00 xgfxxgfy ,)(,0)(000
21、 xxOxg 存在去心邻域存在去心邻域时时当当 ,)(000时时使得使得xxOxx ,)(0点可导点可导在在由于由于xxg, 0)()(,000 xgxxgux时时则则点可导可得点可导可得在在从而由从而由0)(uuf)()(00 xguf xxgxxguufuufxyxux )()(lim)()(limlim0000000即即 式成立式成立.)43( )0()()()(0 xxoxouf因此由导数定义式可得因此由导数定义式可得.43）式仍成立）式仍成立即（即（ )()()(0 xooxouf )0()()()(00 xxoxgxxg）式可得）式可得由（由（时时当当23,0)(0 xg0)(0 xxxgf)()()()(0000ufxoufxgfxxgf 可得可得利用利用处可导处可导在在根据根据)23(,)()(00 xguuf例例2 2 .0)()(ln,)(处的导数处的导数在在求求可导可导设设 xfxfyxf解解)()(ln)(xfuxfu ,0)(时时当当 xf) )(ln xfy.)()(xfxf )(1)(xfuxfu 上式可推得公式上式可推得公式)73() )()(ln()( xfxfxf 取对数求导法取对数求导法