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1、空间向量及其运算空间向量及其运算 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点大小大小 方向方向 相同相同 相等相等 平行或重合平行或重合 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点1忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点互相垂直互相垂直 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点 “两向量平行两向量平行”和和“两向量同向两向量同向”不清致不清致误误定义定义表示法表示法向量向量向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相等向量相等向量相反向量相反向量平行向量平行向量(共线向量共线向量)0记作|,|aAB a, AB 具
2、有大小和方向的量具有大小和方向的量向量的大小向量的大小长度为零的向量长度为零的向量模为模为 1 的向量的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量方向方向相同相同或或相反相反的非零向量的非零向量常用常用 e 表示表示ab记作ab 记作ab记作与任一向量共线.01. 1. 空间向量的有关概念及表示法空间向量的有关概念及表示法平面向量平面向量空间向量空间向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律具有大小和方向的量减法减法:三角形法则加法加法: :三角形法则或平行四边形法则数乘数乘:ka, k为正数,负数,零加法交换律加法结合律
3、数乘分配律abba()()abcabc()k abkakb 加法交换律加法结合律数乘分配律abba()()abcabc()k abkakb 1. 1. 空间向量的有关概念及表示法空间向量的有关概念及表示法具有大小和方向的量具有大小和方向的量 共线向量共线向量共面向量共面向量定定义义 向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合 平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定定理理推推论论运运用用, ,p a bpxayb 共共面面APAB OPmOAnOB (0)b / /R,abab ( ,)a b 不不共共线线A, P, B三点三点共线共线APxAByAC
4、OP OAAB (1)mn P, A, B,C四点四点共面共面OPxOAyOBzOC OPOA xAByAC (1)xyz (A, B, C三点不共线三点不共线)判断三点共线判断三点共线, ,或两直线平行或两直线平行 判断四点共面判断四点共面, ,或直线平行于平面或直线平行于平面2. 2. 空间向量的有关定理及推论空间向量的有关定理及推论1.1.数量积的定义：数量积的定义： cos|baba2.2.向量的夹角定义：向量的夹角定义： AOBbOBaOA则则,共起点共起点与与ba3.3.向量的垂直：向量的垂直：90ab 4.4.投影：投影： cos| b.方方向向上上的的投投影影在在叫叫做做ab5
5、.数量积的几何意义：数量积的几何意义：的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积. .数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 |cosb a b a |a b a 6.数量积的运算律：数量积的运算律：(1)(2)()()()(3)()a bb aaba bababca cb c (,)a b 设设是是两两个个非非零零向向量量(1)0;aba b 22(2)|aaa a 2|aaa a 7.7.数量积的主要性质数量积的主要性质: :(判断两个向量是否垂直判断两个向量是否垂直)(3)cos;| |a bab (4)| | |a bab (求两个向量的夹角求两个向量的夹角)(向量不等式向量
6、不等式)(求向量的长度求向量的长度(模模)的依据的依据)8.8.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算. .设设 , ,则则123123( ,),( , , )aa a abb b b 112233(2)(,);a bab ab ab 112233(1)(,);a bab ab ab 123(3)(,)(R);aaaa 1 12 23 3(4);a ba ba ba b 112233(5) /,(R);abab ab ab 1 12 23 3(6)0.aba ba ba b 222123(7)| |;aa aaaa 1 12 23 3222222123123(8)cos ,;| | |aba b
7、a ba ba ba baaabbb 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. .222111( , ) ( , )x y zx y z AB OB OA 212121(9)(,).ABxx yy zz ( (1 10 0) )222212121|()()() .ABxxyyzz 设设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则则M=(x,y,z),若若M是线段是线段AB的中点，的中点，121212(11),.222xxyyzzxyz 8.8.向量的直角
8、坐标运算向量的直角坐标运算. .平面向量平面向量空间向量空间向量1122(,),(,)axybxy 平平面面向向量量的的坐坐标标运运算算：111222(,),(,)ax y zbxy z 空空间间向向量量的的坐坐标标运运算算：1212111212b(,);(,),;b.axxyyaxyRax xy y 222112221211121122(,), (,)(|(,);(,2),2)AA x yB x yABxx yyC x yABxxxyyxyyyBx 若若则则是是的的中中点点, ,则则121211112122121(,),b(,);.axyaxzRa bx xy yz zxyy zz 2222
9、121111222212112121221|()()()(,), (,)(,);2( , )22A x y zB xy zABxx yyxxxyyC x yABABxxyyzzzyzz 若若则则是是的的中中点点，则则9. 9. 空间向量的坐标计算空间向量的坐标计算FEACBO1,OABCEFABOCOEBF 例例 . .正正四四面面体体， 、 分分别别是是、的的中中点点 求求异异面面直直线线、所所成成角角的的余余弦弦值值. .11()(2 )22OE BFabcb 解解: :设设棱棱长长为为1,c,OAa OBb OC 1(),2OEab 则则21(22)4a ca bb cb 1 111(1
10、2).4 222 a b c 11(2 ).22BFBOOCcb 33|,|.22OEBF 又又122cos,.33|4OE BFOE BFOEBF 所所以以，所所求求异异面面直直线线所所成成的的角角的的余余弦弦值值为为2.3可知可知 共面共面,又又 不共线不共线, 证证明明:EMNDENMD 21.33CDDE 3232AEDBDE 22()()33BCCDDEADDE CDDE 与与,MN CD DE , ,MNCDE 又又平平面面所以所以MN/平面平面CDE.ABCDEFNM例例3.在平行六面体在平行六面体AC1中，中，AB=AD, A1AD=A1AB= DAB=60.(1)求证：求证：
11、AA1 BD;(2)当的值为多少时当的值为多少时,才能使才能使AC1平面平面A1BD.请证明请证明.证明证明:1,c,ABa ADb AA 设设1ABAA| | |,|c|,abmn 设设.BDBAADba 1c ()cc0,AA BDbaba 1.AABD 所所以以2,cc.22mmna bab 解解: :根根据据题题意意, ,要要使使面面11,ACA BD 而而1,A Bac 只只要要11,ACA B ()()0.acabc 1.ACabc 220aa b a c a c b c c 22211022mmmn n (32 )() 0mn m n 1111.ABACA BDAA 所所以以当当
12、时时, ,平平面面C1D1B1CABDA1.m n 11ACA D . .11.ACA Dmn 同同理理由由, ,得得PBOCAPOPCCO PABO1)2POPAPB （D1)3POabc （23PCCD 21()32PCCACB BDAPCO1)4POPAPBPCPD （BACDEFCBCFFEEB 5,BC ,FC EB 3cos,.3EB FC 33 3 2 =2,2EF 2 3,CF 3 2,2BE 22223 23 23 25(2 3)(2)()2 2 3cos,222CF EB 3cos,3CF EB 解题是一种实践性技能解题是一种实践性技能, ,就象游泳、就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！践来学到它！ 波利亚波利亚