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1、第四章圆复习第四章圆复习一、垂径定理一、垂径定理OABCDMAM=BM,重视：重视：模型模型“垂径定理直角三角形垂径定理直角三角形” 若若 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.1.定理定理 垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平分弦并且平分弦所的两条弧所的两条弧.CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.OCD MAB平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.(1)直径直径 (过圆心的线过圆心的线)；(2)垂直弦；垂直弦； (3) 平分弦平分弦
2、 ； (4)平分劣弧；平分劣弧；(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意: “ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗这句话对吗?( )错错OABCDMOABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧例例 O的半径为的半径为10cm，弦，弦ABCD， AB=16，CD=12，则则AB、CD间的间的 距离是距离是_ .2cm或或14cm 在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条弦两条弦, ,两条弦心距两条弦心距中中, ,有一组量有一组量相等相等, ,那么它们所对应的其余各组
3、量都分别相那么它们所对应的其余各组量都分别相等等. .OABDABD如由条件如由条件:AB=ABAB=AB OD=OD可推出可推出AOB=AOB二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系三、圆周角定理及推论三、圆周角定理及推论OABCOBACDEOABC 90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是 . 定理定理: 在同圆或等圆中在同圆或等圆中,同弧或等弧同弧或等弧所对的圆周角所对的圆周角相等相等,都等于这弧所对的都等于这弧所对的圆心角的一半圆心角的一半. 推论推论:直径所对的圆周角是直径所对的圆周角是 .直角直角直径直径判断判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心
4、角所对的弧相等. (2)相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等. (3) 等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.()()().p.or.o.p.o.p四、点和圆的位置关系四、点和圆的位置关系Opr 点点p在在 o内内Op=r 点点p在在 o上上Opr 点点p在在 o外外不在同一直线上的三个点确定一个不在同一直线上的三个点确定一个圆圆（这个三角形叫做圆这个三角形叫做圆的的内接内接三角形，这个圆叫做三角形的三角形，这个圆叫做三角形的外接外接圆，圆心叫圆，圆心叫做三角形的做三角形的外心外心）圆内接四边形的性质圆内接四边形的性质：（1）对角互补；对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内任
5、意一个外角都等于它的内对角对角反证法的三个步骤：反证法的三个步骤：1、提出假设、提出假设2、由题设出发，引出矛盾、由题设出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确 练：有两个同心圆，半径分别为练：有两个同心圆，半径分别为和和r，是圆环内一点，则是圆环内一点，则的取值的取值范围是范围是.OPrOPR1、直线和圆相交、直线和圆相交nd r;nd r;2、直线和圆相切、直线和圆相切3、直线和圆相离、直线和圆相离nd r.OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd 定理定理 经过半径的外端经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直并且垂直于这条半径的直线是圆的
6、切线线是圆的切线.CDOA如图如图OA是是 O的半径的半径, 且且CDOA, CD是是 O的切线的切线.（）定义（）定义（）圆心到直线的距离（）圆心到直线的距离d圆的半径圆的半径r（）切线的判定定理：经过半径的外端（）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.1、如果已知直线与圆有交点，往往、如果已知直线与圆有交点，往往要要作出过这一点的半径作出过这一点的半径，再证明直线垂直再证明直线垂直于这条半径即可；于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段要作出圆心到直线的垂线段，
7、再证明这再证明这条垂线段等于半径即可条垂线段等于半径即可圆的切线垂直于圆的切线垂直于过切点的半径过切点的半径.CD切切 O于于, OA是是 O的的半径半径CDOACDOA.如果一条直线满足以下三个性质中的如果一条直线满足以下三个性质中的任意任意两个两个，那么第三个也成立，那么第三个也成立.经过切点、经过切点、垂垂直于切线、直于切线、经过圆心经过圆心.如如、判断、判断1.三角形的外心到三角形各边的距离相等三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）2.直角三角形的外心是斜边的中点（直角三角形的外心是斜边的中点（ ）二、填空：二、填空：1、直角三角形的两条直角边分别是、直角三角形的两条直角边分别是5
8、cm和和12cm，则它的外接圆半径则它的外接圆半径，内切圆半径，内切圆半径；2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比三、选择题：三、选择题：下列命题正确的是（下列命题正确的是（ ）A、三角形外心到三边距离相等、三角形外心到三边距离相等B、三角形的内心不一定在三角形的内部、三角形的内心不一定在三角形的内部C、等边三角形的内心、外心重合、等边三角形的内心、外心重合D、三角形一定有一个外切圆、三角形一定有一个外切圆四、一个三角形四、一个三角形,它的周长为它的周长为30cm,它的内切圆半径为它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为则这个三角形的面积为_30cm
9、交点个数交点个数 名称名称0外离外离1外切外切2相交相交1内切内切0内含内含同心圆是内含的特殊情况同心圆是内含的特殊情况d , R , r 的关系的关系dR rd R + rd = R + rR-r d R+ rd = R - rd R - r六六.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系实质实质性质性质三角形的三角形的外心外心三角形的三角形的内心内心三角形三边垂直平三角形三边垂直平分线的交点分线的交点三角形三内角角三角形三内角角平分线的交点平分线的交点到三角形各边到三角形各边的距离相等的距离相等到三角形各顶到三角形各顶点的距离相等点的距离相等锐角三角形的外心位于三角形锐角三角形的外心位于三角形内内,
10、 ,直角三角形的外心位于直角三角形直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点斜边中点, ,钝角三角形的外心位于三角形钝角三角形的外心位于三角形外外. .ABCOABCCABOO三角形的外心三角形的外心是否一定在三角形的内部？是否一定在三角形的内部？n从圆外一点向圆所引的两条切线长从圆外一点向圆所引的两条切线长相等相等;并且这一点和圆心的连线平分并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角两条切线的夹角.ABPO12ABCODEFABCOODEF.21cbarS.2cbar切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆半径与三边关系半径与三边关系.n三角形的内切圆半径与圆面
11、积三角形的内切圆半径与圆面积.PA,PB切切 O于于A,B PA=PB 1=2直角三角形的内切圆半径与三边关系直角三角形的内切圆半径与三边关系 已知：RtABC中C=90，内切圆 O分别切AB、BC、CA于D、E、F 求证： O半径=(a+b-c)/2 证明： O切AB、BC、CA于点D、E、F， 由切线长定理得：AE=AF、BD=BF，AC+BC-AB=AE+CE+BD+CD-AF-BF=CD+CE 四边形CDOE中，C=CDO=CEO=90且OD=OE， 四边形CDOE是正方形，CD=CE=OD， O半径OD=CD=(AC+BC-AB)/2=(a+b-c)/2 1.如图：圆如图：圆O中弦中
12、弦AB等于半径等于半径R，则这条弦所对的，则这条弦所对的圆心角是圆心角是,圆周角是圆周角是.OBA60度度30或或150度度CAOB2：已知：已知ABC三点在圆三点在圆O上，连接上，连接ABCO，如果如果 AOC=140 ，求，求 B的度数的度数3.平面上一点平面上一点P到圆到圆O上一点的距离最长为上一点的距离最长为6cm,最短为最短为2cm,则圆则圆O的半径为的半径为_.D解：在优弧解：在优弧AC上定一点上定一点D，连结，连结AD、CD. AOC=140 D=70 B=180 70 =110 2或或4cm4.4.怎样要将一个如图所示的怎样要将一个如图所示的破镜破镜重圆重圆？ABCP5、 如图，如图，AB是是 O的任意一条弦，的任意一条弦，OCAB，垂足为，垂足为P，若，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？你能帮老师求出这面镜子的半径吗？O714综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径6.如图：如图：AB是圆是圆O的直径，的直径，BD是圆是圆O的弦，的弦，BD到到C，AC=AB，BD与与CD的大小有什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？BDCAO补充：补充：若若B=70 ,则则DOE=E40