2022年《2.3.1数学归纳法》同步练习4 .pdf

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1、2.3.1 数学归纳法同步练习4 一、选择题1用数学归纳法证明1qq2qn1qn21q1(nN*,q1) ,在验证 n 1等式成立时,等式左边的式子是() A1B1q C1qq2D1qq2q3答案 C 解析 左边 1qq111qq2.故选 C. 2用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3) (n n)2n 1 3 (2n1)(nN*),从nk到nk1,左边的式子之比是() A.12k1B1C.2k1k1D2k 3k1答案 B 解析111k1.故选 B. 3用数学归纳法证明1n11n212n1314(n 2,nN*)的过程中,由nk递推到 nk1时不等式左边 () A增加了一项1B增加了两项12k

2、112k 2C增加了 B中两项但减少了一项1k1D以上各种情况均不对答案 C 解析 nk时,左边1k11k212k,n k1时,左边1k21k 312k12k112k2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 增加了12k112k2,减少了一项1k1. 故选 C. 4设平面内有 k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为 f(k) ,则 f(k 1)与f(k) 的关系是 () Af(k1)f(k) k1 Bf(k1

3、)f(k) k1 Cf(k1)f(k) k2 Df(k1)f(k)k 答案 D 解析 因为任何两条不平行,任何三条不共点,所以当增加一条直线时,则增加k个交点,故交点个数为f(k)k. 5某个与正整数 n有关的命题,如果当nk(kN*)时该命题成立,则可推得nk1时该命题也成立,现已知n5时命题不成立,那么可推得() A当 n4时该命题不成立B当 n6时该命题不成立C当 n4时该命题成立D当 n6时该命题成立答案 A 解析 由命题及其逆否命题的等价性知选A. 6等式 122232n212(5n27n4)() An为任何正整数都成立B仅当 n1,2,3时成立C当 n4时成立, n5时不成立D仅当

4、 n4时不成立答案 B 解析 经验证, n1,2, 3时成立, n4,5,不成立故选B. 7(2015 枣庄一模 )用数学归纳法证明123n2n4n22,则当nk 1时左端应在nk的基础上加上 () Ak21 B(k1)2C.422D(k21)(k22)(k23)(k1)2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 答案D 解析 当 nk时,左边 123k2. 当nk1时,左边 123k2(k21) (k1)2,当 nk1时,左端应在 n k

5、的基础上加上 (k21) (k22)(k2 3)(k1)2. 8用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9整除 ”,要利用归纳假设证nk1时的情况,只需展开() A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3答案 A 解析 因为从 nk到nk1的过渡,增加了 (k3)3,减少了 k3,故利用归纳假设,只需将 (k3)3展开,证明余下的项9k227k27能被 9整除二、填空题9(2015 辽宁师大附中高二检测)用数学归纳法证明“1 2 22 2n12n1(nN) ” 的过程中,第二步nk时等式成立,则当nk1时应得到 _答案 12222k12k2k11 10用数学归

6、纳法证明当nN时, 122223 25n1是31的倍数时,当n1时原式为 _,从kk 1时需增添的项是_答案 1222232425k25k125k225k325k411使不等式 2nn21对任意 nk 的自然数都成立的最小k值为 _答案 5 解析 2532,52126,对 n5 的所有自然数n,2nn2 1都成立,自己用数学归纳法证明之三、解答题12已知 f(n) 112131n,nN,求证: n f(1)f(n1)nf(n)(n 2且nN)证明(1)当n2时,左边2f(1)3,右边2f(2)3,等式成立(2)假设nk时,kf(1) f(k1)kf(k) 当nk1时,k1f(1)f(k 1)f

7、(k) 1f(k) kf(k) (k1)f(k) 1 (k1) (f(k) 1k1)(k1)f(k 1)即nk1时,命题成立根据 (1)和(2),可知结论正确. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 一、选择题1用数学归纳法证明“(n 1)(n2) (n n)2n 1 3 (2n 1)(n N) ”,则“ 从k到k 1”左端需乘的代数式为() A2k1 B2(2k1) C.2k1k1D2k 3k1答案 B 解析 nk时左式 (k1)(k

8、 2)(k 3) n k 1时 左 式 (k 2 ) (k 3) ( 2k 1) ( 2k 2) 故 “ 从 k 到 k 1 ” 左 端 需 乘k12(2k1)故选 B. 2已知数列 an,a11,a22,an12anan1(kN*),用数学归纳法证明a4n能被 4整除时,假设 a4k能被 4整除,应证 () Aa4k1能被 4整除Ba4k2能被4整除Ca4k3能被 4整除Da4k4能被 4整除答案 D 解析 在数列 a4n 中,相邻两项下标差为4,所以 a4k后一项为 a4k4.故选 D. 3(2015 锦州期中 )在数学归纳法证明多边形内角和定理时,第一步应验证() An1成立Bn2成立C

9、n3成立Dn4成立答案 C 解析 多边形的边数最少是3,即三角形,第一步验证 n等于3. 4用数学归纳法证明3kn3(n 3 ,nN),第一步应验证() An1 Bn2 Cn3 Dn4 答案 C 解析 n3 ,nN,第一步应验证n3时,命题成立二、填空题5用数学归纳法证明关于n的恒等式时,当 nk时,表达式为 1 42 7k(3k 1)k(k 1)2,则当 nk1时,待证表达式应为_答案 1 42 7k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k 2)26用数学归纳法证明:12222n1 2n1(nN*)的过程如下:当 n1时,左边 201,右边 2111,不等式成立;精品资料 - - - 欢迎下

10、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 假设nk时,等式成立,即1222 2k12k1. 则当 nk1时,12222k12k12k1122k11,所以 nk1时等式成立由此可知对任意正整数n,等式都成立以上证明错在何处?_. 答案 没有用上归纳假设解析 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在7设S1 12,S2122212,Sn122232n222 12.用数学归纳法证明 Snn2时,第二步从 “nk到nk1” 右边应添加的项为_答案 k12解析 Sk1Skk12k2k

11、12. 三、解答题8在数列 an 中,a1a21,当nN*时,满足 an2an1an,且设 bna4n,求证: bn的各项均为 3的倍数证明 (1)a1a21,故a3a1a22,a4a3a23. b1a43,当 n1时,b1能被 3整除(2)假设nk时,即 bka4k是3的倍数则nk1时, bk1a4(k1)a(4k4)a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4k3a4k12a4k. 由归纳假设, a4k是3的倍数,故可知bk1是3的倍数nk1时命题正确综合 (1)、(2)可知,对于任意正整数n,数列 bn的各项都是 3的倍数9若不等式1n11n21n 313n1a24对一切正整数n都成立,

12、求正整数a的最大值,并证明你的结论解析 取n1,11111 213 112624,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 令2624a24,得 a2524. n1时,结论已证假设 nk(kN)时,1k11k213k 12524, 则当 nk 1时,有111213k113k213k311 (1k11k2 13k1)(13k213k313k41k1)2524 13k213k4213k213k49k218k82,13k213k420. 1112

13、112524,即nk1时,结论也成立由可知,对一切nN,都有1n11n2 13n12524. 故a的最大值为 25. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码:KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - -

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